Trigonometri: Enhetssirkelen

Vi kan tegne en trekant med hypotenus 1 inn i enhetssirkelen:

Nå kan vi bruke formlene for sinus og cosinus for å finne $a$ og $b$:

\cos(v) = \frac{\textnormal{hosliggende katet}}{\textnormal{hypotenus}} = \frac{a}{1} \quad \Rightarrow \quad a = \cos(v) \\
\sin(v) = \frac{\textnormal{motstående katet}}{\textnormal{hypotenus}} = \frac{b}{1} \quad \Rightarrow \quad b = \sin(v) \\

Ser du nå hvorfor du kan finne $\cos(v)$ på den horisontale aksen og $\sin(v)$ på den vertikale aksen?

Vinklene kan være negative. Da tegnes de i retning med klokken i stedet for mot klokken rundt origo.

Eksempel:

Merk at $360^o - 60^o = 300^o$ ender opp samme sted som $-60^o$.

Generell regel (grader og radianer):

\cos(360^o - v) = \cos(-v) \\
\sin(360^o - v) = \sin(-v)

\cos(2\pi - v) = \cos(-v) \\
\sin(2\pi - v) = \sin(-v)

Legg merke til at $\textcolor{red}{v}$ og $\textcolor{green}{-v}$ har …
… samme cosinus-verdi, dvs. $a = \cos(\textcolor{green}{-v}) = \cos(\textcolor{red}{v})$
… samme sinus-verdi, men med motsatt fortegn, dvs. $- b = \sin(\textcolor{red}{-v}) = -\sin(\textcolor{red}{v})$

Generell regel:

\begin{aligned}
\cos(-v) &= \cos(v) \\
\sin(-v) &= - \sin(v)
\end{aligned}

Pytagoras´s læresetning:

Første katet² + Andre katet² = Hypotenus²

I enhetssirkelen er hypotenusen en og katetene $\cos(v)$ og $\sin(v)$. Det gir oss enhetsformelen:

\cos^2(v) + \sin^2(v) = 1

Merk at når du opphøyer sinus og cosinus i andre, så skrives eksponenten før vinkelen, dvs:

\cos^2(v) = \Big(\cos(v)\Big)^2

Hvis vinklene er større enn 360$^o$ går de bare rundt origo en eller flere ganger.

Eksempel:

Merk at $360^o + 60^o = 420^o$ ender opp samme sted som $60^o$.

Generell regel (grader og radianer):

\cos(v + n \cdot 360^o) = \cos(v) \\
\sin(v + n \cdot 360^o) = \sin(v)

\cos(v + n \cdot 2\pi) = \cos(v) \\
\sin(v + n \cdot 2\pi) = \sin(v)

der $n$ er et heltall.