Oppgaver: Matriser – Kunnskapsgnist

Velg type oppgaver:

Alle oppgaver

Radoperasjoner

Algebra

Determinant

Invers matrise

Ligningssett

Antall oppgaver:

Tips 1: Prøv selv før du sjekker fasit eller løsning. Hintene kan hjelpe deg på vei.
Tips 2: Husk at det finnes flere måter å løse samme oppgave.

Oppgave rad01:

Hvilke(n) av følgende matriser er på trappeform?

\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right)\!\!, \left( \begin{array}{cccc} 1 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right)\!\!, \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 4 \\ 0 & 0 \end{array} \right)\!\!, \left( \begin{array}{cc} 1 & 4 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \end{array} \right)\!\!, \left( \begin{array}{cc} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{array} \right)

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

Den første, andre og siste matrisen er på trappeform.

Hint 1:

Krav til en matrise på trappeform:
1. Første tall ulik null i en rad, er 1 (ledende ener)
2. Rader med bare null samles nederst
3. Ledende enere står lengre til høyre nedover (dvs. null under ledende ener)

Hint 2: Sjekk hver matrise opp mot de tre kravene.

Løsning:

Sjekker kravene:
1. Første krav er tilfredsstilt for alle matriser bortsett fra nummer fire.
2. Andre krav er tilfredsstilt for alle matriser. Matrise to og fire har null-rader. Og de er plassert nederst.
3. Tredje krav er tilfredsstilt for alle matriser bortsett fra nummer tre.

Dermed er den første, andre og siste matrisen på trappeform.

Video: Under produksjon

Oppgave rad02:

Hvilke(n) av følgende matriser er på redusert trappeform?

\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right)\!\!, \left( \begin{array}{cccc} 1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right)\!\!, \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right)\!\!, \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \end{array} \right)\!\!, \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

Den andre og siste matrisen er på redusert trappeform.

Hint 1:

Krav til en matrise på redusert trappeform:
1. Første tall ulik null i en rad, er 1 (ledende ener)
2. Rader med bare null samles nederst
3. Ledende enere står lengre til høyre nedover (dvs. null under ledende ener)
4. Null over ledende enere

Hint 2: Sjekk hver matrise opp mot de fire kravene.

Løsning:

Dermed er den andre og den siste matrisen på redusert trappeform.

Video: Under produksjon

Oppgave rad03:

Hvilke radoperasjoner kan vi bruke for å få en ledende ener i første rad?

\left( \begin{array}{cccc} 4 & 3 & 2 & 0 \\ 3 & -2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & 1 \end{array} \right)

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

Vi kan få en ledende ener i første rad på mange måter, f.eks. ved å bytte rad 1 og rad 3, multiplisere rad 1 med 1/4, eller multiplisere rad 2 med -1 og legge det til rad 1.

Hint 1:

Radoperasjoner:
1. To rader bytter plass
2. Multipliser en rad med en konstant ulik null
3. Adder et multiplum av en rad til en annen rad

Hint 2: Dersom første tall ulik null i en rad, er en ener, er det en ledende ener.

Løsning:

Vi kan bruke alle de tre radoperasjonene for å få en ledende ener i første rad.

1. To rader bytter plass. Eksempel:

\left( \begin{array}{cccc} \textcolor{red}{4} & \textcolor{red}{3} & \textcolor{red}{2} & \textcolor{red}{0} \\ 3 & -2 & 1 & 1 \\ \textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{2} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{1} \end{array} \right) \overset{\textcolor{red}{R_1} \leftrightarrow \textcolor{blue}{R_3}}{\sim} \left( \begin{array}{cccc} \textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{2} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{1} \\ 3 & -2 & 1 & 1 \\ \textcolor{red}{4} & \textcolor{red}{3} & \textcolor{red}{2} & \textcolor{red}{0} \end{array} \right)

2. Multipliser en rad med konstant ulik null. Eksempel:

\left( \begin{array}{cccc} \textcolor{red}{4} & \textcolor{red}{3} & \textcolor{red}{2} & \textcolor{red}{0} \\ 3 & -2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & 1 \end{array} \right) \overset{\textcolor{red}{R_1}/4 \to \textcolor{blue}{R_1}}{\sim} \left( \begin{array}{cccc} \textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{\frac{3}{4}} & \textcolor{blue}{\frac{1}{2}} & \textcolor{blue}{0} \\ 3 & -2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & 1 \end{array} \right)

3. Adder et multiplum av en rad til annen rad. Eksempler:

\left( \begin{array}{cccc} \textcolor{red}{4} & \textcolor{red}{3} & \textcolor{red}{2} & \textcolor{red}{0} \\ \textcolor{blue}{3} & \textcolor{blue}{-2} & \textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{1} \\ 1 & 2 & 0 & 1 \end{array} \right) \overset{\textcolor{red}{R_1} - \textcolor{blue}{R_2} \to \textcolor{green}{R_1}}{\sim} \left( \begin{array}{cccc} \textcolor{green}{1} & \textcolor{green}{5} & \textcolor{green}{1} & \textcolor{green}{-1} \\ \textcolor{blue}{3} & \textcolor{blue}{-2} & \textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{1} \\ 1 & 2 & 0 & 1 \end{array} \right)

\left( \begin{array}{cccc} \textcolor{red}{4} & \textcolor{red}{3} & \textcolor{red}{2} & \textcolor{red}{0} \\ 3 & -2 & 1 & 1 \\ \textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{2} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{1} \end{array} \right) \overset{\textcolor{red}{R_1} - 3 \textcolor{blue}{R_3} \to \textcolor{green}{R_1}}{\sim} \left( \begin{array}{cccc} \textcolor{green}{1} & \textcolor{green}{-6} & \textcolor{green}{2} & \textcolor{green}{-3} \\ 3 & -2 & 1 & 1 \\ \textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{2} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{1} \end{array} \right)

Video: Under produksjon

Oppgave rad04:

Finn trappeformen til følgende matrise:

\left( \begin{array}{cccc} 4 & -3 & 1 & -8 \\ -2 & 1 & -3 & -4 \\ 1 & -1 & 2 & 3 \end{array} \right)

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

\left( \begin{array}{cccc} \textcolor{red}{1} & -1 & 2 & 3 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & -1 & -2 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & 3 \end{array} \right)

Hint 1: For å få en matrise på trappeform, bruker vi Gauss eliminasjon.

Hint 2: Begynn med å skaffe en ledende ener i første rad, dvs. bruk radoperasjoner til å få en ener i første kolonne.

Løsning:

Vi bruker Gauss eliminasjon for å få en matrise på trappeform.

Steg 1: Skaff ledende ener i første rad ved å for eksempel bytte plass på rad 1 og rad 3:

\left( \begin{array}{cccc} 4 & -3 & 1 & -8 \\ -2 & 1 & -3 & -4 \\ 1 & -1 & 2 & 3 \end{array} \right) \overset{R_1 \leftrightarrow R_3}{\sim} \left( \begin{array}{cccc} \textcolor{red}{1} & -1 & 2 & 3 \\ -2 & 1 & -3 & -4 \\ 4 & -3 & 1 & -8 \end{array} \right)

Steg 2: Bruk den ledende eneren i første rad til å få null under den:

\begin{aligned} \left( \begin{array}{cccc} \textcolor{red}{1} & -1 & 2 & 3 \\ -2 & 1 & -3 & -4 \\ 4 & -3 & 1 & -8 \end{array} \right) & \overset{R_2 + 2R_1 \to R_2}{\sim} \left( \begin{array}{cccc} \textcolor{red}{1} & -1 & 2 & 3 \\ \textcolor{blue}{0} & -1 & 1 & 2 \\ 4 & -3 & 1 & -8 \end{array} \right) \\ & \overset{R_3 - 4R_1 \to R_3}{\sim} \left( \begin{array}{cccc} \textcolor{red}{1} & -1 & 2 & 3 \\ \textcolor{blue}{0} & -1 & 1 & 2 \\ \textcolor{blue}{0} & 1 & -7 & -20 \end{array} \right) \end{aligned}

Steg 3: Skaff ledende ener i andre rad ved å for eksempel multiplisere rad 2 med -1:

\left( \begin{array}{cccc} \textcolor{red}{1} & -1 & 2 & 3 \\ \textcolor{blue}{0} & -1 & 1 & 2 \\ \textcolor{blue}{0} & 1 & -7 & -20 \end{array} \right) \overset{-R_2 \to R_2}{\sim} \left( \begin{array}{cccc} \textcolor{red}{1} & -1 & 2 & 3 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & -1 & -2 \\ \textcolor{blue}{0} & 1 & -7 & -20 \end{array} \right)

Steg 4: Bruk den ledende eneren i andre rad til å få null under den:

\left( \begin{array}{cccc} \textcolor{red}{1} & -1 & 2 & 3 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & -1 & -2 \\ \textcolor{blue}{0} & 1 & -7 & -20 \end{array} \right) \overset{R_3 - R_2 \to R_3}{\sim} \left( \begin{array}{cccc} \textcolor{red}{1} & -1 & 2 & 3 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & -1 & -2 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & -6 & -18 \end{array} \right)

Steg 5: Skaff ledende ener i tredje rad ved å multiplisere rad 3 med—1/6:

\left( \begin{array}{cccc} \textcolor{red}{1} & -1 & 2 & 3 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & -1 & -2 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & -6 & -18 \end{array} \right) \overset{-R_3/6 \to R_3}{\sim} \left( \begin{array}{cccc} \textcolor{red}{1} & -1 & 2 & 3 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & -1 & -2 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & 3 \end{array} \right)

Video: Under produksjon

Oppgave rad05:

Finn redusert trappeform til følgende matrise:

\left( \begin{array}{cccc} 4 & -3 & 1 & -8 \\ -2 & 1 & -3 & -4 \\ 1 & -1 & 2 & 3 \end{array} \right)

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

\left( \begin{array}{cccc} \textcolor{red}{1} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & -2 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & \textcolor{blue}{0} & 1 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & 3 \end{array} \right)

Hint 1: For å få en matrise på redusert trappeform, bruker vi Gauss-Jordan eliminasjon.

Hint 2: Vi fant trappeformen til matrisen i forrige oppgave.

Løsning:

I forrige oppgave fant vi trappeformen til matrisen:

\left( \begin{array}{cccc} \textcolor{red}{1} & -1 & 2 & 3 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & -1 & -2 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & 3 \end{array} \right)

Vi bruker Gauss-Jordan eliminasjon for å få en matrise fra trappeform til redusert trappeform.

Steg 1: Bruk ledende ener i nederste rad til å få null over:

\begin{aligned} \left( \begin{array}{cccc} \textcolor{red}{1} & -1 & 2 & 3 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & -1 & -2 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & 3 \end{array} \right) &\overset{R_2 + R_3 \to R_2}{\sim} \left( \begin{array}{cccc} \textcolor{red}{1} & -1 & 2 & 3 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & \textcolor{blue}{0} & 1 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & 3 \end{array} \right) \\ &\overset{R_1 - 2 R_3 \to R_1}{\sim} \left( \begin{array}{cccc} \textcolor{red}{1} & -1 & \textcolor{blue}{0} & -3 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & \textcolor{blue}{0} & 1 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & 3 \end{array} \right) \end{aligned}

Steg 2: Bruk ledende ener i nest nederste rad til å få null over:

\left( \begin{array}{cccc} \textcolor{red}{1} & -1 & \textcolor{blue}{0} & -3 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & \textcolor{blue}{0} & 1 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & 3 \end{array} \right) \overset{R_1 + R_2 \to R_1}{\sim} \left( \begin{array}{cccc} \textcolor{red}{1} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & -2 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & \textcolor{blue}{0} & 1 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & 3 \end{array} \right)

Video: Under produksjon

Oppgave rad06:

Finn trappeformen til følgende matrise:

\left( \begin{array}{cccc} 3 & -4 & -17 & 11 \\ 1 & -2 & -7 & 3 \\ -1 & 4 & 10 & 0 \end{array} \right)

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

\left( \begin{array}{cccc} \textcolor{red}{1} & -2 & -7 & 3 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & 2 & 1 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & -1 \end{array} \right)

Hint 1: For å få en matrise på trappeform, bruker vi Gauss eliminasjon.

Hint 2: Begynn med å skaffe en ledende ener i første rad, dvs. bruk radoperasjoner til å få en ener i første kolonne.

Løsning:

Vi bruker Gauss eliminasjon for å få en matrise på trappeform.

Steg 1: Skaff ledende ener i første rad ved å for eksempel bytte plass på rad 1 og rad 2:

\left( \begin{array}{cccc} 3 & -4 & -17 & 11 \\ 1 & -2 & -7 & 3 \\ -1 & 4 & 10 & 0 \end{array} \right) \overset{R_1 \leftrightarrow R_2}{\sim} \left( \begin{array}{cccc} \textcolor{red}{1} & -2 & -7 & 3 \\ 3 & -4 & -17 & 11 \\ -1 & 4 & 10 & 0 \end{array} \right)

Steg 2: Bruk den ledende eneren i første rad til å få null under den:

\begin{aligned} \left( \begin{array}{cccc} \textcolor{red}{1} & -2 & -7 & 3 \\ 3 & -4 & -17 & 11 \\ -1 & 4 & 10 & 0 \end{array} \right) & \overset{R_2 - 3R_1 \to R_2}{\sim} \left( \begin{array}{cccc} \textcolor{red}{1} & -2 & -7 & 3 \\ \textcolor{blue}{0} & 2 & 4 & 2 \\ -1 & 4 & 10 & 0 \end{array} \right) \\ & \overset{R_3 + R_1 \to R_3}{\sim} \left( \begin{array}{cccc} \textcolor{red}{1} & -2 & -7 & 3 \\ \textcolor{blue}{0} & 2 & 4 & 2 \\ \textcolor{blue}{0} & 2 & 3 & 3 \end{array} \right) \end{aligned}

Steg 3: Skaff ledende ener i andre rad ved å for eksempel dele andre rad på 2:

\left( \begin{array}{cccc} \textcolor{red}{1} & -2 & -7 & 3 \\ \textcolor{blue}{0} & 2 & 4 & 2 \\ \textcolor{blue}{0} & 2 & 3 & 3 \end{array} \right) \overset{R_2/2 \to R_2}{\sim} \left( \begin{array}{cccc} \textcolor{red}{1} & -2 & -7 & 3 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & 2 & 1 \\ \textcolor{blue}{0} & 2 & 3 & 3 \end{array} \right)

Steg 4: Bruk den ledende eneren i andre rad til å få null under den:

\left( \begin{array}{cccc} \textcolor{red}{1} & -2 & -7 & 3 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & 2 & 1 \\ \textcolor{blue}{0} & 2 & 3 & 3 \end{array} \right) \overset{R_3 - 2R_2 \to R_3}{\sim} \left( \begin{array}{cccc} \textcolor{red}{1} & -2 & -7 & 3 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & 2 & 1 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & -1 & 1 \end{array} \right)

Steg 5: Skaff ledende ener i tredje rad ved å multiplisere tredje rad med -1:

\left( \begin{array}{cccc} \textcolor{red}{1} & -2 & -7 & 3 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & 2 & 1 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & -1 \end{array} \right)

Video: Under produksjon

Oppgave rad07:

Finn redusert trappeform til følgende matrise:

\left( \begin{array}{cccc} 3 & -4 & -17 & 11 \\ 1 & -2 & -7 & 3 \\ -1 & 4 & 10 & 0 \end{array} \right)

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

\left( \begin{array}{cccc} \textcolor{red}{1} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & -2 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & \textcolor{blue}{0} & 1 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & 3 \end{array} \right)

Hint 1: For å få en matrise på redusert trappeform, bruker vi Gauss-Jordan eliminasjon.

Hint 2: Vi fant trappeformen til matrisen i forrige oppgave.

Løsning:

I forrige oppgave fant vi trappeformen til matrisen:

\left( \begin{array}{cccc} \textcolor{red}{1} & -2 & -7 & 3 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & 2 & 1 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & -1 \end{array} \right)

Vi bruker Gauss-Jordan eliminasjon for å få en matrise fra trappeform til redusert trappeform.

Steg 1: Bruk ledende ener i nederste rad til å få null over:

\begin{aligned} \left( \begin{array}{cccc} \textcolor{red}{1} & -2 & -7 & 3 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & 2 & 1 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & -1 \end{array} \right) &\overset{R_2 - 2 R_3 \to R_2}{\sim} \left( \begin{array}{cccc} \textcolor{red}{1} & -2 & -7 & 3 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & \textcolor{blue}{0} & 3 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & -1 \end{array} \right) \\ &\overset{R_1 + 7 R_3 \to R_1}{\sim} \left( \begin{array}{cccc} \textcolor{red}{1} & -2 & \textcolor{blue}{0} & -4 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & \textcolor{blue}{0} & 3 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & -1 \end{array} \right) \end{aligned}

Steg 2: Bruk ledende ener i nest nederste rad til å få null over:

\left( \begin{array}{cccc} \textcolor{red}{1} & -2 & \textcolor{blue}{0} & -4 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & \textcolor{blue}{0} & 3 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & -1 \end{array} \right) \overset{R_1 + 2R_2 \to R_1}{\sim} \left( \begin{array}{cccc} \textcolor{red}{1} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & 2 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & \textcolor{blue}{0} & 3 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & -1 \end{array} \right)

Video: Under produksjon

Oppgave alg01:

Finn A + B og A – B dersom mulig når:

A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array} \right)\!\!, \;\; B = \left( \begin{array}{ccc} 3 & -1 & 3 \\ 2 & -2 & -4 \end{array} \right)

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

A + B = \left( \begin{array}{ccc} 4 & 1 & 6 \\ 6 & 3 & 2 \end{array} \right)\\ A - B = \left( \begin{array}{ccc} -2 & 3 & 0 \\ 2 & 7 & 10 \end{array} \right)\\

Hint 1: Matrisene må ha samme dimensjoner for å kunne adderes.

Hint 2: Når vi adderer to matriser, legger vi sammen korresponderende elementer.

Løsning:

Siden begge matrisene har samme dimensjon, 2 x 3, kan vi addere og subtrakhere.

Når vi adderer to matriser, legger vi sammen korresponderende elementer:

\begin{aligned} \textcolor{red}{A} + \textcolor{blue}{B} & = \left( \begin{array}{ccc} \textcolor{red}{1} & \textcolor{red}{2} & \textcolor{red}{3} \\ \textcolor{red}{4} & \textcolor{red}{5} & \textcolor{red}{6} \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} \textcolor{blue}{3} & \textcolor{blue}{-1} & \textcolor{blue}{3} \\ \textcolor{blue}{2} & \textcolor{blue}{-2} & \textcolor{blue}{-4} \end{array} \right) \\ \Rightarrow \textcolor{red}{A} + \textcolor{blue}{B} & = \left( \begin{array}{ccc} \textcolor{red}{1} + \textcolor{blue}{3} & \textcolor{red}{2} + \textcolor{blue}{(-1)} & \textcolor{red}{3} + \textcolor{blue}{3} \\ \textcolor{red}{4} + \textcolor{blue}{2} & \textcolor{red}{5} + \textcolor{blue}{(-2)} & \textcolor{red}{6} + \textcolor{blue}{(-4)} \end{array} \right) \\ \Rightarrow \textcolor{red}{A} + \textcolor{blue}{B} & = \left( \begin{array}{ccc} 4 & 1 & 6 \\ 6 & 3 & 2 \end{array} \right) \end{aligned}

Når vi finner differansen mellom to matriser, finner vi differansen mellom korresponderende elementer:

\begin{aligned} \textcolor{red}{A} \textcolor{blue}{B} & = \left( \begin{array}{ccc} \textcolor{red}{1} & \textcolor{red}{2} & \textcolor{red}{3} \\ \textcolor{red}{4} & \textcolor{red}{5} & \textcolor{red}{6} \end{array} \right) - \left( \begin{array}{ccc} \textcolor{blue}{3} & \textcolor{blue}{-1} & \textcolor{blue}{3} \\ \textcolor{blue}{2} & \textcolor{blue}{-2} & \textcolor{blue}{-4} \end{array} \right) \\ \Rightarrow \textcolor{red}{A} - \textcolor{blue}{B} & = \left( \begin{array}{ccc} \textcolor{red}{1} - \textcolor{blue}{3} & \textcolor{red}{2} - \textcolor{blue}{(-1)} & \textcolor{red}{3} - \textcolor{blue}{3} \\ \textcolor{red}{4} - \textcolor{blue}{2} & \textcolor{red}{5} - \textcolor{blue}{(-2)} & \textcolor{red}{6} - \textcolor{blue}{(-4)} \end{array} \right) \\ \Rightarrow \textcolor{red}{A} - \textcolor{blue}{B} & = \left( \begin{array}{ccc} -2 & 3 & 0 \\ 2 & 7 & 10 \end{array} \right) \end{aligned}

Video: Under produksjon

Oppgave alg02:

Finn A + C og A – C dersom mulig når:

A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array} \right)\!\!, \;\; C = \left( \begin{array}{ccc} 3 & -1 \\ 2 & -2 \end{array} \right)

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

Siden de to matrisene har forskjellige dimensjoner, kan vi ikke bruke addisjon eller subtraksjon.

Hint 1: Matrisene må ha samme dimensjoner for å kunne adderes.

Hint 2: Sjekk om de to matrisene har samme dimensjon, dvs. samme antall rader og samme antall kolonner.

Løsning:

A er en 2 x 3 matrise, mens C er en 2 x 2 matrise. Siden matrisene ikke har samme dimensjon, kan vi ikke addere og subtrakhere.

Video: Under produksjon

Oppgave alg03:

Finn 2A og -A når:

A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array} \right)

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

2A = \left( \begin{array}{ccc} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \end{array} \right) \\ -A = \left( \begin{array}{ccc} -1 & -2 & -3 \\ -4 & -5 & -6 \end{array} \right)

Hint 1: Nå vi multipliserer en skalar og en matrise, multipliser vi hvert element i matrisen med skalaren.

Hint 2: Når vi skal finne 2A, multipliserer vi alle elementer i A med 2.

Løsning:

Når vi multipliserer en skalar og en matrise, multipliserer vi hvert element i matrisen med skalaren:

\begin{aligned} \textcolor{red}{2} \textcolor{blue}{A} & = \textcolor{red}{2} \left( \begin{array}{ccc} \textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{2} & \textcolor{blue}{3} \\ \textcolor{blue}{4} & \textcolor{blue}{5} & \textcolor{blue}{6} \end{array} \right) \\ \Rightarrow \textcolor{red}{2} \textcolor{blue}{A} & = \left( \begin{array}{ccc} \textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{blue}{1} & \textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{blue}{2} & \textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{blue}{3} \\ \textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{blue}{4} & \textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{blue}{5} & \textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{blue}{6} \end{array} \right) \\ \Rightarrow \textcolor{red}{2} \textcolor{blue}{A} & = \left( \begin{array}{ccc} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \end{array} \right) \end{aligned}

Når vi skal finne -A, multipliserer vi med (-1):

\begin{aligned} \textcolor{red}{-} \textcolor{blue}{A} & = \textcolor{red}{(-1)} \left( \begin{array}{ccc} \textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{2} & \textcolor{blue}{3} \\ \textcolor{blue}{4} & \textcolor{blue}{5} & \textcolor{blue}{6} \end{array} \right) \\ \Rightarrow \textcolor{red}{-} \textcolor{blue}{A} & = \left(\!\! \begin{array}{ccc} \textcolor{red}{(-1)} \cdot \textcolor{blue}{1} & \textcolor{red}{(-1)} \cdot \textcolor{blue}{2} & \textcolor{red}{(-1)} \cdot \textcolor{blue}{3} \\ \textcolor{red}{(-1)} \cdot \textcolor{blue}{4} & \textcolor{red}{(-1)} \cdot \textcolor{blue}{5} & \textcolor{red}{(-1)} \cdot \textcolor{blue}{6} \end{array} \right) \\ \Rightarrow \textcolor{red}{-} \textcolor{blue}{A} & = \left( \begin{array}{ccc} -1 & -2 & -3 \\ -4 & -5 & -6 \end{array} \right) \end{aligned}

Video: Under produksjon

Oppgave alg04:

Finn 2A + B dersom mulig når:

A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array} \right)\!\!, \;\; B = \left( \begin{array}{ccc} 3 & -1 & 3 \\ 2 & -2 & -4 \end{array} \right)

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

2A + B = \left( \begin{array}{ccc} 5 & 3 & 9 \\ 10 & 8 & 8 \end{array} \right)

Hint 1: Matrisene må ha samme dimensjoner for å kunne adderes.

Hint 2: Finn først 2A ved å multiplisere hvert element i A med 2. Deretter kan du adderer 2A og B ved å legge sammen korresponderende elementer.

Løsning:

Siden begge matrisene har samme dimensjon, 2 x 3, kan vi addere.

Først regner vi ut 2A ved å multiplisere hvert element i A med 2:

\begin{aligned} \textcolor{red}{2} \textcolor{blue}{A} & = \textcolor{red}{2} \left( \begin{array}{ccc} \textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{2} & \textcolor{blue}{3} \\ \textcolor{blue}{4} & \textcolor{blue}{5} & \textcolor{blue}{6} \end{array} \right) \\ \Rightarrow \textcolor{red}{2} \textcolor{blue}{A} & = \left( \begin{array}{ccc} \textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{blue}{1} & \textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{blue}{2} & \textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{blue}{3} \\ \textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{blue}{4} & \textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{blue}{5} & \textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{blue}{6} \end{array} \right) \\ \Rightarrow \textcolor{red}{2} \textcolor{blue}{A} & = \left( \begin{array}{ccc} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \end{array} \right) \end{aligned}

Når vi adderer to matriser, legger vi sammen korresponderende elementer:

\begin{aligned} \textcolor{red}{2A} + \textcolor{blue}{B} & = \left( \begin{array}{ccc} \textcolor{red}{2} & \textcolor{red}{4} & \textcolor{red}{6} \\ \textcolor{red}{8} & \textcolor{red}{10} & \textcolor{red}{12} \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} \textcolor{blue}{3} & \textcolor{blue}{-1} & \textcolor{blue}{3} \\ \textcolor{blue}{2} & \textcolor{blue}{-2} & \textcolor{blue}{-4} \end{array} \right) \\ \Rightarrow \textcolor{red}{2A} + \textcolor{blue}{B} & = \left( \begin{array}{ccc} \textcolor{red}{2} + \textcolor{blue}{3} & \textcolor{red}{4} + \textcolor{blue}{(-1)} & \textcolor{red}{6} + \textcolor{blue}{3} \\ \textcolor{red}{8} + \textcolor{blue}{2} & \textcolor{red}{10} + \textcolor{blue}{(-2)} & \textcolor{red}{12} + \textcolor{blue}{(-4)} \end{array} \right) \\ \Rightarrow \textcolor{red}{2A} + \textcolor{blue}{B} & = \left( \begin{array}{ccc} 5 & 3 & 9 \\ 10 & 8 & 8 \end{array} \right) \end{aligned}

Video: Under produksjon

Oppgave alg05:

Finn AB dersom mulig når:

A = \left( \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} \right)\!\!, \;\; B = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 6 \end{array} \right)

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

AB = \left( \begin{array}{c} 28 \\ 26 \end{array} \right)

Hint 1: Den første matrisen må ha like mange kolonner som antall rader i den andre matrisen for å kunne multipliseres.

Hint 2: Du må bruke første rad i A og første kolonne i B for å få elementet som skal stå i første rad og første kolonne i AB.

Løsning:

Siden A har like mange kolonner som antall rader i B, kan vi regne ut AB via matrisemultiplikasjon.

\begin{aligned} AB &= \left( \begin{array}{cc} \textcolor{red}{2} & \textcolor{blue}{3} \\ \textcolor{red}{4} & \textcolor{blue}{1} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \textcolor{red}{5} \\ \textcolor{blue}{6} \end{array} \right) \\ \Rightarrow AB &= \left( \begin{array}{cc} \textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{red}{5} + \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{blue}{6} \\ \textcolor{red}{4} \cdot \textcolor{red}{5} + \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{blue}{6} \\ \end{array} \right) \\ \Rightarrow AB &= \left( \begin{array}{cc} 28 \\ 26 \end{array} \right) \end{aligned}

Video: Under produksjon

Oppgave alg06:

Finn CB dersom mulig når:

C = \left( \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 4 & 1 \\ -2 & 2 \end{array} \right)\!\!, \;\; B = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 6 \end{array} \right)

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

CB = \left( \begin{array}{c} 28 \\ 26 \\ 2 \end{array} \right)

Hint 1: Den første matrisen må ha like mange kolonner som antall rader i den andre matrisen for å kunne multipliseres.

Hint 2: Du må bruke første rad i C og første kolonne i B for å få elementet som skal stå i første rad og første kolonne i CB.

Løsning:

Siden C har like mange kolonner som antall rader i B, kan vi regne ut CB via matrisemultiplikasjon.

\begin{aligned} AB &= \left( \begin{array}{cc} \textcolor{red}{2} & \textcolor{blue}{3} \\ \textcolor{red}{4} & \textcolor{blue}{1} \\ \textcolor{red}{-2} & \textcolor{blue}{2} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \textcolor{red}{5} \\ \textcolor{blue}{6} \end{array} \right) \\ \Rightarrow AB &= \left( \begin{array}{cc} \textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{red}{5} + \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{blue}{6} \\ \textcolor{red}{4} \cdot \textcolor{red}{5} + \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{blue}{6} \\ \textcolor{red}{-2} \cdot \textcolor{red}{5} + \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{blue}{6} \\ \end{array} \right) \\ \Rightarrow AB &= \left( \begin{array}{cc} 28 \\ 26 \\ 2 \end{array} \right) \end{aligned}

Video: Under produksjon

Oppgave alg07:

Finn DB dersom mulig når:

D = \left( \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 4 & 1 \\ -2 & 2 \\ 3 & -1 \end{array} \right)\!\!, \;\; B = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 6 \end{array} \right)

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

DB = \left( \begin{array}{c} 28 \\ 26 \\ 2 \\ 9 \end{array} \right)

Hint 1: Den første matrisen må ha like mange kolonner som antall rader i den andre matrisen for å kunne multipliseres.

Hint 2: Du må bruke første rad i D og første kolonne i B for å få elementet som skal stå i første rad og første kolonne i DB.

Løsning:

Siden D har like mange kolonner som antall rader i B, kan vi regne ut DB via matrisemultiplikasjon.

\begin{aligned} AB &= \left( \begin{array}{cc} \textcolor{red}{2} & \textcolor{blue}{3} \\ \textcolor{red}{4} & \textcolor{blue}{1} \\ \textcolor{red}{-2} & \textcolor{blue}{2} \\ \textcolor{red}{3} & \textcolor{blue}{-1} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \textcolor{red}{5} \\ \textcolor{blue}{6} \end{array} \right) \\ \Rightarrow AB &= \left( \begin{array}{cc} \textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{red}{5} + \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{blue}{6} \\ \textcolor{red}{4} \cdot \textcolor{red}{5} + \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{blue}{6} \\ \textcolor{red}{-2} \cdot \textcolor{red}{5} + \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{blue}{6} \\ \textcolor{red}{3} \cdot \textcolor{red}{5} + (\textcolor{blue}{-1}) \cdot \textcolor{blue}{6} \\ \end{array} \right) \\ \Rightarrow AB &= \left( \begin{array}{cc} 28 \\ 26 \\ 2 \\ 9\end{array} \right) \end{aligned}

Video: Under produksjon

Oppgave alg08:

Finn BA dersom mulig når:

A = \left( \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} \right)\!\!, \;\; B = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 6 \end{array} \right)

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

Siden antall kolonner i B er ulikt antall rader i A, kan vi ikke regne ut BA.

Hint 1: Den første matrisen må ha like mange kolonner som antall rader i den andre matrisen for å kunne multipliseres.

Hint 2: B har 1 kolonne og A har 2 rader.

Løsning:

B har 1 kolonne og A har 2 rader. Siden B ikke har like mange kolonner som antall rader i A, kan vi regne ut BA via matrisemultiplikasjon.

Video: Under produksjon

Oppgave alg09:

Finn AB og BA dersom mulig når:

A = \left( \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} \right)\!\!,\;\; B = \left( \begin{array}{cc} 5 & 6 \\ -1 & -2 \end{array} \right)

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

AB = \left( \begin{array}{c} 7 & 6 \\ 19 & 22 \end{array} \right) \\ BA = \left( \begin{array}{c} 34 & 21 \\ -10 & -5 \end{array} \right)

Hint 1: Den første matrisen må ha like mange kolonner som antall rader i den andre matrisen for å kunne multipliseres.

Hint 2: Du må bruke første rad i A og første kolonne i B for å få elementet som skal stå i første rad og første kolonne i AB.

Løsning:

Siden A har like mange kolonner som antall rader i B, kan vi regne ut AB via matrisemultiplikasjon.

\begin{aligned} AB &= \left( \begin{array}{cc} \textcolor{red}{2} & \textcolor{blue}{3} \\ \textcolor{red}{4} & \textcolor{blue}{1} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \textcolor{red}{5} & \textcolor{red}{6} \\ \textcolor{blue}{-1} & \textcolor{blue}{-2} \\ \end{array} \right) \\ \Rightarrow AB &= \left( \begin{array}{cc} \textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{red}{5} + \textcolor{blue}{3} \cdot (\textcolor{blue}{-1}) & \textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{red}{6} + \textcolor{blue}{3} \cdot (\textcolor{blue}{-2}) \\ \textcolor{red}{4} \cdot \textcolor{red}{5} + \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{blue}{-1}) & \textcolor{red}{4} \cdot \textcolor{red}{6} + \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{blue}{-2}) \end{array} \right) \\ \Rightarrow AB &= \left( \begin{array}{cc} 7 & 6 \\ 19 & 22 \end{array} \right) \end{aligned}

Siden B har like mange kolonner som antall rader i A, kan vi regne ut BA via matrisemultiplikasjon.

\begin{aligned} BA &= \left( \begin{array}{cc} \textcolor{red}{5} & \textcolor{blue}{6} \\ \textcolor{red}{-1} & \textcolor{blue}{-2} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \textcolor{red}{2} & \textcolor{red}{3} \\ \textcolor{blue}{4} & \textcolor{blue}{1} \\ \end{array} \right) \\ \Rightarrow BA &= \left( \begin{array}{cc} \textcolor{red}{5} \cdot \textcolor{red}{2} + \textcolor{blue}{6} \cdot \textcolor{blue}{4} & \textcolor{red}{5} \cdot \textcolor{red}{3} + \textcolor{blue}{6} \cdot \textcolor{blue}{1} \\ (\textcolor{red}{-1}) \cdot \textcolor{red}{2} + (\textcolor{blue}{-2}) \cdot \textcolor{blue}{4} & (\textcolor{red}{-1}) \cdot \textcolor{red}{3} + (\textcolor{blue}{-2}) \cdot \textcolor{blue}{1} \end{array} \right) \\ \Rightarrow BA &= \left( \begin{array}{cc} 34 & 21 \\ -10 & -5 \end{array} \right) \end{aligned}

Video: Under produksjon

Oppgave alg10:

Finn CD og DC dersom mulig når:

C = \left( \begin{array}{cc} 2 \\ 4 \end{array} \right)\!\!,\;\; D = \left( \begin{array}{cc} 5 & 3 \end{array} \right)

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

CD = \left( \begin{array}{c} 10 & 6 \\ 20 & 12 \end{array} \right) \\ DC = \left( \begin{array}{c} 22 \end{array} \right)

Hint 1: Den første matrisen må ha like mange kolonner som antall rader i den andre matrisen for å kunne multipliseres.

Hint 2: Du må bruke første rad i C og første kolonne i D for å få elementet som skal stå i første rad og første kolonne i CD.

Løsning:

Siden C har like mange kolonner som antall rader i D, kan vi regne ut CD via matrisemultiplikasjon.

\begin{aligned} CD &= \left( \begin{array}{cc} \textcolor{red}{2} \\ \textcolor{red}{4} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \textcolor{red}{5} & \textcolor{red}{3} \end{array} \right) \\ \Rightarrow CD &= \left( \begin{array}{cc} \textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{red}{5} & \textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{red}{3} \\ \textcolor{red}{4} \cdot \textcolor{red}{5} & \textcolor{red}{4} \cdot \textcolor{red}{3} \end{array} \right) \\ \Rightarrow CD &= \left( \begin{array}{cc} 10 & 6 \\ 20 & 12 \end{array} \right) \end{aligned}

Siden D har like mange kolonner som antall rader i C, kan vi også regne ut DC via matrisemultiplikasjon.

\begin{aligned} DC &= \left( \begin{array}{cc} \textcolor{red}{5} & \textcolor{blue}{3} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \textcolor{red}{2} \\ \textcolor{blue}{4} \end{array} \right) \\ \Rightarrow DC &= \left( \begin{array}{cc} \textcolor{red}{5} \cdot \textcolor{red}{2} + \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{blue}{4} \end{array} \right) \\ \Rightarrow DC &= \left( \begin{array}{c} 22 \end{array} \right) \end{aligned}

Video: Under produksjon

Oppgave alg11:

Finn AB og BA dersom mulig når:

A = \left( \begin{array}{cc} 2 & 4 \end{array} \right)\!\!,\;\; B = \left( \begin{array}{cc} 5 & 3 \\ 1 & 2 \end{array} \right)

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

AB = \left( \begin{array}{c} 14 & 14 \end{array} \right)

BA er ikke mulig å regne ut siden antall kolonner i B er ulikt antall rader i A.

Hint 1: Den første matrisen må ha like mange kolonner som antall rader i den andre matrisen for å kunne multipliseres.

Hint 2: Du må bruke første rad i A og første kolonne i B for å få elementet som skal stå i første rad og første kolonne i AB.

Løsning:

Siden A har like mange kolonner som antall rader i B, kan vi regne ut AB via matrisemultiplikasjon.

\begin{aligned} AB &= \left( \begin{array}{cc} \textcolor{red}{2} & \textcolor{blue}{4} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \textcolor{red}{5} & \textcolor{red}{3} \\ \textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{2} \end{array} \right) \\ \Rightarrow AB &= \left( \begin{array}{cc} \textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{red}{5} + \textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{blue}{1} & \textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{red}{3} + \textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{blue}{2} \end{array} \right) \\ \Rightarrow AB &= \left( \begin{array}{cc} 14 & 14 \end{array} \right) \end{aligned}

Siden B ikke har like mange kolonner som antall rader i A, kan vi ikke regne ut BA via matrisemultiplikasjon.

Video: Under produksjon

Oppgave alg12:

Finn AI og IA når:

A = \left( \begin{array}{cc} 2 & 4 \\ 3 & 5 \end{array} \right)

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

AI = \left( \begin{array}{cc} 2 & 4 \\ 3 & 5 \end{array} \right) = IA

Hint 1: I er identitetsmatrisen.

Hint 2: Dimensjonen på I velges slik at multiplikasjonen er mulig, dvs. antall kolonner i I må være lik antall rader i A når vi skal regne ut IA.

Løsning:

Vi vet at AI = A og IA = A siden I er identitetsmatrisen.

Men hvis vi vil, kan vi også vise det ved hjelp av matrisemultiplikasjon. Når vi skal regne ut AI må A ha like mange kolonner som antall rader i I. Dermed vet vi at I må være en 2 x 2 matrise:

\begin{aligned} AI &= \left( \begin{array}{cc} \textcolor{red}{2} & \textcolor{blue}{4} \\ \textcolor{red}{3} & \textcolor{blue}{5} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \textcolor{red}{1} & \textcolor{red}{0} \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{1} \end{array} \right) \\ \Rightarrow AI &= \left( \begin{array}{cc} \textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{red}{1} + \textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{red}{0} + \textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{blue}{1} \\ \textcolor{red}{3} \cdot \textcolor{red}{1} + \textcolor{blue}{5} \cdot \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{3} \cdot \textcolor{red}{0} + \textcolor{blue}{5} \cdot \textcolor{blue}{1} \end{array} \right) \\ \Rightarrow AI &= \left( \begin{array}{cc} 2 & 4 \\ 3 & 5 \end{array} \right) \\ \Rightarrow AI & = A \end{aligned}

Når vi skal regne ut IA må I ha like mange kolonner som antall rader i A. Dermed vet vi at I igjen må være en 2 x 2 matrise:

\begin{aligned} IA &= \left( \begin{array}{cc} \textcolor{red}{1} & \textcolor{blue}{0} \\ \textcolor{red}{0} & \textcolor{blue}{1} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \textcolor{red}{2} & \textcolor{red}{4} \\ \textcolor{blue}{3} & \textcolor{blue}{5} \end{array} \right) \\ \Rightarrow IA &= \left( \begin{array}{cc} \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{red}{2} + \textcolor{blue}{0} \cdot \textcolor{blue}{3} & \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{red}{4} + \textcolor{blue}{0} \cdot \textcolor{blue}{5} \\ \textcolor{red}{0} \cdot \textcolor{red}{2} + \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{blue}{3} & \textcolor{red}{0} \cdot \textcolor{red}{4} + \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{blue}{5} \end{array} \right) \\ \Rightarrow IA &= \left( \begin{array}{cc} 2 & 4 \\ 3 & 5 \end{array} \right) \\ \Rightarrow IA & = A \end{aligned}

Video: Under produksjon

Oppgave alg13:

Finn BI og IB når:

B = \left( \begin{array}{cc} 2 & 4 \\ 3 & 5 \\ 1 & 3 \end{array} \right)

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

BI = \left( \begin{array}{cc} 2 & 4 \\ 3 & 5 \\ 1 & 3 \end{array} \right) = IB

Hint 1: I er identitetsmatrisen.

Hint 2: Dimensjonen på I velges slik at multiplikasjonen er mulig, dvs. antall kolonner i I må være lik antall rader i B når vi skal regne ut IB.

Løsning:

Vi vet at BI = B og IB = B siden I er identitetsmatrisen.

Men hvis vi vil, kan vi også vise det ved hjelp av matrisemultiplikasjon. Når vi skal regne ut BI må B ha like mange kolonner som antall rader i I. Dermed vet vi at I må være en 2 x 2 matrise:

\begin{aligned} BI &= \left( \begin{array}{cc} \textcolor{red}{2} & \textcolor{blue}{4} \\ \textcolor{red}{3} & \textcolor{blue}{5} \\ \textcolor{red}{1} & \textcolor{blue}{3} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \textcolor{red}{1} & \textcolor{red}{0} \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{1} \end{array} \right) \\ \Rightarrow BI &= \left( \begin{array}{cc} \textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{red}{1} + \textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{red}{0} + \textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{blue}{1} \\ \textcolor{red}{3} \cdot \textcolor{red}{1} + \textcolor{blue}{5} \cdot \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{3} \cdot \textcolor{red}{0} + \textcolor{blue}{5} \cdot \textcolor{blue}{1} \\ \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{red}{1} + \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{red}{0} + \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{blue}{1} \end{array} \right) \\ \Rightarrow BI &= \left( \begin{array}{cc} 2 & 4 \\ 3 & 5 \\ 1 & 3 \end{array} \right) \\ \Rightarrow BI & = B \end{aligned}

Når vi skal regne ut IA må I ha like mange kolonner som antall rader i A. Dermed vet vi at I nå må være en 3 x 3 matrise:

\begin{aligned} IB &= \left( \begin{array}{cc} \textcolor{red}{1} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{green}{0} \\ \textcolor{red}{0} & \textcolor{blue}{1} & \textcolor{green}{0} \\ \textcolor{red}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{green}{1} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \textcolor{red}{2} & \textcolor{red}{4} \\ \textcolor{blue}{3} & \textcolor{blue}{5} \\ \textcolor{green}{1} & \textcolor{green}{3} \end{array} \right) \\ \Rightarrow IB &= \left( \begin{array}{cc} \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{red}{2} + \textcolor{blue}{0} \cdot \textcolor{blue}{3} + \textcolor{green}{0} \cdot \textcolor{green}{1} & \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{red}{4} + \textcolor{blue}{0} \cdot \textcolor{blue}{5} + \textcolor{green}{0} \cdot \textcolor{green}{3} \\ \textcolor{red}{0} \cdot \textcolor{red}{2} + \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{blue}{3} + \textcolor{green}{0} \cdot \textcolor{green}{1} & \textcolor{red}{0} \cdot \textcolor{red}{4} + \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{blue}{5} + \textcolor{green}{0} \cdot \textcolor{green}{3} \\ \textcolor{red}{0} \cdot \textcolor{red}{2} + \textcolor{blue}{0} \cdot \textcolor{blue}{3} + \textcolor{green}{1} \cdot \textcolor{green}{1} & \textcolor{red}{0} \cdot \textcolor{red}{4} + \textcolor{blue}{0} \cdot \textcolor{blue}{5} + \textcolor{green}{1} \cdot \textcolor{green}{3} \\ \end{array} \right) \\ \Rightarrow IB &= \left( \begin{array}{cc} 2 & 4 \\ 3 & 5 \\ 1 & 3 \end{array} \right) \\ \Rightarrow IB & = B \end{aligned}

Video: Under produksjon

Oppgave alg14:

Finn CD og DC når:

C = \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{array} \right) \!\!,\;\; D = \left( \begin{array}{ccc} 8 & 5 & 1 \\ 6 & 7 & 2 \end{array} \right)

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

CD = \left( \begin{array}{ccc} 20 & 19 & 5 \\ 48 & 43 & 11 \\ 76 & 67 & 17 \end{array} \right) \\ DC = \left( \begin{array}{cc} 28 & 42 \\ 37 & 52 \end{array} \right)

Hint 1: Den første matrisen må ha like mange kolonner som antall rader i den andre matrisen for å kunne multipliseres.

Hint 2: Du må bruke første rad i C og første kolonne i D for å få elementet som skal stå i første rad og første kolonne i CD.

Løsning:

Siden C har like mange kolonner som antall rader i D, kan vi regne ut CD via matrisemultiplikasjon.

\begin{aligned} CD &= \left( \begin{array}{cc} \textcolor{red}{1} & \textcolor{blue}{2} \\ \textcolor{red}{3} & \textcolor{blue}{4} \\ \textcolor{red}{5} & \textcolor{blue}{6} \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} \textcolor{red}{8} & \textcolor{red}{5} & \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{6} & \textcolor{blue}{7} & \textcolor{blue}{2} \end{array} \right) \\ \Rightarrow CD &= \left( \begin{array}{cc} \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{red}{8} + \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{blue}{6} & \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{red}{5} + \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{blue}{7} & \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{red}{1} + \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{blue}{2} \\ \textcolor{red}{3} \cdot \textcolor{red}{8} + \textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{blue}{6} & \textcolor{red}{3} \cdot \textcolor{red}{5} + \textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{blue}{7} & \textcolor{red}{3} \cdot \textcolor{red}{1} + \textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{blue}{2} \\ \textcolor{red}{5} \cdot \textcolor{red}{8} + \textcolor{blue}{6} \cdot \textcolor{blue}{6} & \textcolor{red}{5} \cdot \textcolor{red}{5} + \textcolor{blue}{6} \cdot \textcolor{blue}{7} & \textcolor{red}{5} \cdot \textcolor{red}{1} + \textcolor{blue}{6} \cdot \textcolor{blue}{2} \\ \end{array} \right) \\ \Rightarrow CD &= \left( \begin{array}{cc} 20 & 19 & 5 \\ 48 & 43 & 11 \\ 76 & 67 & 17 \end{array} \right) \end{aligned}

Siden D har like mange kolonner som antall rader i C, kan vi regne ut DC via matrisemultiplikasjon.

\begin{aligned} CD &= \left( \begin{array}{ccc} \textcolor{red}{8} & \textcolor{blue}{5} & \textcolor{green}{1} \\ \textcolor{red}{6} & \textcolor{blue}{7} & \textcolor{green}{2} \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} \textcolor{red}{1} & \textcolor{red}{2} \\ \textcolor{blue}{3} & \textcolor{blue}{4} \\ \textcolor{green}{5} & \textcolor{green}{6} \end{array} \right) \\ \Rightarrow CD &= \left( \begin{array}{cc} \textcolor{red}{8} \cdot \textcolor{red}{1} + \textcolor{blue}{5} \cdot \textcolor{blue}{3} + \textcolor{green}{1} \cdot \textcolor{green}{5} & \textcolor{red}{8} \cdot \textcolor{red}{2} + \textcolor{blue}{5} \cdot \textcolor{blue}{4} + \textcolor{green}{1} \cdot \textcolor{green}{6} \\ \textcolor{red}{6} \cdot \textcolor{red}{1} + \textcolor{blue}{7} \cdot \textcolor{blue}{3} + \textcolor{green}{2} \cdot \textcolor{green}{5} & \textcolor{red}{6} \cdot \textcolor{red}{2} + \textcolor{blue}{7} \cdot \textcolor{blue}{4} + \textcolor{green}{2} \cdot \textcolor{green}{6} \end{array} \right) \\ \Rightarrow CD &= \left( \begin{array}{cc} 28 & 42 \\ 37 & 52 \end{array} \right) \end{aligned}

Video: Under produksjon

Oppgave alg15:

Finn A² dersom mulig når:

A = \left( \begin{array}{cc} 2 & 4 \\ 3 & 5 \end{array} \right)

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

A^2 = \left( \begin{array}{cc} 16 & 28 \\ 21 & 37 \end{array} \right)

Hint 1: A² = AA. Vi må derfor multiplisere A med seg selv.

Hint 2: Vi må bruke første rad i A og første kolonne i A for å få elementet som skal stå i første rad og første kolonne i A².

Løsning:

Siden A² = AA må vi multiplisere A med seg selv.

Siden A har like mange rader som kolonner, kan vi regne ut A²:

\begin{aligned} A^2 &= \left( \begin{array}{cc} \textcolor{red}{2} & \textcolor{blue}{4} \\ \textcolor{red}{3} & \textcolor{blue}{5} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \textcolor{red}{2} & \textcolor{red}{4} \\ \textcolor{blue}{3} & \textcolor{blue}{5} \end{array} \right) \\ \Rightarrow A^2 &= \left( \begin{array}{cc} \textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{red}{2} + \textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{blue}{3} & \textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{red}{4} + \textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{blue}{5} \\ \textcolor{red}{3} \cdot \textcolor{red}{2} + \textcolor{blue}{5} \cdot \textcolor{blue}{3} & \textcolor{red}{3} \cdot \textcolor{red}{4} + \textcolor{blue}{5} \cdot \textcolor{blue}{5} \end{array} \right) \\ \Rightarrow A^2 &= \left( \begin{array}{cc} 16 & 28 \\ 21 & 37 \end{array} \right) \end{aligned}

Video: Under produksjon

Oppgave alg16:

Finn D² og D³ dersom mulig når:

D = \left( \begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{array} \right)

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

D^2 = \left( \begin{array}{cc} 4 & 0 \\ 0 & 9 \end{array} \right) \\ D^3 = \left( \begin{array}{cc} 8 & 0 \\ 0 & 27 \end{array} \right)

Hint 1: D² = DD og D³ = DDD. Vi må derfor multiplisere D med seg selv to og tre ganger.

Hint 2: Vi må bruke første rad i D og første kolonne i D for å få elementet som skal stå i første rad og første kolonne i D².

Løsning:

Siden D² = DD må vi multiplisere D med seg selv.

Siden D har like mange rader som kolonner, kan vi regne ut D²:

\begin{aligned} D^2 &= \left( \begin{array}{cc} \textcolor{red}{2} & \textcolor{blue}{0} \\ \textcolor{red}{0} & \textcolor{blue}{3} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \textcolor{red}{2} & \textcolor{red}{0} \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{3} \end{array} \right) \\ \Rightarrow D^2 &= \left( \begin{array}{cc} \textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{red}{2} + \textcolor{blue}{0} \cdot \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{red}{0} + \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{blue}{0} \\ \textcolor{red}{0} \cdot \textcolor{red}{2} + \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{0} \cdot \textcolor{red}{0} + \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{blue}{3} \end{array} \right) \\ \Rightarrow D^2 &= \left( \begin{array}{cc} 4 & 0 \\ 0 & 9 \end{array} \right) \end{aligned}

Når vi skal regne ut D³, bruker vi at D³ = DD²:

\begin{aligned} D^3 & = DD^2 \\ D^3 &= \left( \begin{array}{cc} \textcolor{red}{4} & \textcolor{blue}{0} \\ \textcolor{red}{0} & \textcolor{blue}{9} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \textcolor{red}{2} & \textcolor{red}{0} \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{3} \end{array} \right) \\ \Rightarrow D^3 &= \left( \begin{array}{cc} \textcolor{red}{4} \cdot \textcolor{red}{2} + \textcolor{blue}{0} \cdot \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{4} \cdot \textcolor{red}{0} + \textcolor{blue}{0} \cdot \textcolor{blue}{3} \\ \textcolor{red}{0} \cdot \textcolor{red}{2} + \textcolor{blue}{9} \cdot \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{0} \cdot \textcolor{red}{0} + \textcolor{blue}{9} \cdot \textcolor{blue}{3} \end{array} \right) \\ \Rightarrow D^3 &= \left( \begin{array}{cc} 8 & 0 \\ 0 & 27 \end{array} \right) \end{aligned}

Merk at siden D er en diagonalmatrise, så:

D^2 = \left( \begin{array}{cc} 2^2 & 0 \\ 0 & 3^2 \end{array} \right) \\ D^3 = \left( \begin{array}{cc} 2^3 & 0 \\ 0 & 3^3 \end{array} \right) \\ D^n = \left( \begin{array}{cc} 2^n & 0 \\ 0 & 3^n \end{array} \right)

Video: Under produksjon

Oppgave det01:

Finn determinanten til A dersom mulig når:

A = \left( \begin{array}{cc} 2 & 4 \\ 3 & 5 \end{array} \right)

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

\det(A) = -2

Hint 1: A er en 2 x 2 matrise

Hint 2: Determinanten til en 2 x 2 matrise er gitt ved:

\left| \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right| = ad - bc

Løsning:

A er en 2 x 2 matrise. Determinanten til en 2 x 2 matrise er:

\left| \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right| = ad - bc

Dermed blir determinanten til A:

\det(A) = \left| \begin{array}{cc} 2 & 4 \\ 3 & 5 \end{array} \right| = 2 \cdot 5 - 4 \cdot 3 = -2

Video: Under produksjon

Oppgave det02:

Finn determinanten til A dersom mulig når:

A = \left( \begin{array}{ccc} 2 & 4 & 6 \\ 3 & 5 & 2 \end{array} \right)

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit: Determinanten eksisterer ikke.

Hint 1: A er en 2 x 3 matrise

Hint 2: Determinanten eksisterer kun for kvadratiske matriser

Løsning:

Determinanter eksisterer kun for kvadratiske matriser. A er en 2 x 3 matrise og derfor ikke kvadratisk.

Determinanten til A eksisterer ikke.

Video: Under produksjon

Oppgave det03:

Finn determinanten til A dersom mulig når:

A = \left( \begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 3 & 5 \end{array} \right)

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

\det(A) = 10

Hint 1: A er en 2 x 2 matrise

Hint 2: Determinanten til en 2 x 2 matrise er gitt ved:

\left| \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right| = ad - bc

Løsning:

A er en 2 x 2 matrise. Determinanten til en 2 x 2 matrise er:

\left| \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right| = ad - bc

Dermed blir determinanten til A:

\det(A) = \left| \begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 3 & 5 \end{array} \right| = 2 \cdot 5 - 0 \cdot 3 = 10

Siden A er en triangulær matrise, kunne vi bare tatt produktet av hoveddiagonalen:

\det(A) = \left| \begin{array}{cc} \textcolor{red}{2} & 0 \\ 3 & \textcolor{red}{5} \end{array} \right| = 2 \cdot 5 = 10

Video: Under produksjon

Oppgave det04:

Finn determinanten til A dersom mulig når:

A = \left( \begin{array}{cc} 2 & 4 \\ 3 & 6 \end{array} \right)

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

\det(A) = 0

Hint 1: A er en 2 x 2 matrise

Hint 2: Determinanten til en 2 x 2 matrise er gitt ved:

\left| \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right| = ad - bc

Løsning:

A er en 2 x 2 matrise. Determinanten til en 2 x 2 matrise er:

\left| \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right| = ad - bc

Dermed blir determinanten til A:

\det(A) = \left| \begin{array}{cc} 2 & 4 \\ 3 & 6 \end{array} \right| = 2 \cdot 6 - 4 \cdot 3 = 0

PS: Siden determinanten er null, er de to kolonnene lineært avhengige. Her kan vi skrive andre kolonne som den første kolonnen multiplisert med to:

\left( \begin{array}{c} 4 \\ 6 \end{array} \right) = 2 \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)

De to radene er også lineært avhengige:

\left( \begin{array}{cc} 3 & 6 \end{array} \right) = \frac{3}{2} \left( \begin{array}{cc} 2 & 4 \end{array} \right)

Video: Under produksjon

Oppgave det04:

Sjekk om følgende vektorer er lineært avhengige:

\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)\!\!, \;\; \left( \begin{array}{c} 4 \\ 6 \end{array} \right)

Hvis de er lineært avhengige, finn et uttrykk for den andre vektoren ved hjelp av den første.

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

Ja, de er lineært avhengige.

\left( \begin{array}{c} 4 \\ 6 \end{array} \right) = 2 \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)

Hint 1: Hvis de er lineært avhengige, kan hver vektor settes lik den andre multiplisert med en konstant.

Hint 2: Vi kan sjekke om de er lineært uavhengige, ved å sette dem sammen i en matrise og ta determinanten.

Løsning:

Setter de to vektorene sammen til en matrise og finner determinanten:

\left| \begin{array}{cc} 2 & 4 \\ 3 & 6 \end{array} \right| = 2 \cdot 6 - 4 \cdot 3 = 0

Siden determinanten er null, er de to kolonnene lineært avhengige. Her kan vi skrive andre kolonne som den første kolonnen multiplisert med to:

\left( \begin{array}{c} 4 \\ 6 \end{array} \right) = 2 \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)

PS: De to radene er også lineært avhengige:

\left( \begin{array}{cc} 3 & 6 \end{array} \right) = \frac{3}{2} \left( \begin{array}{cc} 2 & 4 \end{array} \right)

Video: Under produksjon

Oppgave det05:

Finn determinanten til A dersom mulig når:

A = \left( \begin{array}{ccc} 2 & 4 & 0 \\ 3 & 6 & 1 \\ 2 & 1 & 5 \end{array} \right)

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

\det(A) = 6

Hint 1: Vi kan ta utgangspunkt i den kolonnen eller raden vi ønsker

Hint 2: Determinanten til en 3 x 3 matrise med utgangspunkt i rad 1 er gitt ved:

\begin{aligned} \det(A) = & \left| \begin{array}{ccc} \textcolor{red}{a_{11}} & \textcolor{blue}{a_{12}} & \textcolor{green}{a_{13}} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right| \\ \Rightarrow \quad \det(A) = & \textcolor{red}{a_{11}} \left| \begin{array}{ccc} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{array} \right| - \textcolor{blue}{a_{12}} \left| \begin{array}{ccc} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{array} \right| + \textcolor{green}{a_{13}} \left| \begin{array}{ccc} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{array} \right| \end{aligned}

Løsning:

Vi kan ta utgangspunkt i den raden eller kolonnen vi ønsker. Her kan det være lurt å velge rad 1 eller kolonne 3 på grunn av nullen.

Determinanten til en 3 x 3 matrise med utgangspunkt i rad 1 er gitt ved:

\begin{aligned} \det(A) = & \left| \begin{array}{ccc} \textcolor{red}{a_{11}} & \textcolor{blue}{a_{12}} & \textcolor{green}{a_{13}} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right| \\ \Rightarrow \quad \det(A) = & \textcolor{red}{a_{11}} \left| \begin{array}{ccc} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{array} \right| - \textcolor{blue}{a_{12}} \left| \begin{array}{ccc} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{array} \right| + \textcolor{green}{a_{13}} \left| \begin{array}{ccc} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{array} \right| \end{aligned}

Dermed blir determinanten til A:

\begin{aligned} \det(A) & = \left| \begin{array}{ccc} \textcolor{red}{2} & \textcolor{blue}{4} & \textcolor{green}{0} \\ 3 & 6 & 1 \\ 2 & 1 & 5 \end{array} \right| \\ \Rightarrow \quad \det(A) & = \textcolor{red}{2} \left| \begin{array}{cc} 6 & 1 \\ 1 & 5 \end{array} \right| - \textcolor{blue}{4} \left| \begin{array}{cc} 3 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} \right| + \textcolor{green}{0} \\ \Rightarrow \quad \det(A) & = \textcolor{red}{2} ( 6 \cdot 5 - 1 \cdot 1 ) - \textcolor{blue}{4} ( 3 \cdot 5 - 2 \cdot 1 ) \\ \Rightarrow \quad \det(A) & = 6 \end{aligned}

Video: Under produksjon

Oppgave det06:

Finn determinanten til A dersom mulig når:

A = \left( \begin{array}{ccc} 6 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 5 \end{array} \right)

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

\det(A) = 6

Hint 1: Vi kan ta utgangspunkt i den kolonnen eller raden vi ønsker

Hint 2: Determinanten til en 3 x 3 matrise med utgangspunkt i rad 2 er gitt ved:

\begin{aligned} \det(A) & = \left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ \textcolor{red}{a_{21}} & \textcolor{blue}{a_{22}} & \textcolor{green}{a_{23}} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right| \\ \Rightarrow \quad \det(A) & = (-1)^{2+1} \textcolor{red}{a_{21}} \left| \begin{array}{ccc} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \end{array} \right| \\ & \quad + (-1)^{2+2} \textcolor{blue}{a_{22}} \left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{array} \right| \\ & \quad + (-1)^{2+3} \textcolor{green}{a_{23}} \left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{array} \right| \end{aligned}

Løsning:

Vi kan ta utgangspunkt i den raden eller kolonnen vi ønsker. Her kan det være lurt å velge rad 2 på grunn av nullene.

Determinanten til en 3 x 3 matrise med utgangspunkt i rad 2 er gitt ved:

\begin{aligned} \det(A) & = \left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ \textcolor{red}{a_{21}} & \textcolor{blue}{a_{22}} & \textcolor{green}{a_{23}} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right| \\ \Rightarrow \quad \det(A) & = (-1)^{2+1} \textcolor{red}{a_{21}} \left| \begin{array}{ccc} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \end{array} \right| \\ & \quad + (-1)^{2+2} \textcolor{blue}{a_{22}} \left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{array} \right| \\ & \quad + (-1)^{2+3} \textcolor{green}{a_{23}} \left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{array} \right| \end{aligned}

Dermed blir determinanten til A:

\begin{aligned} \det(A) & = \left| \begin{array}{ccc} 6 & 4 & 0 \\ \textcolor{red}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{green}{3} \\ 2 & 1 & 5 \end{array} \right| \\ \Rightarrow \quad \det(A) & = + \textcolor{red}{0} + \textcolor{blue}{0} + (-1)^{2+3} \cdot \textcolor{green}{3} \left| \begin{array}{cc} 6 & 4 \\ 2 & 1 \end{array} \right| \\ \Rightarrow \quad \det(A) & = - \textcolor{green}{3} (6 \cdot 1 - 2 \cdot 4)\\ \Rightarrow \quad \det(A) & = 6 \end{aligned}

Video: Under produksjon

Oppgave det07:

Finn determinanten til A dersom mulig når:

A = \left( \begin{array}{ccc} 4 & 0 & 2 \\ 5 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 6 \end{array} \right)

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

\det(A) = 18

Hint 1: Vi kan ta utgangspunkt i den kolonnen eller raden vi ønsker

Hint 2: Determinanten til en 3 x 3 matrise med utgangspunkt i kolonne 2 er gitt ved:

\begin{aligned} \det(A) & = \left| \begin{array}{ccc} a_{11} & \textcolor{red}{a_{12}} & a_{13} \\ a_{21} & \textcolor{blue}{a_{22}} & a_{23} \\ a_{31} & \textcolor{green}{a_{32}} & a_{33} \end{array} \right| \\ \Rightarrow \quad \det(A) & = (-1)^{1+2} \textcolor{red}{a_{12}} \left| \begin{array}{ccc} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{array} \right| \\ & \quad + (-1)^{2+2} \textcolor{blue}{a_{22}} \left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{array} \right| \\ & \quad + (-1)^{3+2} \textcolor{green}{a_{32}} \left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23} \end{array} \right| \end{aligned}

Løsning:

Vi kan ta utgangspunkt i den raden eller kolonnen vi ønsker. Her kan det være lurt å velge kolonne 2 på grunn av nullene.

Determinanten til en 3 x 3 matrise med utgangspunkt i kolonne 2 er gitt ved:

\begin{aligned} \det(A) & = \left| \begin{array}{ccc} a_{11} & \textcolor{red}{a_{12}} & a_{13} \\ a_{21} & \textcolor{blue}{a_{22}} & a_{23} \\ a_{31} & \textcolor{green}{a_{32}} & a_{33} \end{array} \right| \\ \Rightarrow \quad \det(A) & = (-1)^{1+2} \textcolor{red}{a_{12}} \left| \begin{array}{ccc} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{array} \right| \\ & \quad + (-1)^{2+2} \textcolor{blue}{a_{22}} \left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{array} \right| \\ & \quad + (-1)^{3+2} \textcolor{green}{a_{32}} \left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23} \end{array} \right| \end{aligned}

Dermed blir determinanten til A:

\begin{aligned} \det(A) & = \left| \begin{array}{ccc} 4 & \textcolor{red}{0} & 2 \\ 5 & \textcolor{blue}{0} & 1 \\ 2 & \textcolor{green}{3} & 6 \end{array} \right| \\ \Rightarrow \quad \det(A) & = \textcolor{red}{0} + \textcolor{blue}{0} + (-1)^{3+2} \cdot \textcolor{green}{3} \left| \begin{array}{cc} 4 & 2 \\ 5 & 1 \end{array} \right| \\ \Rightarrow \quad \det(A) & = - \textcolor{green}{3} (4 \cdot 1 - 2 \cdot 5)\\ \Rightarrow \quad \det(A) & = 18 \end{aligned}

Video: Under produksjon

Oppgave det08:

Finn determinanten til A dersom mulig når:

A = \left( \begin{array}{ccc} 4 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & 6 \\ 6 & 3 & 0 \end{array} \right)

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

\det(A) = 0

Hint 1: Vi kan ta utgangspunkt i den kolonnen eller raden vi ønsker

Hint 2: Determinanten til en 3 x 3 matrise med utgangspunkt i kolonne 3 er gitt ved:

\begin{aligned} \det(A) & = \left| \begin{array}{ccc} a_{11} & & a_{12} & \textcolor{red}{a_{13}} \\ a_{21} & & a_{22} & \textcolor{blue}{a_{23}} \\ a_{31} & & a_{32} & \textcolor{green}{a_{33}} \end{array} \right| \\ \Rightarrow \quad \det(A) & = (-1)^{1+3} \textcolor{red}{a_{13}} \left| \begin{array}{ccc} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{array} \right| \\ & \quad + (-1)^{2+3} \textcolor{blue}{a_{23}} \left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{array} \right| \\ & \quad + (-1)^{3+3} \textcolor{green}{a_{33}} \left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right| \end{aligned}

Løsning:

Vi kan ta utgangspunkt i den raden eller kolonnen vi ønsker. Her kan det være lurt å velge kolonne 3 på grunn av nullene.

Determinanten til en 3 x 3 matrise med utgangspunkt i kolonne 3 er gitt ved:

\begin{aligned} \det(A) & = \left| \begin{array}{ccc} a_{11} & & a_{12} & \textcolor{red}{a_{13}} \\ a_{21} & & a_{22} & \textcolor{blue}{a_{23}} \\ a_{31} & & a_{32} & \textcolor{green}{a_{33}} \end{array} \right| \\ \Rightarrow \quad \det(A) & = (-1)^{1+3} \textcolor{red}{a_{13}} \left| \begin{array}{ccc} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{array} \right| \\ & \quad + (-1)^{2+3} \textcolor{blue}{a_{23}} \left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{array} \right| \\ & \quad + (-1)^{3+3} \textcolor{green}{a_{33}} \left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right| \end{aligned}

Dermed blir determinanten til A:

\begin{aligned} \det(A) & = \left| \begin{array}{ccc} 4 & 2 & \textcolor{red}{0} \\ 2 & 3 & \textcolor{blue}{6} \\ 6 & 3 & \textcolor{green}{0} \end{array} \right| \\ \Rightarrow \quad \det(A) & = \textcolor{red}{0} + (-1)^{2+3} \cdot \textcolor{blue}{6} \left| \begin{array}{cc} 4 & 2 \\ 6 & 3 \end{array} \right| + \textcolor{green}{0} \\ \Rightarrow \quad \det(A) & = - \textcolor{blue}{6} (4 \cdot 3 - 2 \cdot 6)\\ \Rightarrow \quad \det(A) & = 0 \end{aligned}

Video: Under produksjon

Oppgave det09:

Sjekk om følgende vektorer er lineært avhengige::

\left( \begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 6 \end{array} \right)\!\!,\; \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 3 \end{array} \right)\!\!,\; \left( \begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ 0 \end{array} \right)

Hvis de er lineært avhengige, finn et uttrykk for den første vektoren ved hjelp av de to andre.

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

Ja, de er lineært avhengige.

\left( \begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 6 \end{array} \right) = 2 \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 3 \end{array} \right) - \frac{2}{3} \left( \begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ 0 \end{array} \right)

Hint 1: Hvis vektorene er lineært avhengige, kan minst to av vektorene uttrykkes ved en kombinasjon av de andre to.

Hint 2: Vi kan sjekke om de er lineært uavhengige, ved å sette dem sammen i en matrise og ta determinanten.

Løsning:

Setter de to vektorene sammen til en matrise og finner determinanten med utgangspunkt i kolonne 3:

\begin{aligned} \det(A) & = \left| \begin{array}{ccc} 4 & 2 & \textcolor{red}{0} \\ 2 & 3 & \textcolor{blue}{6} \\ 6 & 3 & \textcolor{green}{0} \end{array} \right| \\ \Rightarrow \quad \det(A) & = \textcolor{red}{0} + (-1)^{2+3} \cdot \textcolor{blue}{6} \left| \begin{array}{cc} 4 & 2 \\ 6 & 3 \end{array} \right| + \textcolor{green}{0} \\ \Rightarrow \quad \det(A) & = - \textcolor{blue}{6} (4 \cdot 3 - 2 \cdot 6)\\ \Rightarrow \quad \det(A) & = 0 \end{aligned}

Siden determinanten er null, er kolonnene lineært avhengige. Dermed kan vi skrive den første vektorene som en lineær kombinasjon av de to andre:

\left( \begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 6 \end{array} \right) = k_1 \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 3 \end{array} \right) + k_2 \left( \begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ 0 \end{array} \right)

Den siste kolonnen har null i første element (øverst). Dermed må konstanten k₁ = 2 for å få 4 i første element:

\left( \begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 6 \end{array} \right) = 2 \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 3 \end{array} \right) + k_2 \left( \begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ 0 \end{array} \right)

Nå er tredje element (nederst) også grei siden 6 = 2 x 3.

Vi må nå finne en konstant k2 slik at:

\begin{aligned} 2 & = 2 \cdot 3 + k_2 \cdot 6 & | -6 \\ \Rightarrow \quad 2 - 6 & = k_2 \cdot 6 & | \;\cdot \frac{1}{6} \\ \Rightarrow \quad\;\;\: - \frac{4}{6} &= k_2 \\ \Rightarrow \quad\;\;\: - \frac{2}{3} &= k_2 \end{aligned}

Dermed har vi:

\left( \begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 6 \end{array} \right) = 2 \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 3 \end{array} \right) - \frac{2}{3} \left( \begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ 0 \end{array} \right)

PS: Siden determinanten er null, er også radene lineært avhengige. Her er det en enkel sammenheng mellom rad 1 og 3:

\left( \begin{array}{ccc} 6 & 3 & 0 \end{array} \right) = \frac{3}{2} \left( \begin{array}{ccc} 4 & 2 & 0 \end{array} \right)

Video: Under produksjon

Oppgave det10:

Finn determinanten til A dersom mulig når:

A = \left( \begin{array}{ccc} 4 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ 6 & 5 & 1 \end{array} \right)

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

\det(A) = 12

Hint 1: Merk at A er en triangulær matrise

Hint 2: Determinanten til en triangulær matrise er lik produktet av hoveddiagonalen:

\det(A) = \left| \begin{array}{ccc} \textcolor{red}{a_{11}} & 0 & 0 \\ a_{21} & \textcolor{blue}{a_{22}} & 0 \\ a_{31} & a_{32} & \textcolor{green}{a_{33}} \end{array} \right| = \textcolor{red}{a_{11}} \cdot \textcolor{blue}{a_{22}} \cdot \textcolor{green}{a_{33}}

Løsning:

Siden A er en triangulær matrise, er determinanten lik produktet av hoveddiagonalen:

\det(A) = \left| \begin{array}{ccc} \textcolor{red}{4} & 0 & 0 \\ 2 & \textcolor{blue}{3} & 0 \\ 6 & 5 & \textcolor{green}{1} \end{array} \right| = \textcolor{red}{4} \cdot \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{green}{1} = 12

Alternativt kan vi ta utgangspunkt i den raden eller kolonnen vi ønsker. Her kan det være lurt å velge rad 1 eller kolonne 3 på grunn av nullene.

Determinanten til en 3 x 3 matrise med utgangspunkt i rad 1 får vi:

\begin{aligned} \det(A) & = \left| \begin{array}{ccc} \textcolor{red}{4} & 0 & 0 \\ 2 & \textcolor{blue}{3} & 0 \\ 6 & 5 & \textcolor{green}{1} \end{array} \right| \\ \Rightarrow \quad \det(A) & = \textcolor{red}{4} \left| \begin{array}{cc} \textcolor{blue}{3} & 0 \\ 0 & \textcolor{green}{1} \end{array} \right| + 0 + 0 \\ \Rightarrow \quad \det(A) & = \textcolor{red}{4} \cdot \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{green}{1} \\ \Rightarrow \quad \det(A) & = 12 \end{aligned}

Video: Under produksjon

Oppgave det11:

Finn determinanten til A dersom mulig når:

A = \left( \begin{array}{ccc} 4 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ 6 & 5 & 0 \end{array} \right)

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

\det(A) = 0

Hint 1: Merk at A har en kolonne med kun null

Hint 2: Determinanten til en matrise som har en rad eller kolonne med kun null, blir null

Løsning:

Siden A har en kolonne med kun null, blir determinanten null.

\det(A) = 0

Alternativt kan vi ta utgangspunkt i den raden eller kolonnen vi ønsker. Her kan det være lurt å velge kolonne 3 på grunn av nullene.

Determinanten til en 3 x 3 matrise med utgangspunkt i kolonne 3 får vi:

\det(A) = \left| \begin{array}{ccc} 4 & 0 & \textcolor{red}{0} \\ 2 & 3 & \textcolor{blue}{0} \\ 6 & 5 & \textcolor{green}{0} \end{array} \right| = \textcolor{red}{0} + \textcolor{blue}{0} + \textcolor{green}{0} = 0

Video: Under produksjon

Oppgave det12:

Finn determinanten til A dersom mulig når:

A = \left( \begin{array}{cccc} 4 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 6 & 0 \\ 5 & 3 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \end{array} \right)

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

\det(A) = 94

Hint 1: Vi kan ta utgangspunkt i den kolonnen eller raden vi ønsker når vi skal regne ut determinanten

Hint 2: Her lurt å ta utgangspunkt i kolonne 4 på grunn av alle nullene

Løsning:

Vi kan ta utgangspunkt i den raden eller kolonnen vi ønsker. Her kan det være lurt å velge kolonne 4 på grunn av nullene.

Determinanten til en 4 x 4 matrise med utgangspunkt i kolonne 4 er gitt ved:

\begin{aligned} \det(A) & = \left| \begin{array}{cccc} a_{11} & & a_{12} & & a_{13} & \textcolor{red}{a_{14}} \\ a_{21} & & a_{22} & & a_{23} & \textcolor{blue}{a_{24}} \\ a_{31} & & a_{32} & & a_{33} & \textcolor{green}{a_{34}} \\ a_{41} & & a_{42} & & a_{43} & \textcolor{purple}{a_{44}} \end{array} \right| \\ \Rightarrow \quad \det(A) & = (-1)^{1+4} \textcolor{red}{a_{14}} \left| \begin{array}{ccc} a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} \end{array} \right| \\ & \quad + (-1)^{2+4} \textcolor{blue}{a_{24}} \left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} \end{array} \right| \\ & \quad + (-1)^{3+4} \textcolor{green}{a_{34}} \left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} \end{array} \right| \\ & \quad + (-1)^{4+4} \textcolor{purple}{a_{44}} \left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right| \end{aligned}

Dermed blir determinanten til A:

\begin{aligned} \det(A) & = \left| \begin{array}{cccc} 4 & 0 & 1 & \textcolor{red}{0} \\ 2 & 3 & 6 & \textcolor{blue}{0} \\ 5 & 3 & 0 & \textcolor{green}{2} \\ 1 & 2 & 0 & \textcolor{purple}{0} \end{array} \right| \\ \Rightarrow \quad \det(A) & = \textcolor{red}{0} + \textcolor{blue}{0} + (-1)^{3+4} \cdot \textcolor{green}{2} \left| \begin{array}{ccc} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 6 \\ 1 & 2 & 0 \end{array} \right| + \textcolor{purple}{0} \\ \Rightarrow \quad \det(A) & = -\textcolor{green}{2} \left| \begin{array}{ccc} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 6 \\ 1 & 2 & 0 \end{array} \right| \end{aligned}

For å regne ut 3×3 matrisen, kan vi for eksempel ta utgangspunkt i rad 1:

\begin{aligned} \det(A) & = - 2 \left| \begin{array}{ccc} \textcolor{red}{4} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{green}{1} \\ 2 & 3 & 6 \\ 1 & 2 & 0 \end{array} \right| \\ \Rightarrow \quad \det(A) & = - 2 \left( (-1)^{1+1} \cdot \textcolor{red}{4} \left| \begin{array}{cc} 3 & 6 \\ 2 & 0 \end{array} \right| + \textcolor{blue}{0} + (-1)^{1+3} \cdot \textcolor{green}{1} \left| \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{array} \right| \right) \\ \Rightarrow \quad \det(A) & = - 2 \left( \textcolor{red}{4} (3 \cdot 0 - 6 \cdot 2) + \textcolor{green}{1} (2 \cdot 2 - 1 \cdot 3) \right) \\ \Rightarrow \quad \det(A) & = - 2 \left( - 48 + 1 \right) \\ \Rightarrow \quad \det(A) & = 94 \end{aligned}

Video: Under produksjon

Oppgave detko01:

Finn kofaktormatrisen til A dersom mulig når:

A = \left( \begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 3 & 5 \end{array} \right)

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

C = \left( \begin{array}{cc} 5 & -2 \\ 0 & 2 \end{array} \right)

Hint 1: Kofaktormatrisen eksisterer dersom A er kvadratisk

Hint 2: Kofaktorene er gitt ved:

C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}

der M_ij er minioren til a_ij, dvs. determinanten til det som gjenstår når vi stryker rad i og kolonne j i A

Løsning:

For å finne kofaktormatrisen, må vi finne alle kofaktorene:

\begin{aligned} C_{11} & = (-1)^{1+1} M_{11} = \left| 5 \right| = 5 \\ C_{12} & = (-1)^{1+2} M_{12} = - \left| 3 \right| = -3 \\ C_{21} & = (-1)^{2+1} M_{21} = - \left| 0 \right| = 0 \\ C_{22} & = (-1)^{2+2} M_{22} = \left| 2 \right| = 2 \end{aligned}

Nå kan vi sette kofaktorene inn i kofaktormatrisen:

\begin{aligned} C & = \left( \begin{array}{cc} 5 & -3 \\ 0 & 2 \end{array} \right) \end{aligned}

Video: Under produksjon

Oppgave inv01:

Finn den inverse matrisen til A ved hjelp av radoperasjoner:

A = \left( \begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 3 & 5 \end{array} \right)

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

A^{-1} = \left( \begin{array}{cc} \frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{3}{10} & \frac{1}{5} \end{array} \right)

Hint 1: Vi kan finne den inverse matrisen ved å sette A og identitetsmatrisen, I, sammen i en matrise: (A | I )

Hint 2: Bruk Gauss eliminasjon og Gauss-Jordan eliminasjon til matrisen (A | I ) er på redusert trappeform: (I | A^-1)

Løsning:

Sett A og identitetsmatrisen, I, sammen i en matrise:

(A | I) = \left( \begin{array}{cc|cc} 2 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 5 & 0 & 1 \end{array}\right)

Bruk Gauss eliminasjon og Gauss-Jordan eliminasjon til matrisen er på redusert trappeform:

\begin{aligned} (A | I) = \left( \begin{array}{cc|cc} 2 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 5 & 0 & 1 \end{array}\right) & \overset{R_1/2 \to R_1}{\sim} \left( \begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 3 & 5 & 0 & 1 \end{array}\right) \\ & \overset{R_2 - 3R_1 \to R_2}{\sim} \left( \begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 5 & -\frac{3}{2} & 1 \end{array}\right) \\ & \overset{R_3/5 \to R_3}{\sim} \left( \begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & -\frac{3}{10} & \frac{1}{5} \end{array}\right) = (I | A^{-1}) \end{aligned}

Siden matrisen nå står på redusert trappeform, har vi den inverse matrisen:

A^{-1} = \left( \begin{array}{cc} \frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{3}{10} & \frac{1}{5} \end{array} \right)

Sjekk: Hvis vi har funnet rett matrise, skal AA^-1 = I:

\begin{aligned} AA^{-1} & = \left( \begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 3 & 5 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} \frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{3}{10} & \frac{1}{5} \end{array} \right) \\ \Rightarrow \quad AA^{-1} & = \left( \begin{array}{cc} 2 \cdot \frac{1}{2} + 0 \cdot (-\frac{3}{10}) & 4 \cdot \frac{1}{2} + 5 \cdot (- \frac{3}{10}) \\ 2 \cdot 0 + 0 \cdot \frac{1}{5} & 3 \cdot 0 + 5 \cdot \frac{1}{5} \end{array} \right) \\ \Rightarrow \quad AA^{-1} & = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \\ \Rightarrow \quad AA^{-1} & = I \end{aligned}

Siden AA^-1 = I, vet vi at vi har regnet rett.

Video: Under produksjon

Oppgave inv02:

Finn den inverse matrisen til A ved hjelp av kofaktormatrisen:

A = \left( \begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 3 & 5 \end{array} \right)

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

A^{-1} = \left( \begin{array}{cc} \frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{3}{10} & \frac{1}{5} \end{array} \right)

Hint 1: Den inverse matrisen til A er gitt ved:

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} C^T

der det(A) er determinanten til A, og C^T er den transponerte til kofaktormatrisen til A.

Hint 2: Kofaktoren Cij til element a_ij i A, er gitt ved:

C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}

der M_ij er minioren til a_ij, dvs. determinanten til det som gjenstår når vi stryker rad i og kolonne j i A

Løsning:

For å finne den inverse matrisen til A, skal bruke formelen:

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} C^T

der det(A) er determinanten til A, og C^T er den transponerte til kofaktormatrisen til A.

Først finner vi determinanten til A:

\det(A) = \left| \begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 3 & 5 \end{array} \right| = 2 \cdot 5 - 0 \cdot 3 = 10

For å finne kofaktormatrisen, må vi finne alle kofaktorene:

\begin{aligned} C_{11} & = (-1)^{1+1} M_{11} = \left| 5 \right| = 5 \\ C_{12} & = (-1)^{1+2} M_{12} = - \left| 3 \right| = -3 \\ C_{21} & = (-1)^{2+1} M_{21} = - \left| 0 \right| = 0 \\ C_{22} & = (-1)^{2+2} M_{22} = \left| 2 \right| = 2 \end{aligned}

Merk at de loddrette strekene markerer determinantene til en 1×1 matrise. Samme symboler brukes på absoluttverdier.

Nå kan vi sette kofaktorene inn i kofaktormatrisen:

\begin{aligned} C & = \left( \begin{array}{cc} 5 & -3 \\ 0 & 2 \end{array} \right) \end{aligned}

Og transponere kofaktormatrisen:

\begin{aligned} C^T & = \left( \begin{array}{cc} 5 & 0 \\ -3 & 2 \end{array} \right) \end{aligned}

Nå kan vi bruke formelen for den inverse matrisen:

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} C^T = \frac{1}{10} \left( \begin{array}{cc} 5 & 0 \\ -3 & 2 \end{array} \right)

Vi kan la 1/10 bli stående utenfor eller multiplisere den med alle elementene i matrisen.

Sjekk: Hvis vi har funnet rett matrise, skal AA^-1 = I:

\begin{aligned} AA^{-1} & = \left( \begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 3 & 5 \end{array} \right) \cdot \frac{1}{10} \left( \begin{array}{cc} 5 & 0 \\ -3 & 2 \end{array} \right) \\ \Rightarrow \quad AA^{-1} & = \frac{1}{10} \left( \begin{array}{cc} 2 \cdot 5+ 0 \cdot (-3) & 3 \cdot 5 + 5 \cdot (- 3) \\ 2 \cdot 0 + 0 \cdot 2 & 3 \cdot 0 + 5 \cdot 2 \end{array} \right) \\ \Rightarrow \quad AA^{-1} & = \frac{1}{10} \left( \begin{array}{cc} 10 & 0 \\ 0 & 10 \end{array} \right) \\ \Rightarrow \quad AA^{-1} & = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \\ \Rightarrow \quad AA^{-1} & = I \end{aligned}

Siden AA^-1 = I, vet vi at vi har regnet rett.

Video: Under produksjon

Oppgave inv03:

Finn den inverse matrisen til A ved hjelp av radoperasjoner:

A = \left( \begin{array}{cc} -1 & 1 \\  2 & -1 \end{array} \right)

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

A^{-1} = \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{array} \right)

Hint 1: Vi kan finne den inverse matrisen ved å sette A og identitetsmatrisen, I, sammen i en matrise: (A | I )

Hint 2: Bruk Gauss eliminasjon og Gauss-Jordan eliminasjon til matrisen (A | I ) er på redusert trappeform: (I | A^-1)

Løsning:

Sett A og identitetsmatrisen, I, sammen i en matrise:

(A | I) = \left( \begin{array}{cc|cc} -1 & 1 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right)

Bruk Gauss eliminasjon og Gauss-Jordan eliminasjon til matrisen er på redusert trappeform:

\begin{aligned} (A | I) = \left( \begin{array}{cc|cc} -1 & 1 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right) & \overset{-R_1 \to R_1}{\sim} \left( \begin{array}{cc|cc} 1 & -1 & -1 & 0 \\ 2 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right) \\ & \overset{R_2 - 2R_1 \to R_2}{\sim} \left( \begin{array}{cc|cc} 1 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \end{array}\right) \\ & \overset{R_1 + R_2 \to R_1}{\sim} \left( \begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \end{array}\right) = (I | A^{-1}) \end{aligned}

Siden matrisen nå står på redusert trappeform, har vi den inverse matrisen:

A^{-1} = \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{array} \right)

Sjekk: Hvis vi har funnet rett matrise, skal AA^-1 = I:

\begin{aligned} AA^{-1} & = \left( \begin{array}{cc} -1 & 1 \\ 2 & -1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{array} \right) \\ \Rightarrow \quad AA^{-1} & = \left( \begin{array}{cc} (-1) \cdot 1 + 1 \cdot 2 & (-1) \cdot 1 + 1 \cdot 1 \\ 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 & 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 \end{array} \right) \\ \Rightarrow \quad AA^{-1} & = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\  0 & 1 \end{array} \right) \\ \Rightarrow \quad AA^{-1} & = I \end{aligned}

Siden AA^-1 = I, vet vi at vi har regnet rett.

Video: Under produksjon

Oppgave inv04:

Finn den inverse matrisen til A ved hjelp av kofaktormatrisen:

A = \left( \begin{array}{cc} -1 & 1 \\ 2 & -1 \end{array} \right)

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

A^{-1} = \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{array} \right)

Hint 1: Den inverse matrisen til A er gitt ved:

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} C^T

der det(A) er determinanten til A, og C^T er den transponerte til kofaktormatrisen til A.

Hint 2: Kofaktoren Cij til element a_ij i A, er gitt ved:

C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}

der M_ij er minioren til a_ij, dvs. determinanten til det som gjenstår når vi stryker rad i og kolonne j i A

Løsning:

For å finne den inverse matrisen til A, skal bruke formelen:

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} C^T

der det(A) er determinanten til A, og C^T er den transponerte til kofaktormatrisen til A.

Først finner vi determinanten til A:

\det(A) = \left| \begin{array}{cc} -1 & 1 \\  2 & -1 \end{array} \right| = (-1) \cdot (-1) - 1 \cdot 2 = -1

For å finne kofaktormatrisen, må vi finne alle kofaktorene:

\begin{aligned} C_{11} & = (-1)^{1+1} M_{11} = \left| -1 \right| = -1 \\ C_{12} & = (-1)^{1+2} M_{12} = - \left| 2 \right| = -2 \\ C_{21} & = (-1)^{2+1} M_{21} = - \left| 1 \right| = -1 \\ C_{22} & = (-1)^{2+2} M_{22} = \left| -1 \right| = -1 \end{aligned}

Merk at de loddrette strekene markerer determinantene til en 1×1 matrise. Samme symboler brukes på absoluttverdier.

Nå kan vi sette kofaktorene inn i kofaktormatrisen:

C = \left( \begin{array}{cc} -1 & -2 \\ -1 & -1 \end{array} \right)

Og transponere kofaktormatrisen:

C^T = \left( \begin{array}{cc} -1 & -1 \\ -2 & -1 \end{array} \right)

Nå kan vi bruke formelen for den inverse matrisen:

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} C^T = \frac{1}{(-1)} \left( \begin{array}{cc} -1 & -1 \\ -2 & -1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{array} \right)

Her ar vi multiplisert (-1) med alle elementene i matrisen.

Sjekk: Hvis vi har funnet rett matrise, skal AA^-1 = I:

\begin{aligned} AA^{-1} & = \left( \begin{array}{cc} -1 & 1 \\ 2 & -1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{array} \right) \\ \Rightarrow \quad AA^{-1} & = \left( \begin{array}{cc} (-1) \cdot 1 + 1 \cdot 2 & (-1) \cdot 1 + 1 \cdot 1 \\ 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 & 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 \end{array} \right) \\ \Rightarrow \quad AA^{-1} & = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\  0 & 1 \end{array} \right) \\ \Rightarrow \quad AA^{-1} & = I \end{aligned}

Siden AA^-1 = I, vet vi at vi har regnet rett.

Video: Under produksjon

Oppgave inv05:

Finn den inverse matrisen til A ved hjelp av radoperasjoner:

A = \left( \begin{array}{cc} -1 & 1 & 1 \\  2 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & -2 \end{array} \right)

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

A^{-1} = \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & -1 \end{array} \right)

Hint 1: Vi kan finne den inverse matrisen ved å sette A og identitetsmatrisen, I, sammen i en matrise: (A | I )

Hint 2: Bruk Gauss eliminasjon og Gauss-Jordan eliminasjon til matrisen (A | I ) er på redusert trappeform: (I | A^-1)

Løsning:

Sett A og identitetsmatrisen, I, sammen i en matrise:

(A | I) = \left( \begin{array}{ccc|ccc} -1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0& 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & -2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)

Bruk Gauss eliminasjon og Gauss-Jordan eliminasjon til matrisen er på redusert trappeform:

\begin{aligned} (A | I) & = \left( \begin{array}{ccc|ccc} -1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0& 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & -2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \\ & \overset{-R_1 \to R_1}{\sim} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & -1 & -1 & -1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0& 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & -2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \\ & \overset{R_2 - 2R_1 \to R_2}{\underset{R_3 - R_1 \to R_1}{\sim}} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & -1 & -1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right) \\ & \overset{-R_3 \to R_3}{\sim} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & -1 & -1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & -1 \end{array}\right) \\ & \overset{R_1 + R_3 \to R_1}{\underset{R_2 - 2R_3 \to R_2}{\sim}} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & -1 & 0 & -2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 4 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & -1 \end{array}\right) \\ & \overset{R_2 + R_1 \to R_2}{\sim} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 4 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & -1 \end{array}\right) = (I | A^{-1}) \end{aligned}

Siden matrisen nå står på redusert trappeform, har vi den inverse matrisen:

A^{-1} = \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & -1 \end{array} \right)

Sjekk: Hvis vi har funnet rett matrise, skal AA^-1 = I:

\begin{aligned} AA^{-1} & = \left( \begin{array}{ccc} -1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & -2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & -1 \end{array} \right) \\ \Rightarrow \quad AA^{-1} & = \left( \begin{array}{ccc} -2 + 4 - 1 & -1 + 1 + 0 & -1 + 2 - 1 \\ 4 - 4 + 0 & 2 - 1 + 0 & 2 -2 + 0 \\ 2 - 4 + 2 & 1 - 1 + 0 & 1 - 2 + 2 \end{array} \right) \\ \Rightarrow \quad AA^{-1} & = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\  0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \\ \Rightarrow \quad AA^{-1} & = I \end{aligned}

Siden AA^-1 = I, vet vi at vi har regnet rett.

Video: Under produksjon

Oppgave inv06:

Finn den inverse matrisen til A ved hjelp av kofaktormatrisen:

A = \left( \begin{array}{ccc} -1 & 1 & 1 \\  2 & -1 & 0 & \\ 1 & -1 & -2 \end{array} \right)

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

A^{-1} = \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & -1 \end{array} \right)

Hint 1: Den inverse matrisen til A er gitt ved:

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} C^T

der det(A) er determinanten til A, og C^T er den transponerte til kofaktormatrisen til A.

Hint 2: Kofaktoren Cij til element a_ij i A, er gitt ved:

C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}

der M_ij er minioren til a_ij, dvs. determinanten til det som gjenstår når vi stryker rad i og kolonne j i A

Løsning:

For å finne den inverse matrisen til A, skal bruke formelen:

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} C^T

der det(A) er determinanten til A, og C^T er den transponerte til kofaktormatrisen til A.

Først finner vi determinanten til A. Vi kan ta utgangspunkt i akkurat den kolonnen eller raden vi ønsker. Her tar vi utgangspunkt i kolonne 3 for å utnytte den ene nullen vi har:

\begin{aligned} \det(A) & = \left| \begin{array}{ccc} -1 & 1 & 1 \\  2 & -1 & 0 & \\ 1 & -1 & -2 \end{array} \right| \\ \Rightarrow \quad \det(A) & = (-1)^{1+3} \cdot 1 \cdot \left| \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ 1 & -1 \end{array}\right| + 0 \\ & \quad + (-1)^{3+3} \cdot (-2) \cdot \left| \begin{array}{cc} -1 & 1 \\ 2 & -1 \end{array}\right| \\ \Rightarrow \quad \det(A) & = 1 \cdot (2 \cdot (-1) - (-1) \cdot 1) - 2 \cdot ((-1) \cdot (-1) - 1 \cdot 2 ) \\ \Rightarrow \quad \det(A) & = 1 \cdot (-1) - 2 \cdot (-1) \\ \Rightarrow \quad \det(A) & = 1 \end{aligned}

For å finne kofaktormatrisen, må vi finne alle kofaktorene:

\begin{aligned} C_{11} & = (-1)^{1+1} M_{11} = \left| \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ -1 & -2 \end{array} \right| = (2-0) = 2 \\ C_{12} & = (-1)^{1+2} M_{12} = - \left| \begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 1 & -2 \end{array} \right| = -((-4) - 0) = 4 \\ C_{13} & = (-1)^{1+3} M_{13} = \left| \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ 1 & -1 \end{array} \right| = ((-2) - (-1)) = -1 \\ C_{21} & = (-1)^{2+1} M_{21} = - \left| \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -1 & -2 \end{array} \right| = -((-2) - (-1)) = 1 \\ C_{22} & = (-1)^{2+2} M_{22} = \left| \begin{array}{cc} -1 & 1 \\ 1 & -2 \end{array} \right| = (2 - 1) = 1 \\ C_{23} & = (-1)^{2+3} M_{23} = - \left| \begin{array}{cc} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array} \right| = -(1 - 1) = 0 \\ C_{31} & = (-1)^{3+1} M_{31} = \left| \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \right| = (0 - (-1)) = 1 \\ C_{32} & = (-1)^{3+2} M_{32} = - \left| \begin{array}{cc} -1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array} \right| = -(0 - 2) = 2 \\ C_{33} & = (-1)^{3+3} M_{33} = \left| \begin{array}{cc} -1 & 1 \\ 2 & -1 \end{array} \right| = (1 - 2) = -1 \end{aligned}

Merk at de loddrette strekene markerer determinantene til en 1×1 matrise. Samme symboler brukes på absoluttverdier.

Nå kan vi sette kofaktorene inn i kofaktormatrisen:

\begin{aligned} C & = \left( \begin{array}{ccc} 2 & 4 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \end{array} \right) \end{aligned}

Og transponere kofaktormatrisen:

\begin{aligned} C^T & = \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & -1 \end{array} \right) \end{aligned}

Nå kan vi bruke formelen for den inverse matrisen:

\begin{aligned} A^{-1} & = \frac{1}{\det(A)} C^T \\ \Rightarrow \quad A^{-1} & = \frac{1}{1} \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & -1 \end{array} \right) \\ \Rightarrow \quad A^{-1} & = \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & -1 \end{array} \right) \end{aligned}

Sjekk: Hvis vi har funnet rett matrise, skal AA^-1 = I:

\begin{aligned} AA^{-1} & = \left( \begin{array}{ccc} -1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & -2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & -1 \end{array} \right) \\ \Rightarrow \quad AA^{-1} & = \left( \begin{array}{ccc} -2 + 4 - 1 & -1 + 1 + 0 & -1 + 2 - 1 \\ 4 - 4 + 0 & 2 - 1 + 0 & 2 -2 + 0 \\ 2 - 4 + 2 & 1 - 1 + 0 & 1 - 2 + 2 \end{array} \right) \\ \Rightarrow \quad AA^{-1} & = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\  0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \\ \Rightarrow \quad AA^{-1} & = I \end{aligned}

Siden AA^-1 = I, vet vi at vi har regnet rett.

Video: Under produksjon

Oppgave lig01:

Skriv følgende ligningssett på vektorform:

5x + 2y - 3z = 0 \\ 3x - 3y + 4z = 9 \\ 2x + 4y - 2z = 4

Har ligningssettet en løsning?

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

Ligningssettet på vektorform:

\left( \begin{array}{ccc} 5 & 2 & 3 \\ 3 & -3 & 4 \\ 2 & 4 & -2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 9 \\ 4 \end{array} \right)

Ligningssettet har én løsning siden determinanten til koeffisentmatrisen er ulik null.

Hint 1: Et lineært ligningssett på vektorform står på formen Ax = b der A er koeffisientmatrisen.

Hint 2: Ligningssettet har like mange ligninger som ukjente. Det har en løsning dersom det(A) ≠ 0.

Løsning:

Et lineært ligningssett på vektorform, skrives på formen Ax = b, der A er koeffisentmatrisen, x er en vektor med variablene og b er en vektor med konstantleddene.

Her er:

\underbrace{\left( \begin{array}{ccc} 5 & 2 & 3 \\ 3 & -3 & 4 \\ 2 & 4 & -2 \end{array} \right)}_A \; \underbrace{\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right)}_x = \underbrace{\left( \begin{array}{c} 0 \\ 9 \\ 4 \end{array} \right)}_b

Koeffisientmatrisen, A, har like mange rader som antall ligninger og like mangler kolonner som antall variabler. x er en vektor som har like mange rader som antall variabler. Og b er en vektor med like mange rader som antall lignigner.

Vi kan bruke matrisemultiplikasjon for å sjekke svaret:

\left( \begin{array}{ccc} 5 & 2 & 3 \\ 3 & -3 & 4 \\ 2 & 4 & -2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5x + 2y - 3z \\ 3x - 3y + 4z \\ 2x + 4y - 2z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 9 \\ 4 \end{array} \right)

Dersom vi sammenligner elementene i de to siste matrisene parvis, får vi det opprinnelige ligningssettet.

Ligningssettet har en løsning dersom ligningene er lineært uavhengige, dvs. det(A) ≠ 0:

\begin{aligned} \det(A) & = \left| \begin{array}{ccc} 5 & 2 & 3 \\ 3 & -3 & 4 \\ 2 & 4 & -2 \end{array} \right| \\ \Rightarrow \quad \det(A) &= 5 \left| \begin{array}{cc} -4 & 4 \\ 4 & -2 \end{array} \right| - 2 \left| \begin{array}{cc} 3 & 4 \\ 2 & -2 \end{array} \right| + 3 \left| \begin{array}{cc} 3 & -3 \\ 2 & 4 \end{array} \right| \\ \Rightarrow \quad \det(A) &= 5 ((-4) \cdot (-2) - 4 \cdot 4) - 2 (3 \cdot (-2) - 4 \cdot 2) \\ & \quad + 3 (3 \cdot 4 - (-3) \cdot 2) \\ \Rightarrow \quad \det(A) &= 5 \cdot (-8) - 2 \cdot (-14) + 3 \cdot 20 \\ \Rightarrow \quad \det(A) &= 48 \end{aligned}

Siden det(A) ≠ 0, har ligningssettet én løsning.

Video: Under produksjon

Oppgave lig02:

Skriv følgende ligningssett på vektorform:

5x + 2y - 3z = 0 \\ 3x - 3y + 4z = 9

Har ligningssettet en løsning?

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

Ligningssettet på vektorform:

\left( \begin{array}{ccc} 5 & 2 & 3 \\ 3 & -3 & 4\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 9 \end{array} \right)

Ligningssettet har uendelig mange løsninger siden vi har flere ukjente enn ligninger.

Hint 1: Et lineært ligningssett på vektorform står på formen Ax = b.

Hint 2: A er koeffisentmatrisen til ligningssettet. Den har like mange rader som antall ligninger og like mange kolonner som antall ukjente.

Løsning:

Et lineært ligningssett på vektorform, skrives på formen Ax = b, der A er koeffisentmatrisen, x er en vektor med variablene og b er en vektor med konstantleddene.

Her er:

\underbrace{\left( \begin{array}{ccc} 5 & 2 & 3 \\ 3 & -3 & 4 \end{array} \right)}_A \; \underbrace{\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right)}_x = \underbrace{\left( \begin{array}{c} 0 \\ 9 \end{array} \right)}_b

Vi kan bruke matrisemultiplikasjon for å sjekke svaret:

\left( \begin{array}{ccc} 5 & 2 & 3 \\ 3 & -3 & 4 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5x + 2y - 3z \\ 3x - 3y + 4z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 9 \end{array} \right)

Dersom vi sammenligner elementene i de to siste matrisene parvis, får vi det opprinnelige ligningssettet.

Siden vi har flere ukjente enn ligninger, har ligningssettet uendelig mange løsninger.

PS: Dersom venstre siden av de to ligningene hadde vært like, men høyre siden ulik, ville vi hatt null løsninger.

Video: Under produksjon

← Matematikk

Radoperasjoner

Oppgave rad01:

Oppgave rad02:

Oppgave rad03:

Oppgave rad04:

Oppgave rad05:

Oppgave rad06:

Oppgave rad07:

Oppgave alg01:

Oppgave alg02:

Oppgave alg03:

Oppgave alg04:

Oppgave alg05:

Oppgave alg06:

Oppgave alg07:

Oppgave alg08:

Oppgave alg09:

Oppgave alg10:

Oppgave alg11:

Oppgave alg12:

Oppgave alg13:

Oppgave alg14:

Oppgave alg15:

Oppgave alg16:

Oppgave det01:

Oppgave det02:

Oppgave det03:

Oppgave det04:

Oppgave det04:

Oppgave det05:

Oppgave det06:

Oppgave det07:

Oppgave det08:

Oppgave det09:

Oppgave det10:

Oppgave det11:

Oppgave det12:

Oppgave detko01:

Oppgave inv01:

Oppgave inv02:

Oppgave inv03:

Oppgave inv04:

Oppgave inv05:

Oppgave inv06:

Oppgave lig01:

Oppgave lig02:

← Matematikk

→ Derivasjon