Matriser: Determinant

Determinanter brukes mye når vi skal sjekke om et ligningssett har en løsning og til å finne løsningen, men også når vi vil regne ut volumet som kolonnene eller radene i matrisen spenner ut.

Notasjonen er loddrette streker:

\det(A) = \left| \begin{array}{cccc}
a_{11} &a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 
a_{21} &a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ 
\vdots & & \vdots \\
a_{n1} &a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{array} \right|

Merk at A må være en kvadratisk matrise for at det(A) eksisterer.

+ Determinanten til en 2 x 2 matrise

Determinanten til en 2 x 2 matrise, er veldig enkel:

\left| \begin{array}{cc} 
a & b \\ c & d
\end{array} \right|
= ad - bc

+ Kort video

Eksempler:

\left| \begin{array}{cc}
1 & 2 \\ 3 & 4
\end{array} \right| 
= 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = -2 \\
\; \\
\left| \begin{array}{cc}
2 & 4 \\ 0 & 1
\end{array} \right| 
= 2 \cdot 1 - 4 \cdot 0 = 2

+ Determinanten til en 3 x 3 matrise basert på rad 1

Determinanten til en 3 x 3 matrise kan finnes ved hjelp av tre determinanter til 2 x 2 matriser:

\begin{aligned}
\det(A) & = \left| \begin{array}{ccc} 
\textcolor{red}{a_{11}} & \textcolor{blue}{a_{12}} & \textcolor{green}{a_{13}} \\ 
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array} \right| \\
\Rightarrow \quad \det(A) & = \textcolor{red}{a_{11}}
\left| \begin{array}{ccc} 
a_{22} & a_{23} \\ 
a_{32} & a_{33}
\end{array} \right|
- \textcolor{blue}{a_{12}}
\left| \begin{array}{ccc} 
a_{21} & a_{13} \\ 
a_{31} & a_{33}
\end{array} \right|
+ \textcolor{green}{a_{13}}
\left| \begin{array}{ccc} 
a_{21} & a_{22} \\ 
a_{31} & a_{32}
\end{array} \right|
\end{aligned}

+ Kort video

Legg merke til:
– a11, a12 og a13 er tallene som står i første rad
– Fortegnene til leddene skifter
– Determinantene til de tre 2 x 2 du får når du stryker rad og kolonne til a11, a12 og a13 i A kalles miniorer. Mij er minioren til aij.

Vi kan bruke miniorene til å skrive determinanten:

\det(A) = \left| \begin{array}{ccc} 
\textcolor{red}{a_{11}} & \textcolor{blue}{a_{12}} & \textcolor{green}{a_{13}} \\ 
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array} \right|
= \textcolor{red}{a_{11}} M_{11}
- \textcolor{blue}{a_{12}} M_{12}
+ \textcolor{green}{a_{13}} M_{13}

+ Eksempel: Determinanten til en 3 x 3 matrise basert på rad 1

Vi vil nå finne determinanten til:

A = \left( \begin{array}{ccc} 
1 & 2 & 3 \\
3 & 4 & 1 \\
2 & 1 & 0
\end{array} \right)

+ Kort video

Vi vil bruke formelen:

\det(A) = \left| \begin{array}{ccc} 
\textcolor{red}{a_{11}} & \textcolor{blue}{a_{12}} & \textcolor{green}{a_{13}} \\ 
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array} \right|
= \textcolor{red}{a_{11}}
\left| \begin{array}{ccc} 
a_{22} & a_{23} \\ 
a_{32} & a_{33}
\end{array} \right|
- \textcolor{blue}{a_{12}}
\left| \begin{array}{ccc} 
a_{21} & a_{13} \\ 
a_{31} & a_{33}
\end{array} \right|
+ \textcolor{green}{a_{13}}
\left| \begin{array}{ccc} 
a_{21} & a_{22} \\ 
a_{31} & a_{32}
\end{array} \right|

I første rad står 1, 2 og 3. Disse tallene kan vi gange med determinanten til matrisene vi får når vi stryker raden og kolonnen der de står:

\left| \begin{array}{ccc} 
\textcolor{red}{1} & \textcolor{blue}{2} & \textcolor{green}{3} \\
3 & 4 & 1 \\
2 & 1 & 0
\end{array} \right|
= \textcolor{red}{1} \cdot
\left| \begin{array}{ccc} 
4 & 1 \\ 1 & 0
\end{array} \right|
- \textcolor{blue}{2} \cdot
\left| \begin{array}{ccc} 
3 & 1 \\ 2 & 0
\end{array} \right|
+ \textcolor{green}{3} \cdot
\left| \begin{array}{ccc} 
3 & 4 \\ 2 & 1
\end{array} \right|

Deretter regner vi ut determinanten til de tre 2 x 2 matrisene:

\begin{aligned}
\left| \begin{array}{ccc} 
\textcolor{red}{1} & \textcolor{blue}{2} & \textcolor{green}{3} \\
3 & 4 & 1 \\
2 & 1 & 0
\end{array} \right|
& = \textcolor{red}{1} \cdot (4 \cdot 0 - 1 \cdot 1)
- \textcolor{blue}{2} \cdot (3 \cdot 0 - 1 \cdot 2)
+ \textcolor{green}{3} \cdot (3 \cdot 1 - 4 \cdot 2) \\
& = \textcolor{red}{1} \cdot (-1) - \textcolor{blue}{2} \cdot (-2) + \textcolor{green}{3} \cdot (-5) \\
& = -1 + 4 - 15 \\
& = -12
\end{aligned}

Og, vips er vi ferdige.

+ Determinanten til en 3 x 3 matrise basert på en huskeregel?

Vi har en huskeregel som gjelder for 3 x 3 matriser.

+ Kort video

Hvis vi vil finne determinanten, skriver vi først opp alle tallene i matrisen. Deretter skriver vi opp kolonne 1 og 2 en gang til:

Nå kan vi multiplisere sammen tallene som står på skrått. De som på de blå pilene, setter vi pluss foran og de som står på de røde pilene, setter vi minus foran:

Da får vi:

\begin{aligned}
\det(A) =\; & a_{11} a_{22} a_{33} 
+ a_{12} a_{23} a_{31}
+ a_{13} a_{21} a_{32} \\
& - a_{11} a_{23} a_{32}
- a_{12} a_{21} a_{33}
- a_{13} a_{22} a_{31}
\end{aligned}

Og, vips, har vi determinanten for en 3 x 3 matrise.

Hvorfor virker det?

Rett over påstod vi at vi kan finne determinanten til en 3 x 3 matrise ved hjelp av tre determinanter til 2 x 2 matriser:

\begin{aligned}
\det(A) = & \left| \begin{array}{ccc} 
\textcolor{red}{a_{11}} & \textcolor{blue}{a_{12}} & \textcolor{green}{a_{13}} \\ 
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array} \right| \\
\Rightarrow \quad \det(A) = & \textcolor{red}{a_{11}}
\left| \begin{array}{ccc} 
a_{22} & a_{23} \\ 
a_{32} & a_{33}
\end{array} \right|
- \textcolor{blue}{a_{12}}
\left| \begin{array}{ccc} 
a_{21} & a_{13} \\ 
a_{31} & a_{33}
\end{array} \right|
+ \textcolor{green}{a_{13}}
\left| \begin{array}{ccc} 
a_{21} & a_{22} \\ 
a_{31} & a_{32}
\end{array} \right|
\end{aligned}

Vi kan finne determinantene til de tre 2 x 2 matrisene:

\det(A) = \textcolor{red}{a_{11}} (a_{22} a_{33} - a_{23} a_{32})
- \textcolor{blue}{a_{12}} (a_{21} a_{33} - a_{23} a_{31})
+ \textcolor{green}{a_{13}} (a_{21} a_{32} - a_{22} a_{31})

Hvis vi multipliserer ut parentesene og rydder litt, får vi:

\begin{aligned}
\det(A) =\; & \textcolor{red}{a_{11}} a_{22} a_{33} 
+ \textcolor{blue}{a_{12}} a_{23} a_{31}
+ \textcolor{green}{a_{13}} a_{21} a_{32} \\
& - \textcolor{red}{a_{11}} a_{23} a_{32}
- \textcolor{blue}{a_{12}} a_{21} a_{33}
- \textcolor{green}{a_{13}} a_{22} a_{31}
\end{aligned}

som er akkurat det samme som huskeregelen ga oss.

+ Eksempel: Determinanten til en 3 x 3 matrise basert på huskeregelen

Vi vil bruke huskeregelen for 3×3 matriser for å finne determinanten til følgende matrise:

A = \left( \begin{array}{ccc} 
1 & 2 & 3 \\
3 & 4 & 1 \\
2 & 1 & 0
\end{array} \right)

+ Kort video

Først skriver vi opp matrisen og legger de to siste kolonnene etter tredje kolonne:

\begin{aligned}
\Rightarrow \left| \begin{array}{ccc} 
1 & 2 & 3 \\
3 & 4 & 1 \\
2 & 1 & 0
\end{array} \right|
& = 1 \cdot 4 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot 2 + 3 \cdot 3 \cdot 1 - 3 \cdot 4 \cdot 2 - 1 \cdot 1 \cdot 1 - 2 \cdot 3 \cdot 0 \\
& = 0 + 4 + 9 - 24 - 1 - 0 \\
& = -12
\end{aligned}

Og, vips er vi ferdige.

+ Generell formel for determinant basert på valgfri rad og kolonne

Vi kan bruke miniorer for å finne determinanten til en n x n matrise basert på akkurat den raden eller kolonnen vi ønsker. Dette er spesielt smart hvis matrisen har flere nullere.

+ Kort video

Vi kan ta utgangspunkt i rad i:

\begin{aligned}
\det(A) &= \left| \begin{array}{cccc} 
a_{11} &a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 
a_{21} &a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ 
\vdots & \vdots & & \vdots \\
\textcolor{red}{a_{i1}} & \textcolor{blue}{a_{i2}} & \cdots & \textcolor{green}{a_{in}} \\ 
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n1} &a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{array} \right| \\
\Rightarrow \quad \det(A)
&= (-1)^{i+1} \textcolor{red}{a_{i1}} M_{i1}
+ (-1)^{i+2} \textcolor{blue}{a_{i2}} M_{i2}
+ \cdots
+ (-1)^{i+n} \textcolor{green}{a_{in}} M_{in}
\end{aligned}

Vi kan for eksempel sette i = 1 hvis vi ønsker å ta utgangspunkt i rad 1:

\begin{aligned}
\det(A) &= \left| \begin{array}{cccc} 
\textcolor{red}{a_{11}} & \textcolor{blue}{a_{12}} & \cdots & \textcolor{green}{a_{1n}} \\ 
a_{21} &a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ 
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n1} &a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{array} \right| \\
\Rightarrow \quad \det(A)
&= (-1)^{1+1} \textcolor{red}{a_{11}} M_{11}
+ (-1)^{1+2} \textcolor{blue}{a_{12}} M_{12}
+ \cdots
+ (-1)^{1+n} \textcolor{green}{a_{1n}} M_{1n}
\end{aligned}

Vi kan ta utgangspunkt i kolonne j:

\begin{aligned}
\det(A) & = \left| \begin{array}{cccccc} 
a_{11} & a_{12} & \cdots & \textcolor{red}{a_{1j}} & \cdots & a_{1n} \\ 
a_{21} & a_{22} & \cdots & \textcolor{blue}{a_{2j}} & \cdots & a_{2n} \\ 
\vdots & \vdots & & \vdots && \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & \textcolor{green}{a_{nj}} & \cdots & a_{nn}
\end{array} \right| \\
\Rightarrow \qquad \det(A)
& = (-1)^{1+j} \textcolor{red}{a_{1j}} M_{1j}
+ (-1)^{2 +j} \textcolor{blue}{a_{2j}} M_{2j}
+ \cdots
+ (-1)^{n + j} \textcolor{green}{a_{nj}} M_{nj}
\end{aligned}

Vi kan for eksempel sette j = 2 hvis vi vil bruke kolonne 2:

\begin{aligned}
\det(A) & = \left| \begin{array}{cccc} 
a_{11} & \textcolor{red}{a_{12}} & \cdots & a_{1n} \\ 
a_{21} & \textcolor{blue}{a_{22}} & \cdots & a_{2n} \\ 
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n1} & \textcolor{green}{a_{n2}} & \cdots & a_{nn}
\end{array} \right| \\
\Rightarrow \qquad \det(A)
& = (-1)^{1+2} \textcolor{red}{a_{12}} M_{12}
+ (-1)^{2 +2} \textcolor{blue}{a_{22}} M_{22}
+ \cdots
+ (-1)^{n + 2} \textcolor{green}{a_{n2}} M_{n2}
\end{aligned}

Legg merke til:
– Mij kalles minioren til aij og er determinanten til matrisen du får når du stryker rad i og kolonne j i A
– Hvert ledd kan skrives på formen (-1)i+j aij Mij
– Fortegnene skifter. Fortegnet til aij Mij er (-1)i+j. Hvis kolonne-nummer pluss rad-nummer er et oddetall, blir fortegnet negativt, og hvis det er et partall blir det positivt.

Huskeregel for fortegnene:

\left( \begin{array}{cccc} 
+ & - & + & \cdots \\
- & + & - & \cdots \\
+ & - & + & \cdots \\
\vdots & \vdots & \vdots &
\end{array} \right)

+ Eksempel: Determinanten til en 3 x 3 matrise basert på valgfri rad eller kolonne

Vi vil nå finne determinanten til samme matrise som i de to forrige eksemplene:

A = \left( \begin{array}{ccc} 
1 & 2 & 3 \\
3 & 4 & 1 \\
2 & 1 & 0
\end{array} \right)

+ Kort video

Vi kan bruke akkurat den raden eller kolonnen vi vil for å finne determinanten.

Hvis vi velger første rad:

\begin{aligned}
\left| \begin{array}{ccc} 
\textcolor{red}{1} & \textcolor{blue}{2} & \textcolor{green}{3} \\
3 & 4 & 1 \\
2 & 1 & 0
\end{array} \right|
& = (-1)^{1+1} \cdot \textcolor{red}{1} \cdot
\left| \begin{array}{ccc} 
4 & 1 \\ 1 & 0
\end{array} \right|
+ (-1)^{1+2} \cdot \textcolor{blue}{2} \cdot
\left| \begin{array}{ccc} 
3 & 1 \\ 2 & 0
\end{array} \right|
+ (-1)^{1+3} \cdot \textcolor{green}{3} \cdot
\left| \begin{array}{ccc} 
3 & 4 \\ 2 & 1
\end{array} \right| \\
& = \textcolor{red}{1} \cdot (4 \cdot 0 - 1 \cdot 1)
- \textcolor{blue}{2} \cdot (3 \cdot 0 - 1 \cdot 2)
+ \textcolor{green}{3} \cdot (3 \cdot 1 - 4 \cdot 2) \\
& = \textcolor{red}{1} \cdot (-1) - \textcolor{blue}{2} \cdot (-2) + \textcolor{green}{3} \cdot (-5) \\
& = -1 + 4 - 15 \\
& = -12
\end{aligned}

Hvis vi velger andre rad:

\begin{aligned}
\left| \begin{array}{ccc} 
1 & 2 & 3 \\
\textcolor{red}{3} & \textcolor{blue}{4} & \textcolor{green}{1} \\
2 & 1 & 0
\end{array} \right|
& = (-1)^{2+1} \cdot \textcolor{red}{3} \cdot
\left| \begin{array}{ccc} 
2 & 3 \\ 1 & 0
\end{array} \right|
+ (-1)^{2+2} \cdot \textcolor{blue}{4} \cdot
\left| \begin{array}{ccc} 
1 & 3 \\ 2 & 0
\end{array} \right|
+ (-1)^{2+3} \cdot \textcolor{green}{1} \cdot
\left| \begin{array}{ccc} 
1 & 2 \\ 2 & 1
\end{array} \right| \\
& = - \textcolor{red}{3} \cdot (2 \cdot 0 - 3 \cdot 1)
+ \textcolor{blue}{4} \cdot (1 \cdot 0 - 3 \cdot 2)
- \textcolor{green}{1} \cdot (1 \cdot 1 - 2 \cdot 2) \\
& = - \textcolor{red}{3} \cdot (-3) + \textcolor{blue}{4} \cdot (-6) - \textcolor{green}{1} \cdot (-3) \\
& = 9 - 24 + 3 \\
& = -12
\end{aligned}

Hvis vi velger tredje kolonne:

\begin{aligned}
\left| \begin{array}{ccc} 
1 & 2 & \textcolor{red}{3} \\
3 & 4 & \textcolor{blue}{1} \\
2 & 1 & \textcolor{green}{0}
\end{array} \right|
& = (-1)^{1+3} \cdot \textcolor{red}{3} \cdot
\left| \begin{array}{ccc} 
3 & 4 \\ 2 & 1
\end{array} \right|
+ (-1)^{2+3} \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot
\left| \begin{array}{ccc} 
1 & 2 \\ 2 & 1
\end{array} \right|
+ (-1)^{3+3} \cdot \textcolor{green}{0} \cdot
\left| \begin{array}{ccc} 
1 & 2 \\ 3 & 4
\end{array} \right| \\
& = \textcolor{red}{3} \cdot (3 \cdot 1 - 4 \cdot 2)
- \textcolor{blue}{1} \cdot (1 \cdot 1 - 2 \cdot 2)
+ \textcolor{green}{0}  \\
& = \textcolor{red}{3} \cdot (-5) - \textcolor{blue}{1} \cdot (-3) \\
& = -15 + 3 \\
& = -12
\end{aligned}

Og, vips, har vi flere måter å finne samme svar. Det er lurt å velge en rad eller kolonne som har en eller flere nullere.

+ Eksempel: Determinanten til en 4×4 matrise

Vi vil nå finne determinanten til:

A = \left( \begin{array}{cccc} 
1 & 2 & 3 & 0 \\
3 & 4 & 1 & 0 \\
2 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0
\end{array} \right)

+ Kort video

Vi kan bruke akkurat den raden eller kolonnen vi vil for å finne determinanten.

Her kan det være lurt å velge rad 4 eller kolonne 4 fordi de har mange nullere.

Hvis vi velger rad 4:

\begin{aligned}
\det(A) & = 
\left| \begin{array}{ccc} 
1 & 2 & 3 & 0 \\
3 & 4 & 1 & 0 \\
2 & 1 & 0 & 1 \\
\textcolor{red}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{green}{1} & \textcolor{purple}{0} 
\end{array} \right| \\
\Rightarrow \quad \det(A) & = \textcolor{red}{0}
+ \textcolor{blue}{0} 
 + (-1)^{4+3} \cdot \textcolor{green}{1} \cdot
\left| \begin{array}{ccc} 
1 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 0 \\ 2 & 1 & 1
\end{array} \right| 
+ \textcolor{purple}{0} \\
\Rightarrow \quad \det(A)
& = - \left| \begin{array}{ccc} 
1 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 0 \\ 2 & 1 & 1
\end{array} \right| 
\end{aligned}

Nå kan vi velge for eksempel kolonne 3 siden den har flest nullere:

\begin{aligned}
\det(A) & = - \left| \begin{array}{ccc} 
1 & 2 & \textcolor{red}{0} \\ 3 & 4 & \textcolor{blue}{0} \\ 2 & 1 & \textcolor{green}{1}
\end{array} \right| \\
\Rightarrow \quad \det(A)
& = - \left( \textcolor{red}{0} + \textcolor{blue}{0} + (-1)^{3+3} \cdot \textcolor{green}{1} \cdot \left| \begin{array}{ccc} 
1 & 2 \\ 3 & 4 
\end{array} \right| \right) \\
\Rightarrow \quad \det(A)
& = - \textcolor{green}{1} \cdot (1 \cdot 4 - 2 \cdot 3) \\
\Rightarrow \quad \det(A)
& = 2
\end{aligned}

Og, vips, er vi ferdige.

Hvis vi i stedet hadde valgt rad 1 hver gang vi regner ut en determinant:

\begin{aligned}
\det(A) & = 
\left| \begin{array}{ccc} 
\textcolor{red}{1} & \textcolor{blue}{2} & \textcolor{green}{3} & \textcolor{purple}{0} \\
3 & 4 & 1 & 0 \\
2 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0
\end{array} \right| \\
\Rightarrow \quad \det(A)
& = (-1)^{1+1} \cdot \textcolor{red}{1} \cdot
\left| \begin{array}{ccc} 
4 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0
\end{array} \right|
+ (-1)^{1+2} \cdot \textcolor{blue}{2} \cdot
\left| \begin{array}{ccc} 
3 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0
\end{array} \right| \\
& \quad + (-1)^{1+3} \cdot \textcolor{green}{3} \cdot
\left| \begin{array}{ccc} 
3 & 4 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0
\end{array} \right| 
+ \textcolor{purple}{0} \\

% Fortegn
& = \textcolor{red}{1} \cdot
\left| \begin{array}{ccc} 
4 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0
\end{array} \right|
- \textcolor{blue}{2} \cdot
\left| \begin{array}{ccc} 
3 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0
\end{array} \right| 
+ \textcolor{green}{3} \cdot
\left| \begin{array}{ccc} 
3 & 4 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0
\end{array} \right| 
+ \textcolor{purple}{0} \\

% Splitter i 2x2 matriser
\Rightarrow \quad \det(A)
& = \textcolor{red}{1} \cdot \left(
4 \cdot \left| \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right|
- 1 \cdot \left| \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right|
+ 0
\right) \\
& \quad - \textcolor{blue}{2} \cdot \left(
3 \cdot \left| \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right|
- 1 \cdot \left| \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right|
+ 0 
\right) \\
& \quad + \textcolor{green}{3} \cdot \left(
3 \cdot \left| \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right|
- 4 \cdot \left| \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right| 
+ 0
\right) \\
\Rightarrow \quad \det(A)
& = \textcolor{red}{1} \cdot (4 \cdot (-1) - 1 \cdot 0 ) 
- \textcolor{blue}{2} \cdot (3 \cdot (-1) - 1 \cdot 0 ) 
+ \textcolor{green}{3} \cdot (3 \cdot 0  - 4 \cdot 0 ) \\
& = \textcolor{red}{1} \cdot (-4) - \textcolor{blue}{2} \cdot (-3) + \textcolor{green}{3} \cdot 0 \\
\Rightarrow \quad \det(A)
& = -4 + 6 \\
\Rightarrow \quad \det(A)
& = 2
\end{aligned}

Vi får rett svar, men det er litt mer jobb.

+ Determinanten til en transponert matrise

Generelt er determinanten til en transponert matrise lik determinanten til den opprinnelige matrisen:

\det(A) = \det(A^T)

+ Kort video

Eksempel med 2 x 2 matrise:

A = \left( \begin{array}{ccc} 
1 & 2 \\
3 & 4
\end{array} \right) \Rightarrow \det(A) = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = -2 \\
A^T = \left( \begin{array}{ccc} 
1 & 3 \\
2 & 4
\end{array} \right) \Rightarrow \det(A^T) = 1 \cdot 4 - 3 \cdot 2 = -2

Eksempel med 3 x 3 matrise:

A = \left( \begin{array}{ccc} 
1 & 1 & 3 \\
3 & 4 & 5 \\
2 & 0 & 0
\end{array} \right) \Rightarrow \det(A) = 2
\left| \begin{array}{ccc} 
1 & 3 \\
4 & 5 
\end{array} \right|
= 2 \cdot (1 \cdot 5 - 3 \cdot 4) =  -14 \\
A^T = \left( \begin{array}{ccc} 
1 & 3 &  2 \\
1 & 4 & 0 \\
3 & 5 & 0
\end{array} \right) \Rightarrow \det(A^T) = 2
\left| \begin{array}{ccc} 
1 & 4 \\
3 & 5 
\end{array} \right| 
= 2 \cdot (1 \cdot 5 - 4 \cdot 3) = - 14

For å gjøre det enkelt, har vi her valgt en matrise som har en rad med to nullere. Når vi finner det(A), har vi brukt rad 3 for å finne determinanten. Og når vi finner det(AT), har vi brukt kolonne 3.

Og, vips, har vi sett eksempler på at transponering ikke endrer determinanten.

+ Determinanten til en triangulær matrise

Generelt er determinanten til en triangular matrise lik produktet av hoveddiagonalen:

\det(A) = a_{11} \cdot a_{22} \cdots a_{nn}

+ Kort video

Eksempel med 2 x 2 matrise:

\left| \begin{array}{ccc} 
\textcolor{red}{1} & 2 \\
0 & \textcolor{red}{4}
\end{array} \right| 
= \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{red}{4} = 4

Eksempel med 3 x 3 matrise der vi finner determinanten basert på kolonne 1:

\left| \begin{array}{ccc} 
\textcolor{red}{3} & 1 & 6 \\
0 & \textcolor{red}{5} & 4 \\
0 & 0 & \textcolor{red}{2}
\end{array} \right| = \textcolor{red}{3}
\left| \begin{array}{ccc} 
\textcolor{red}{5} & 4 \\
0 & \textcolor{red}{2}
\end{array} \right|
= \textcolor{red}{3} \cdot \textcolor{red}{5} \cdot \textcolor{red}{2}
=  20

Eksempel med 4 x 4 matrise der vi finner determinanten basert på rad 1:

\left| \begin{array}{cccc} 
\textcolor{red}{3} & 0 & 0 & 0 \\
1 & \textcolor{red}{5} & 0 & 0 \\
7 & 8 & \textcolor{red}{2} & 0 \\
3 & 4 & 2 & \textcolor{red}{1}
\end{array} \right| 
= \textcolor{red}{3}
\left| \begin{array}{ccc} 
\textcolor{red}{5} & 0 & 0 \\
8 & \textcolor{red}{2} & 0 \\
4 & 2 & \textcolor{red}{1}
\end{array} \right|
= \textcolor{red}{3} \cdot \textcolor{red}{5} \cdot 
\left| \begin{array}{ccc} 
\textcolor{red}{2} & 0 \\
2 & \textcolor{red}{1}
\end{array} \right|
= \textcolor{red}{3} \cdot \textcolor{red}{5} \cdot \textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{red}{1}
=  20

Og, vips, har vi sett flere eksempler på at determinanten til en triangulær matrise er lik produktet av hoveddiagonalen.

+ Determinanten til produktet av to matriser

Generelt har vi at determinanten til to matriser som er multiplisert, er lik produktet av de deres determinanter:

\det(AB) = \det(A) \det(B)

+ Kort video

Eksempel med 2 x 2 matrise: Vi starter med to matriser:

A = \left( \begin{array}{ccc} 
1 & 2 \\
0 & 4
\end{array} \right)\!\!, \;\;
B = \left( \begin{array}{ccc} 
0 & 4 \\
3 & 1
\end{array} \right)

Vi kan multiplisere dem sammen ved å bruke matrisemultiplikasjon:

AB = 
\left( \begin{array}{ccc} 
1 \cdot 0 + 2 \cdot 3 & 1 \cdot 4 + 2 \cdot 1 \\
0 \cdot 0 + 4 \cdot 3 & 0 \cdot 4 + 4 \cdot 1
\end{array} \right)
=
\left( \begin{array}{ccc} 
6 & 6 \\
12 & 4
\end{array} \right)

Og så kan vi regne ut determinantene:

\begin{aligned}
\det(A) = & \left| \begin{array}{ccc} 
1 & 2 \\
0 & 4
\end{array} \right| = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 0 = 4 \\
\det(B) = & \left| \begin{array}{ccc} 
0 & 4 \\
3 & 1
\end{array} \right| = 0 \cdot 1 - 4 \cdot 3 = -12 \\
\det(AB) = & \left| \begin{array}{ccc} 
6 & 6 \\
12 & 4
\end{array} \right| = 6 \cdot 4 - 6 \cdot 12 = -48
\end{aligned}

Og, vips, ser vi at det(A)det(B) = det(AB).

← Matematikk

↓ Oppgaver

→ Miniorer og kofaktorer