Matriser og ligningssett

Oppgaver

USN

Velg type oppgaver:

Antall oppgaver: 9

Tips 1: Prøv selv før du sjekker fasit eller løsningsforslag. Hintene kan hjelpe deg på vei.

Tips 2: Husk at det ofte finnes flere måter å løse samme oppgave.

Oppgave 1

Gitt følgende matriser:

$$A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right)\!\!, B = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right)\!\!, C = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 4 \\ 0 & 0 \end{array} \right)\!\!, D = \left( \begin{array}{cc} 1 & 4 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \end{array} \right)\!\!, E = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) $$

Hvilke(n) er på trappeform?
Hvilke(n) er på redusert trappeform?

Fasit

Oppgave 2

Gitt et ligningssett:

$$ \begin{aligned} x - 3y + 2z &= -12 \\ 2x + y - z &= 5 \\ 4x + 2y - z &= 7 \end{aligned} $$

Skriv ligningsystemet på vektorform, $Ax = b$
Regn ut $\det(A)$
Har ligningsystemet én løsning, uendelig mange eller ingen løsninger?
Løs ligningssystemet ved hjelp av radoperasjoner

Fasit

Oppgave 3

Gitt et ligningssett:

$$ \begin{aligned} 3x + 2y + 4z &= 4 \\ x - 2y + 5z &= 7 \\ 2x + y - 3z &= -15 \end{aligned} $$

Skriv ligningsystemet på vektorform, $Ax = b$
Regn ut $\det(A)$
Har ligningsystemet én løsning, uendelig mange eller ingen løsninger?
Løs ligningssystemet ved hjelp av radoperasjoner

Fasit

Oppgave 4

Gitt et ligningssett:

$$ \begin{aligned} x + 5y - z &= 1 \\ 2x - y + 2z &= -1 \\ 5x + 3y + 3z &= -1 \end{aligned} $$

Skriv ligningsystemet på vektorform, $Ax = b$
Regn ut $\det(A)$
Har ligningsystemet én løsning, uendelig mange eller ingen løsninger?
Løs ligningssystemet ved hjelp av radoperasjoner

Fasit

Oppgave 5

Gitt et ligningssett:

$$ \begin{aligned} 4x + y - 2z &= 5 \\ x - 2y + 2z &= 9 \\ x + 2y - z &= 1 \end{aligned} $$

Skriv ligningsystemet på vektorform, $Ax = b$
Regn ut $\det(A)$
Har ligningsystemet én løsning, uendelig mange eller ingen løsninger?
Løs ligningssystemet ved hjelp av radoperasjoner
Vis at den inverse matrisen til $A$ er:$$B = \frac{1}{13} \left(\begin{array}{ccc} 2 & 3 & 2 \\ -3 & 2 & 10 \\ -4 & 7 & 9 \end{array} \right)$$

Fasit

Oppgave 6

Gitt matrisen:

$$ A = \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & t \\ 1 & 3t & 25 \\ 0 & t & 8 \end{array} \right) $$

Regn ut $\det(A)$
For hvilke verdier av $t$ har $A$ en invers matrise?
For hvilke verdier av $t$ har følgende ligningssett én løsning?$$\begin{aligned}2x + y + tz &= 1 \\ x + 3ty + 25z &= 12 \\ ty + 8z &= 4 \end{aligned}$$

Fasit

Oppgave 7

Finn den inverse matrisen til følgende matrise dersom den eksisterer:$$A = \left( \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 5 & 7 \end{array} \right)$$
Løs følgende ligningssystem:$$2x + 3y = 0 \\ 5x + 7y = 1$$
Løs følgende ligningssystem:$$2x + 3y = 5 \\ 5x + 7y = 13$$

Fasit

Oppgave 8

Gitt en matrise:

$$A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{array} \right)$$

Finn determinanten til $A$
Finn den inverse matrisen til $A$ dersom den eksisterer
Løs følgende ligningssystem:$$x + 2y + 3z = 9 \\ y + 4z = 11 \\ 5x + 6y = 4 $$

Fasit

Oppgave 9

Gitt tre matriser:

$$ A = \left( \begin{array}{ccc} 3 & 1 & 0 \\ -2 & 4 & -1 \\ 4 & 1 & 0 \end{array} \right), B = \left( \begin{array}{ccc} -1 & 0 & 1 \\ 4 & 0 & -3 \\ 18 & -1 & -14 \end{array} \right), C = \left( \begin{array}{ccc} -1 \\ 2 \\ 8 \end{array} \right) $$