Minioren Mij til aij i A er determinanten til matrisen du får når du stryker rad i og kolonne j i matrise A. Vi bruker miniorer når vi finner determinanter og kofaktorer.
M_{ij} = \left| \begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & \textcolor{red}{\cancel{\textcolor{black}{a_{1j}}}} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & \textcolor{red}{\cancel{\textcolor{black}{a_{2j}}}} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots && \vdots && \vdots \\
\textcolor{red}{\cancel{\textcolor{black}{a_{i1}}}} & \textcolor{red}{\cancel{\textcolor{black}{a_{i2}}}} & \cdots & \textcolor{red}{\cancel{\textcolor{black}{a_{ij}}}} & \cdots & \textcolor{red}{\cancel{\textcolor{black}{a_{in}}}} \\
\vdots & \vdots && \vdots && \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & \textcolor{red}{\cancel{\textcolor{black}{a_{mj}}}} & \cdots & a_{mn}
\end{array} \right|Kofaktoren Cij til aij i A er gitt ved. Vi bruker kofaktorer når vi finner determinanter og inverse matriser:
C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}Vi kan sette alle kofaktorene inn i en kofaktormatrise:
C = \left( \begin{array}{cccc}
C_{11} & C_{12} & \cdots & C_{1n} \\
C_{21} & C_{22} & \cdots & C_{2n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
C_{m1} & C_{m2} & \cdots & C_{mn}
\end{array} \right)+ Kort video
+ Hvordan kan vi bruke kofaktorene for å finne determinanten til en matrise?
Vi kan lett finne determinanten til en n x n matrise A hvis vi har kofaktorene.
Hvis vi tar utgangspunkt i rad k:
\det(A) = a_{k1} C_{k1} + a_{k2} C_{k2} + \cdots + a_{kn} C_{kn}Hvis vi tar utgangspunkt i kolonne k:
\det(A) = a_{1k} C_{1k} + a_{2k} C_{2k} + \cdots + a_{nk} C_{nk}Og, vips, har vi determinanten.
+ Eksempel: Miniorer
Gitt en matrise:
A = \left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9
\end{array} \right)+ Kort video
Minioren M23 er determinanten til A du får når du stryker rad 2 og kolonne 3:
M_{23} = \left| \begin{array}{ccc}
1 & 2 & \textcolor{red}{\cancel{\textcolor{black}{3}}} \\
\textcolor{red}{\cancel{\textcolor{black}{4}}} & \textcolor{red}{\cancel{\textcolor{black}{5}}} & \textcolor{red}{\cancel{\textcolor{black}{6}}} \\
7 & 8 & \textcolor{red}{\cancel{\textcolor{black}{9}}}
\end{array} \right|
= \left|\begin{array}{cc}
1 & 2 \\ 7 & 8
\end{array} \right| = 1 \cdot 8 - 2 \cdot 7 = -6Minioren M12 er determinanten til A du får når du stryker rad 1 og kolonne 2:
M_{12} = \left|\begin{array}{ccc}
\textcolor{red}{\cancel{\textcolor{black}{1}}} & \textcolor{red}{\cancel{\textcolor{black}{2}}} & \textcolor{red}{\cancel{\textcolor{black}{3}}} \\
4 & \textcolor{red}{\cancel{\textcolor{black}{5}}} & 6 \\
7 & \textcolor{red}{\cancel{\textcolor{black}{8}}} & 9
\end{array} \right|
= \left|\begin{array}{cc}
4 & 6 \\ 7 & 9
\end{array} \right| = 4 \cdot 9 - 6 \cdot 7 = -6+ Eksempel: Finn kofaktorene
Gitt en matrise:
A = \left(\begin{array}{ccc}
3 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -2
\end{array} \right)+ Kort video
Vi har nå lyst til å finne alle kofaktorene:
\begin{aligned}
C_{11} = (-1)^{1+1} M_{11} & = 1 \cdot \left| \begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 1 & -2 \end{array} \right| = -4 \\
C_{12} = (-1)^{1+2} M_{12} & = (-1) \cdot \left| \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{array} \right| = 2 \\
C_{13} = (-1)^{1+2} M_{13} & = 1 \cdot \left| \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} \right| = 1 \\
C_{21} = (-1)^{2+1} M_{21} & = (-1) \cdot \left| \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & -2 \end{array} \right| = 0 \\
C_{22} = (-1)^{2+2} M_{22} & = 1 \cdot \left| \begin{array}{cc} 3 & 0 \\ 0 & -2 \end{array} \right| = -6 \\
C_{23} = (-1)^{2+3} M_{23} & = (-1) \cdot \left| \begin{array}{cc} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right| = -3 \\
C_{31} = (-1)^{3+1} M_{31} & = 1 \cdot \left| \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 2 & 0 \end{array} \right| = 0 \\
C_{32} = (-1)^{3+2} M_{32} & = (-1) \cdot \left| \begin{array}{cc} 3 & 0 \\ 1 & 0 \end{array} \right| = 0 \\
C_{33} = (-1)^{3+3} M_{33} & = 1 \cdot \left| \begin{array}{cc} 3 & 0 \\ 1 & 2 \end{array} \right| = 6
\end{aligned}Og, vips, har vi alle kofaktorene.
+ Eksempel: Finn kofaktormatrisen
Vi bruker samme matrise som i forrige eksempel:
A = \left(\begin{array}{ccc}
3 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -2
\end{array} \right)Siden vi allerede har regnet ut alle kofaktorene, kan vi sette dem inn i kofaktormatrisen:
C = \left( \begin{array}{ccc}
C_{11} & C_{12} & C_{13} \\
C_{21} & C_{22} & C_{23} \\
C_{31} & C_{32} & C_{33}
\end{array} \right)
= \left( \begin{array}{ccc} -4 & 2 & 1 \\ 0 & -6 & -3 \\ 0 & 0 & 6 \end{array} \right)Og, vips, har vi kofaktormatrisen.
+ Eksempel: Bruk kofaktorene til å finne determinanten
Vi bruker samme matrise som de forrige eksemplene:
A = \left(\begin{array}{ccc}
3 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -2
\end{array} \right)Siden vi allerede har regnet ut alle kofaktorene, kan vi bruke dem til å finne determinanten.
Hvis vi vil ta utgangspunkt i rad 1:
\det(A) = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + a_{13}C_{13} = 3 \cdot (-4) + 0 \cdot 2 + 0 \cdot 1 = -12Hvis vi vil ta utgangspunkt i rad 3:
\det(A) = a_{31}C_{31} + a_{32}C_{32} + a_{33}C_{33} = 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + (-2) \cdot 6 = -12Hvis vi vil ta utgangspunkt i kolonne 3:
\det(A) = a_{13}C_{13} + a_{23}C_{23} + a_{33}C_{33} = 0 \cdot 1 + 0 \cdot (-2) + (-2) \cdot 6 = -12Og, vips, har vi enda en måte å finne determinanten.