Trigonometri betyr trekantmåling.
En rettvinklet trekant er en trekant der ett hjørne er $90^o$:
+ Notasjon
Store bokstaver brukes vanligvis om hjørnene.
- $\sin A$ betyr sinus til vinkelen i hjørne $A$.
- $\triangle ABC$ betyr trekanten med hjørner $A$, $B$ og $C$.
- To store bokstaver sammen er en sidekant, f.eks. $AB$ er sidekanten fra hjørne $A$ til hjørne $B$.
Små bokstaver brukes vanligvis om sidekantene.
- Merk at sidekant $a$ ligger motsatt hjørne $A$ (samme system for $b$ og $c$).
Hypotenus er den sidekanten som ikke ligger inntil vinkelen som er $90^o$.
Katet er en sidekant som ligger inntil vinkelen som er $90^o$.
- Hosliggende katet er den kateten som ligger inntil vinkelen vi ser på.
- Motstående katet er den kateten som ligger motsatt vinkelen vi ser på.
+ Pytagoras’ læresetning
Pytagoras var en gresk smarting som levde ca. 500 f.Kr. Han fant ut at:
Første katet2 + Andre katet2 = Hypotenus2
Vanligvis bruker vi bokstaver som passer til figuren vår:
\textcolor{red}{a}^2 + \textcolor{blue}{b}^2 = \textcolor{green}{c}^2Ganske kult, egentlig.
+ Summen av vinklene i en trekant
Summen av vinklene i en trekant er alltid $180^o$:
A + B + C = 180^o
+ Sinus, cosinus og tangens
Sinus, cosinus og tangens er bare forholdstall mellom sidekanter:
\begin{aligned}
\sin v & = \frac{\textcolor{red}{\textnormal{motstående katet}}}{\textcolor{green}{\textnormal{hypotenus}}} = \frac{\textcolor{red}{a}}{\textcolor{green}{c}} \\
\cos v & = \frac{\textcolor{blue}{\textnormal{hosliggende katet}}}{\textcolor{green}{\textnormal{hypotenus}}} = \frac{\textcolor{blue}{b}}{\textcolor{green}{c}} \\
\tan v & = \frac{\textcolor{red}{\textnormal{motstående katet}}}{\textcolor{blue}{\textnormal{hosliggende katet}}} = \frac{\textcolor{red}{a}}{\textcolor{blue}{b}} = \frac{\sin v}{\cos v}
\end{aligned}- Når du bruker kalkulatoren må du sørge for at den er stilt inn på «Deg» hvis vinklene er i grader og «Rad» hvis vinklene er i radianer.
- Du kan bruke enhetssirkelen dersom vinkelen er mer enn $90^o$.
+ Hvordan finner vi vinkler og sidekanter i trekanter?
Steg 1: Lag en arbeidstegning og skriv inn alle opplysninger du har.
Steg 2: Sett opp ligningene du kan bruke
Steg 3: Regn ut
- Arbeidstegningen trenger ikke være nøye tegnet. Vinklene og lengden på sidekantene har lov til å være feil.
- Ligninger du kan bruke:
- Ligningene du ikke bruker for å regne ut svarene, kan du bruke til å sjekke svarene.
+ Eksempel: To sider oppgitt
Gitt $\triangle ABC$ der $C$ er 90$^o$, $AC$ = 4 og $BC$ = 3. Finn $AB$ og vinklene $A$ og $B$.
Steg 1: Lag en arbeidstegning og skriv inn alle opplysninger:
Steg 2: Sett opp ligningene du kan bruke
$AB$: Pytagoras
AC^2 + BC^2 = AB^2
Vinkel $A$: Tangens
\tan A = \frac{BC}{AC}Vinkel $C$: Tangens
\tan C = \frac{AC}{BC}
Steg 3: Regn ut
$AB$:
\begin{aligned}
& AC^2 + BC^2 = AB^2 \\
\Rightarrow \; & AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} \\
\Rightarrow \; & AB = \sqrt{3^2+ 4^2} \\
\Rightarrow \; & AB = 5
\end{aligned}Vinkel $A$: Tangens
\begin{aligned}
& \tan A = \frac{BC}{AC} \\
\Rightarrow \; & A = \tan^{-1} \frac{BC}{AC} \\
\Rightarrow \; & A = \tan^{-1} \frac{3}{4} \\
\Rightarrow \; & A \approx 36.9^o
\end{aligned}Vinkel $C$: Tangens
\begin{aligned}
& \tan C = \frac{AC}{BC} \\
\Rightarrow \; & C = \tan^{-1} \frac{AC}{BC} \\
\Rightarrow \; & C = \tan^{-1} \frac{4}{3} \\
\Rightarrow \; & C \approx 53.1^o
\end{aligned}En liten sjekk: Er summen av vinklene 180$^o$?
A + B + C \approx 36.9^o + 90^o + 53.1^o = 180^o \qquad \textnormal{ok}Og, vips, er vi ferdige!
+ Eksempel: En side og en vinkel oppgitt
Gitt $\triangle ABC$ der $C$ er 90$^o$, $AB$ = 8 og $A$ = $30^o$. Finn $AC$, $BC$ og vinkelen $B$.
Steg 1: Lag en arbeidstegning og skriv inn alle opplysninger:
Steg 2: Sett opp ligningene du kan bruke
$AC$: Cosinus
\cos A = \frac{AC}{AB}$BC$: Sinus
\sin A = \frac{BC}{AB}Vinkel $B$: Summen er $180^o$
A + B + C = 180^o
Steg 3: Regn ut
$AC$:
\begin{aligned}
& \cos A = \frac{AC}{BC} \\
\Rightarrow \; & AC = BC \cos A\\
\Rightarrow \; & AC = 8 \cos 30^o \\
\Rightarrow \; & AC \approx 6.93
\end{aligned}$BC$:
\begin{aligned}
& \sin A = \frac{BC}{AB} \\
\Rightarrow \; & BC = AB \sin A \\
\Rightarrow \; & BC = 8 \sin 30^o \\
\Rightarrow \; & BC = 4
\end{aligned}Vinkel $B$:
\begin{aligned}
& A + B + C = 180^o\\
\Rightarrow \; & B = 180^o - A - C \\
\Rightarrow \; & B = 180^o - 30^o - 90^o \\
\Rightarrow \; & B = 60^o
\end{aligned}En liten sjekk: Stemmer Pytagoras?
AC^2 + BC^2 \approx 6.93^2 + 4^2 = 64.02 \approx 8^2 = AB^2 \qquad \textnormal{ok}Og, vips, er vi ferdige!
+ Eksempel: Hypotenusen oppgitt og den ene kateten er dobbelt så lang som den andre
Gitt $\triangle ABC$ der $C$ er 90$^o$, $AB$ = 5 og $AC$ er dobbelt så lang som $BC$. Finn $AC$, $BC$, vinkelen $A$ og vinkelen $B$.
Steg 1: Lag en arbeidstegning og skriv inn alle opplysninger:
Steg 2: Sett opp ligningene du kan bruke
$AC$ og $BC$: Pytagoras
(AC)^2 + (BC)^2 = (AB)^2
Vinkel $A$: Tangens
\tan A = \frac{BC}{AC}Vinkel $B$: Tangens
\tan B = \frac{BC}{AC}
Steg 3: Regn ut
$AC$ og $BC$:
\begin{aligned}
& (AC)^2 + (BC)^2 = (AB)^2 \\
\Rightarrow \; & (2x)^2 + x^2 = 5^2 \\
\Rightarrow \; & 4x^2 + x^2 = 5^2 \\
\Rightarrow \; & 5x^2 = 5^2 \\
\Rightarrow \; & x^2 = 5 \\
\Rightarrow \; & x = \sqrt{5} \\
\Rightarrow \; & \left\{
\begin{array}{l}
AC = 2x \approx 4.4721 \\
BC = x \approx 2.2361
\end{array}
\right.
\end{aligned}Vinkel $A$:
\begin{aligned}
& \tan A = \frac{BC}{AC} \\
\Rightarrow \; & \tan A = \frac{x}{2x} \\
\Rightarrow \; & \tan A = \frac{1}{2} \\
\Rightarrow \; & A = \tan^{-1} \frac{1}{2} \\
\Rightarrow \; & A \approx 26.57^o
\end{aligned}Vinkel $B$:
\begin{aligned}
& \tan B = \frac{AC}{BC} \\
\Rightarrow \; & \tan B = \frac{2x}{x} \\
\Rightarrow \; & \tan B = 2 \\
\Rightarrow \; & B = \tan^{-1} 2 \\
\Rightarrow \; & B \approx 63.43^o
\end{aligned}En liten sjekk: Er summen av vinklene 180$^o$?
A + B + C \approx 26.57^o + 63.43^o + 90^o = 180^o \qquad \textnormal{ok}Og, vips, er vi ferdige!