Komplekse tall: To måter å skrive komplekse tall

Overgang mellom polar og kartesisk form

Publisert 9. april 2024
Redigert 13. mai 2025

Komplekse tall kan skrives på både polar og kartesisk form.

$$z = \underbrace{\textcolor{red}{r}e^{í \textcolor{blue}{\theta}} = \textcolor{red}{r} \Big( \cos(\textcolor{blue}{\theta}) + i \sin(\textcolor{blue}{\theta}) \Big)}_{\textnormal{Polar form}} = \underbrace{\textcolor{green}{x} + i \textcolor{purple}{y}}_{\textnormal{Kartesisk form}}$$

Fra polar til kartesisk form:

$\textcolor{green}{x} = \textnormal{Re}(z) = \textcolor{red}{r} \cos{\textcolor{blue}{\theta}}$
$\textcolor{purple}{y} = \textnormal{Im}(z) = \textcolor{red}{r} \sin{\textcolor{blue}{\theta}}$

Fra kartesisk til polar form:

$\textcolor{red}{r} = |z| = \sqrt{\textcolor{green}{x}^2 + \textcolor{purple}{y}^2}$ er lengden til $z$
$\textcolor{blue}{\theta} = \textnormal{arg}(z)$ er vinkelen i radianer fra den positive, reelle aksen.
Her må vi bruke trigonometri:
$$\begin{align*} \textcolor{blue}{\theta} & = \cos^{-1} \left( \frac{\textcolor{green}{x}}{\textcolor{red}{r}} \right) && \quad \textnormal{dersom $y > 0$, dvs. $z$ er i 1. eller 2. kvadrant} \\ \textcolor{blue}{\theta} & = - \cos^{-1} \left( \frac{\textcolor{green}{x}}{\textcolor{red}{r}} \right) && \quad \textnormal{dersom $y < 0$, dvs. $z$ er i 3. eller 4. kvadrant} \end{align*}$$
Merk at cosinus invers ikke kan gi andre svar enn mellom 0 og $\pi$.

Polar form Oppgaver Det komplekse plan

Komplekse tall: To måter å skrive komplekse tall

Overgang mellom polar og kartesisk form

Publisert 9. april 2024Redigert 13. mai 2025

Fra polar til kartesisk form:

Fra kartesisk til polar form:

Publisert 9. april 2024
Redigert 13. mai 2025