Gauss eliminasjon er en metode som bruker radoperasjoner på en matrise inntil den er på trappeform.
Fremgangsmåte
Steg 1: Skaff ledende ener i første rad
Eksempel (⁕ = vilkårlig tall)
\left( \begin{array}{cccc}
\textcolor{red}{1} & * & * & * \\
* & * & * & * \\
* & * & * & *
\end{array} \right) Steg 2: Bruk den ledende eneren i første rad for å få null under den
\left( \begin{array}{cccc}
\textcolor{red}{1} & * & * & * \\
\textcolor{blue}{0} & * & * & * \\
\textcolor{blue}{0} & * & * & *
\end{array} \right) Steg 3: Skaff ledende ener i andre rad
\left( \begin{array}{cccc}
\textcolor{red}{1} & * & * & * \\
\textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & * & * \\
\textcolor{blue}{0} & * & * & *
\end{array} \right) Steg 4: Bruk den ledende eneren i andre rad for å få null under den
\left( \begin{array}{cccc}
\textcolor{red}{1} & * & * & * \\
\textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & * & * \\
\textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & * & *
\end{array} \right) Steg 5: Fortsett med å skaffe ledende enere i neste rad og få null under den til matrisen er på trappeform
\left( \begin{array}{cccc}
\textcolor{red}{1} & * & * & * \\
\textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & * & * \\
\textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & *
\end{array} \right) + Kort video
+ Hva er en ledende ener
Dersom første tall ulik null i en rad, er en ener, er det en ledende ener.
Eksempel på ledende enere:
\left( \begin{array}{cccc}
\textcolor{red}{1} & 1 & 3 & -1 \\
\textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & 3 \\
\textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & 4 & 0
\end{array} \right),
\left( \begin{array}{ccc}
\textcolor{red}{1} & 3 & 2 \\
\textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1}
\end{array} \right)+ Hva er en matrise på trappeform?
En matrise på trappeform:
1. Første tall ulik null i hver rad, er en ener (ledende enere)
2. Rader med bare nuller samles nederst
3. Ledende enere står lengre til høyre nedover (null under ledende enere)
Eksempler på matriser på trappeform:
\left( \begin{array}{cccc}
\textcolor{red}{1} & 1 & 3 & -1 \\
\textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & 4 & 0 \\
\textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & 3
\end{array} \right),
\left( \begin{array}{ccc}
\textcolor{red}{1} & 3 & 2 \\
\textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1}
\end{array} \right) \\
\left( \begin{array}{cc}
\textcolor{red}{1} & 3\\
\textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1}
\end{array} \right),
\left( \begin{array}{cc}
\textcolor{red}{1} & 3\\
\textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0}
\end{array} \right)+ Eksempel 1
Bruk Gauss eliminasjon for å få følgende matrise på trappeform:
\left( \begin{array}{cccc}
3 & 0 & 0 & 30 \\
1 & 2 & 0 & 18 \\
0 & 1 & -2 & 2
\end{array} \right) PS: Det kan være lurt å repetere radoperasjoner før du går videre.
+ Se videoløsning
Steg 1: For å få en ledende ener i første rad, kan vi for eksempel multiplisere rad 1 med 1/3:
\left( \begin{array}{cccc}
3 & 0 & 0 & 30 \\
1 & 2 & 0 & 18 \\
0 & 1 & -2 & 2
\end{array} \right)
\overset{R_1/3 \to R_1}{\sim}
\left( \begin{array}{cccc}
\textcolor{red}{1} & 0 & 0 & 10 \\
1 & 2 & 0 & 18 \\
0 & 1 & -2 & 2
\end{array} \right)
Steg 2: Nå vil vi ha null under ledende ener i rad 1. Vi har null i rad 3. For å få null i rad 2, kan vi multiplisere rad 1 med -1 og legge til rad 2:
\left( \begin{array}{cccc}
\textcolor{red}{1} & 0 & 0 & 10 \\
1 & 2 & 0 & 18 \\
\textcolor{blue}{0} & 1 & -2 & 2
\end{array} \right)
\overset{R_2 - R_1 \to R_2}{\sim}
\left( \begin{array}{cccc}
\textcolor{red}{1} & 0 & 0 & 0 \\
\textcolor{blue}{0} & 2 & 0 & 8 \\
\textcolor{blue}{0} & 1 & -2 & 2
\end{array} \right)Mellomregning:
\begin{array}{rrrrr}
R_2: & 1 & 2 & 0 & 18 \\
-R_1: & -1 & 0 & 0 & -10 \\ \hline
R_2 - R_1: & 0 & 2 & 0 & 8
\end{array}Steg 3: For å få en ledende ener i andre rad, kan vi for eksempel multiplisere rad 1 med 1/2:
\left( \begin{array}{cccc}
\textcolor{red}{1} & 0 & 0 & 10 \\
\textcolor{blue}{0} & 2 & 0 & 8 \\
\textcolor{blue}{0} & 1 & -2 & 2
\end{array} \right)
\overset{R_2/2 \to R_2}{\sim}
\left( \begin{array}{cccc}
\textcolor{red}{1} & 0 & 0 & 10 \\
\textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & 0 & 4 \\
\textcolor{blue}{0} & 1 & -2 & 2
\end{array} \right)
Steg 4: Nå vil vi ha null under ledende ener i rad 2. For å få null i rad 3, kan vi multiplisere rad 2 med -1 og legge til rad 3:
\left( \begin{array}{cccc}
\textcolor{red}{1} & 0 & 0 & 10 \\
\textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & 0 & 4 \\
\textcolor{blue}{0} & 1 & -2 & 2
\end{array} \right)
\overset{R_3 - R_2 \to R_3}{\sim}
\left( \begin{array}{cccc}
\textcolor{red}{1} & 0 & 0 & 10 \\
\textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & 0 & 4 \\
\textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & -2 & -2
\end{array} \right)Mellomregning:
\begin{array}{rrrrr}
R_3: & 0 & 1 & -2 & 2 \\
-R_2: & 0 & -1 & 0 & -4 \\ \hline
R_3 - R_2: & 0 & 0 & -2 & -2
\end{array}Steg 5: For å få en ledende ener i tredje rad, kan vi for eksempel multiplisere rad 3 med -1/2:
\left( \begin{array}{cccc}
\textcolor{red}{1} & 0 & 0 & 10 \\
\textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & 0 & 4 \\
\textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & -2 & -2
\end{array} \right)
\overset{R_3 - R_2 \to R_3}{\sim}
\left( \begin{array}{cccc}
\textcolor{red}{1} & 0 & 0 & 10 \\
\textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & 0 & 4 \\
\textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & 1
\end{array} \right)Og, vips har vi en matrise på trappeform.
+ Eksempel 2
Bruk Gauss eliminasjon for å få følgende matrise på trappeform:
\left( \begin{array}{cccc}
1 & -2 & 3 & 5 \\
2 & -4 & 6 & 10 \\
2 & -3 & 10 & 8
\end{array} \right) PS: Det kan være lurt å repetere radoperasjoner før du går videre.
+ Se videoløsning
Steg 1: Vi har allerede en ledende ener i første rad:
\left( \begin{array}{cccc}
\textcolor{red}{1} & -2 & 3 & 5 \\
2 & -4 & 6 & 10 \\
2 & -3 & 10 & 8
\end{array} \right) Steg 2: Nå vil vi ha null under ledende ener i rad 1. For å få null i rad 2, kan vi multiplisere rad 1 med -2 og legge til rad 2:
\left( \begin{array}{cccc}
\textcolor{red}{1} & -2 & 3 & 5 \\
2 & -4 & 6 & 10 \\
2 & -3 & 10 & 8
\end{array} \right)
\overset{R_2 - 2R_1 \to R_2}{\sim}
\left( \begin{array}{cccc}
\textcolor{red}{1} & -2 & 3 & 5 \\
\textcolor{blue}{0} & 0 & 0 & 0 \\
2 & -3 & 10 & 8
\end{array} \right)Mellomregning:
\begin{array}{rrrrr}
R_2: & 2 & -4 & 6 & 10 \\
-2R_1: & -2 & 4 & -6 & -10 \\ \hline
R_2 - 2R_1: & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}For å få null i rad 3, kan vi multiplisere rad 1 med -2 og legge til rad 3:
\left( \begin{array}{cccc}
\textcolor{red}{1} & -2 & 3 & 5 \\
\textcolor{blue}{0} & 0 & 0 & 0 \\
2 & -3 & 10 & 8
\end{array} \right)
\overset{R_3 - 2R_1 \to R_3}{\sim}
\left( \begin{array}{cccc}
\textcolor{red}{1} & -2 & 3 & 5 \\
\textcolor{blue}{0} & 0 & 0 & 0 \\
\textcolor{blue}{0} & 1 & 4 & -2
\end{array} \right)Mellomregning:
\begin{array}{rrrrr}
R_3: & 2 & -3 & 10 & 8 \\
-2R_1: & -2 & 4 & -6 & -10 \\ \hline
R_2 - 2R_1: & 0 & 1 & 4 & -2
\end{array}Steg 3: For å få en ledende ener i andre rad, må vi bytte rad 2 og rad 3:
\left( \begin{array}{cccc}
\textcolor{red}{1} & -2 & 3 & 5 \\
\textcolor{blue}{0} & 0 & 0 & 0 \\
\textcolor{blue}{0} & 1 & 4 & -2
\end{array} \right)
\overset{R_2/2 \to R_2}{\sim}
\left( \begin{array}{cccc}
\textcolor{red}{1} & -2 & 3 & 5 \\
\textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & 4 & -2 \\
\textcolor{blue}{0} & 0 & 0 & 0
\end{array} \right)
Steg 4: Vi har allerede null under ledende ener i rad 2. Faktisk har vi en null-rad nederst.
\left( \begin{array}{cccc}
\textcolor{red}{1} & -2 & 3 & 5 \\
\textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & 4 & -2 \\
\textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0}
\end{array} \right)
Og, vips har vi en matrise på trappeform.