Vi kan bruke den inverse matrisen, A-1, til å løse ligningssett på vektorform:
Ax = b
Løsning:
x = A^{-1}b+ Kort video
+ Hva er logikken bak inverse matriser?
La oss si at vi vil løse denne ligningen:
\frac{1}{2} x = 3Hvis vi multipliserer begge sider med 2, får vi:
\begin{aligned}
2 \cdot \frac{1}{2} x & = 2 \cdot 3 \\ \Rightarrow \qquad x & = 6
\end{aligned} Men hva hvis ligningene våre ser slik ut:
\begin{aligned}
x - 6y & = 120 \\ x - 37 &= 150
\end{aligned} \\Finnes det noe vi kan multiplisere begge sider med for å få x og y?
Svaret er inverse matriser.
Vi skriver først ligningssettet på vektorform:
Ax = b
Deretter multipliser begge sider med den inverse matrisen, A-1:
A^{-1}A x = A^{-1}bSiden I er identitetsmatrisen, får vi at A-1A = I :
\begin{aligned}
Ix &= A^{-1}b \\ \Rightarrow \quad x &= A^{-1}b
\end{aligned}Og, vips har vi løsningen.
+ Eksempel 1: To ligninger og to ukjente
Gitt et ligningssett med to ligninger og to ukjente:
\begin{aligned}
x - 6y & = 120 \\ x - 37 &= 150
\end{aligned} \\Steg 1: Skriv ligningssettet på vektorform, Ax = b:
\underbrace{\left( \begin{array}{cc} 1 & -6 \\ 1 & -3 \end{array} \right)}_A
\underbrace{\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)}_x
= \underbrace{\left( \begin{array}{c} 120 \\ 150 \end{array} \right)}_bSteg 2: Sjekk at ligningssettet har en løsning:
\det(A) = \left| \begin{array}{cc} 1 & -6 \\ 1 & -3 \end{array} \right| = 1 \cdot (-3) - (-6) \cdot 1 = 3 \neq 0Siden determinanten er ulik null, vet vi at ligningssettet har en løsning
Steg 3: Finn den inverse matrisen til A:
A^{-1} = \left( \begin{array}{cc} 1 & -6 \\ 1 & -3 \end{array} \right)^{-1}
= \left( \begin{array}{cc} -1 & 2 \\ -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{array} \right)Trenger du hjelp til å finne den inverse matrisen? Se her.
Steg 4: Multipliser begge sider av ligningen med den inverse matrisen:
\begin{aligned}
x &= A^{-1} b \\
\Rightarrow \quad \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) &=
\left( \begin{array}{cc} -1 & 2 \\ -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{array} \right)
\left( \begin{array}{c} 120 \\ 150 \end{array} \right)
\end{aligned}Steg 5: Finn løsningen ved hjelp av matrisemultiplikasjon:
\begin{aligned}
\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) &=
\left( \begin{array}{c} -1 \cdot 120 + 2 \cdot 150 \\ -\frac{1}{3} \cdot 120 + \frac{1}{3} \cdot 150 \end{array} \right) \\
\Rightarrow \quad
\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) &=
\left( \begin{array}{c} 180 \\ 10 \end{array} \right)
\end{aligned}Steg 6: Sjekk svaret:
x - 6y = 180 - 6 \cdot 10 = 120 \qquad \textnormal{ok} \\
x - 3y = 180 - 3 \cdot 10 = 150 \qquad \textnormal{ok}Og vips har vi løst ligningssettet.
+ Eksempel 2: Tre ligninger og tre ukjente
Gitt et ligningssett med tre ligninger og tre ukjente:
\begin{array}{rcrcrl}
3x &&&&& = 30 \\
x & + & 2y &&& = 18 \\
&& y &-& 2z & = 2
\end{array} Steg 1: Skriv ligningssettet på vektorform, Ax = b:
\underbrace{\left( \begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -2 \end{array} \right)}_A
\underbrace{\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z\end{array} \right)}_x
= \underbrace{\left( \begin{array}{c} 30 \\ 18 \\ 2 \end{array} \right)}_bSteg 2: Sjekk at ligningssettet har en løsning:
\det(A) = \left| \begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -2 \end{array} \right| = 3 \cdot 2 \cdot (-2) = -12 \neq 0Siden determinanten er ulik null, vet vi at ligningssettet har en løsning
Steg 3: Finn den inverse matrisen til A:
A^{-1} = \left( \begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -2 \end{array} \right)^{-1}
= \left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ -\frac{1}{6} & \frac{1}{2} & 0 \\ - \frac{1}{12} & \frac{1}{4} & - \frac{1}{2} \end{array} \right)Trenger du hjelp til å finne den inverse matrisen? Se her.
Steg 4: Multipliser begge sider av ligningen med den inverse matrisen:
\begin{aligned}
x &= A^{-1} b \\
\Rightarrow \quad \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z\end{array} \right) &=
\left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ -\frac{1}{6} & \frac{1}{2} & 0 \\ - \frac{1}{12} & \frac{1}{4} & - \frac{1}{2} \end{array} \right)
\left( \begin{array}{c} 30 \\ 18 \\ 2 \end{array} \right)
\end{aligned}Steg 5: Finn løsningen ved hjelp av matrisemultiplikasjon:
\begin{aligned}
\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) &=
\left( \begin{array}{c} \frac{1}{3} \cdot 30 + 0 \cdot 18 + 0 \cdot 2 \\ -\frac{1}{6} \cdot 30 + \frac{1}{2} \cdot 18 + 0 \cdot 18 \\ -\frac{1}{12} \cdot 30 + \frac{1}{4} \cdot 18 + \left( -\frac{1}{2} \right) \cdot 2 \end{array} \right) \\
\Rightarrow \quad
\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) &=
\left( \begin{array}{c} 10 \\ -5 + 9 \\ - \frac{5}{2} + \frac{9}{2} - 1 \end{array} \right) \\
\Rightarrow \quad
\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) &=
\left( \begin{array}{c} 10 \\ 4 \\ 1 \end{array} \right)
\end{aligned}Steg 6: Sjekk svaret:
\begin{array}{rcrcrccll}
3x &&&&& = & 3 \cdot 10 & = 30 & \textnormal{ok} \\
x & + & 2y &&& = & 10 + 2 \cdot 4 & = 18 & \textnormal{ok} \\
&& y &-& 2z & = & 4 - 2 \cdot 1 & = 2 & \textnormal{ok}
\end{array} Og vips har vi løst ligningssettet.