Overgang mellom polar og kartesisk form

Fra polar til kartesisk form:

• $\textcolor{green}{x} = \textnormal{Re}(z) = \textcolor{red}{r} \cos (\textcolor{blue}{\theta})$
• $\textcolor{purple}{y} = \textnormal{Im}(z) = \textcolor{red}{r} \sin (\textcolor{blue}{\theta})$

(Ligner litt på dekomponering av vektorer.)

Fra kartesisk til polar form:

• $\textcolor{red}{r} = |z| = \sqrt{\textcolor{green}{x}^2 + \textcolor{purple}{y}^2}$ er lengden til $z$
• $\textcolor{blue}{\theta} = \textnormal{arg}(z)$ er vinkelen i radianer fra den positive, reelle aksen:

  $\textcolor{blue}{\theta} = \cos^{-1} \left( \frac{\textcolor{green}{x}}{\textcolor{red}{r}} \right) $ dersom $\textcolor{purple}{y} \ge 0$, $z$ er i 1. eller 2. kvadrant.

  $\textcolor{blue}{\theta} = -\cos^{-1} \left( \frac{\textcolor{green}{x}}{\textcolor{red}{r}} \right) $ dersom $\textcolor{purple}{y} < 0$, $z$ er i 3. eller 4. kvadrant.

  Merk at cosinus invers ikke kan gi andre svar enn mellom 0 og $\pi$.