Matriser: Invers matrise

En n x n matrise A er invertibel dersom det(A) ≠ 0. Da eksisterer en matrise A-1 slik at AA-1 = A-1A = I.
A-1 kalles den inverse matrisen til A.

Vi kan finne den inverse matrisen på to måter:

Metode 1: Radoperasjoner. 

(A \;|\; I) \sim (I \;|\; A^{-1})

Metode 2: Kofaktorer. 

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} C^T

Tips: Når du tror du har funnet den inverse matrisen, sjekk om AA-1 = I. Da vet du om du har regnet rett.

+ Kort video

+ Eksempel 1: 2 x 2 matrise

Gitt en 2 x 2 matrise:

A = \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right)

+ Kort video

+ Er matrisen inverterbar

Hvis A skal være inverterbar, må det(A) ≠ 0. Vi regner derfor ut determinanten:

\det(A) = \left| \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right| = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = -2 \neq 0

Og, vips, vet vi at A har en invers matrise.

+ Finn den inverse matrisen ved hjelp av radoperasjoner

Siden det(A) ≠ 0, et vi at matrisen er inverterbar og derfor eksisterer den inverse matrisen. Nå skal vi finne den ved hjelp av radoperasjoner.

Først lager vi en matrise som består av A og identitetsmatrisen, I:

(\textcolor{red}{A} \;|\; \textcolor{blue}{I}) =  
\left( \begin{array}{cc|cc}
\textcolor{red}{1} & \textcolor{red}{2} & \textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{0} \\ \textcolor{red}{3} & \textcolor{red}{4} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{1}
\end{array} \right)

Vi bruker Gauss eliminasjon til matrisen er på trappeform (null under ledende enere): 

\begin{aligned}
(A \;|\; I) = & 
\left( \begin{array}{cc|cc}
1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 1
\end{array} \right) \\
\overset{R_2 - 3R_1 \to R_2}{\sim} &
\left( \begin{array}{cc|cc}
\textcolor{red}{1} & 2 & 1 & 0 \\ \textcolor{blue}{0} & -2 & -3 & 1
\end{array} \right) \\
\overset{-R_2/2 \to R_2}{\sim} &
\left( \begin{array}{cc|cc}
\textcolor{red}{1} & 2 & 1 & 0 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2}
\end{array} \right) 
\end{aligned}

Deretter bruker vi Gauss-Jordan eliminasjon for å få den på redusert trappeform (null over ledende enere):

\begin{aligned}
(A \;|\; I) \sim &
\left( \begin{array}{cc|cc}
\textcolor{red}{1} & 2 & 1 & 0 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2}
\end{array} \right) \\
\overset{R_1 - 2 R_2 \to R_1}{\sim} &
\left( \begin{array}{cc|cc}
\textcolor{red}{1} & \textcolor{blue}{0} & -2 & 1 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2}
\end{array} \right)
\end{aligned}

Siden vi nå har matrisen på redusert trappeform, har vi fått en matrise som er satt sammen av I og den inverse matrisen til A:

\left( \begin{array}{cc|cc}
\textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{-2} & \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{1} & \textcolor{red}{\frac{3}{2}} & \textcolor{red}{-\frac{1}{2}}
\end{array} \right)  = (\textcolor{blue}{I} \;|\; \textcolor{red}{A^{-1}})

Og, vips, har vi den inverse matrisen:

A^{-1} = \left( \begin{array}{cc}
-2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2}
\end{array} \right)

+ Finn den inverse matrisen ved hjelp av kofaktorer

Siden det(A) ≠ 0, et vi at matrisen er inverterbar og derfor eksisterer den inverse matrisen. Nå skal vi finne den ved hjelp av kofaktormatrisen til A:

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} C^T

Først finner vi determinanten:

\det(A) = \left| \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right| = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = -2

Deretter alle kofaktorene:

\begin{aligned}
C_{11} = & (-1)^{1+1} M_{11} = 4 \\
C_{12} = & (-1)^{1+2} M_{12} = -3 \\
C_{21} = & (-1)^{2+1} M_{21} = -2 \\
C_{22} = & (-1)^{2+2} M_{22} = 1 
\end{aligned}

Kofaktorene samler vi i kofaktormatrisen:

C = \left( \begin{array}{cc}
4 & -3 \\ -2 & 1
\end{array} \right)

Deretter transponerer vi kofaktormatrisen:

C^T = \left( \begin{array}{cc}
4 & -2 \\ -3 & 1
\end{array} \right)

Nå har vi alt vi trenger for å bruke formelen:

\begin{aligned}
A^{-1} & = \frac{1}{\det(A)} C^T \\
\Rightarrow \qquad A^{-1}
& = \frac{1}{-2} \left( \begin{array}{cc}
4 & -2 \\ -3 & 1
\end{array} \right)
\end{aligned}

Vi kan la 1/2 stå utenfor, eller multiplisere den med alle ledd i matrisen:

A^{-1} = \left( \begin{array}{cc}
-2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2}
\end{array} \right)

Og, vips, har vi funnet den inverse matrisen til A.

+ Sjekk svaret

Vi har nå funnet en matrise som vi tror er den inverse matrisen:

A^{-1} = \left( \begin{array}{cc}
-2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2}
\end{array} \right)

Dersom vi har regnet rett, kan vi bruke matrisemultiplikasjon for å få AA-1 = I der I er identitetsmatrisen. Vi sjekker:

\begin{aligned}
AA^{-1}
&= \left( \begin{array}{cc}
1 & 2 \\ 3 & 4
\end{array} \right) 
\left( \begin{array}{cc}
-2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2}
\end{array} \right) \\
\Rightarrow \quad AA^{-1}
&= \left( \begin{array}{cc}
1 \cdot (-2) + 2 \cdot \frac{3}{2} & 1 \cdot 1 + 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \\
3 \cdot (-2) + 4 \cdot \frac{3}{2} & 3 \cdot 1 + 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) 
\end{array} \right) \\
\Rightarrow \quad AA^{-1}
&= \left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1 
\end{array} \right) \\
\Rightarrow \quad AA^{-1} &= I
\end{aligned}

Og, vips, vet vi at vi har regnet rett.

+ Eksempel 2: 2 x 2 matrise

Gitt en 2 x 2 matrise:

A = \left( \begin{array}{cc} 1 & -6 \\ 1 & -3 \end{array} \right)

+ Kort video

+ Er matrisen inverterbar

Hvis A skal være inverterbar, må det(A) ≠ 0. Vi regner derfor ut determinanten:

\det(A) = \left| \begin{array}{cc} 1 & -6 \\ 1 & -3 \end{array} \right| = 1 \cdot (-3) - (-6) \cdot 1 = 3 \neq 0

Og, vips, vet vi at A har en invers matrise.

+ Finn den inverse matrisen ved hjelp av radoperasjoner

Siden det(A) ≠ 0, et vi at matrisen er inverterbar og derfor eksisterer den inverse matrisen. Nå skal vi finne den ved hjelp av radoperasjoner.

Først lager vi en matrise som består av A og identitetsmatrisen, I:

(\textcolor{red}{A} \;|\; \textcolor{blue}{I}) =  
\left( \begin{array}{cc|cc}
\textcolor{red}{1} & \textcolor{red}{-6} & \textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{0} \\ \textcolor{red}{1} & \textcolor{red}{-3} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{1}
\end{array} \right)

Vi bruker Gauss eliminasjon til matrisen er på trappeform (null under ledende enere): 

\begin{aligned}
(A \;|\; I) = & 
\left( \begin{array}{cc|cc}
1 & -6 & 1 & 0 \\ 1 & -3 & 0 & 1
\end{array} \right) \\
\overset{R_2 - R_1 \to R_2}{\sim} &
\left( \begin{array}{cc|cc}
\textcolor{red}{1} & -6 & 1 & 0 \\ \textcolor{blue}{0} & 3 & -1 & 1
\end{array} \right) \\
\overset{R_2/3 \to R_2}{\sim} &
\left( \begin{array}{cc|cc}
\textcolor{red}{1} & -6 & 1 & 0 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & -\frac{1}{3} & \frac{1}{3}
\end{array} \right) 
\end{aligned}

Deretter bruker vi Gauss-Jordan eliminasjon for å få den på redusert trappeform (null over ledende enere):

\begin{aligned}
(A \;|\; I) \sim &
\left( \begin{array}{cc|cc}
\textcolor{red}{1} & -6 & 1 & 0 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & -\frac{1}{3} & \frac{1}{3}
\end{array} \right) \\
\overset{R_1 + 6 R_2 \to R_1}{\sim} &
\left( \begin{array}{cc|cc}
\textcolor{red}{1} & \textcolor{blue}{0} & -1 & 2 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & -\frac{1}{3} & \frac{1}{3}
\end{array} \right)
\end{aligned}

Siden vi nå har matrisen på redusert trappeform, har vi fått en matrise som er satt sammen av I og den inverse matrisen til A:

\left( \begin{array}{cc|cc}
\textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{-1} & \textcolor{red}{2} \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{1} & \textcolor{red}{-\frac{1}{3}} & \textcolor{red}{\frac{1}{3}}
\end{array} \right)  = (\textcolor{blue}{I} \;|\; \textcolor{red}{A^{-1}})

Og, vips, har vi den inverse matrisen:

A^{-1} = \left( \begin{array}{cc}
-1 & 2 \\ -\frac{1}{3} & \frac{1}{3}
\end{array} \right)

+ Finn den inverse matrisen ved hjelp av kofaktorer

Siden det(A) ≠ 0, et vi at matrisen er inverterbar og derfor eksisterer den inverse matrisen. Nå skal vi finne den ved hjelp av kofaktormatrisen til A:

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} C^T

Først finner vi determinanten:

\det(A) = \left| \begin{array}{cc} 1 & -6 \\ 1 & -3 \end{array} \right| = 1 \cdot (-3) - (-6) \cdot 1 = 3

Deretter alle kofaktorene:

\begin{aligned}
C_{11} = & (-1)^{1+1} M_{11} = -3 \\
C_{12} = & (-1)^{1+2} M_{12} = -1 \\
C_{21} = & (-1)^{2+1} M_{21} = 6 \\
C_{22} = & (-1)^{2+2} M_{22} = 1 
\end{aligned}

Kofaktorene samler vi i kofaktormatrisen:

C = \left( \begin{array}{cc}
-3 & -1 \\ 6 & 1
\end{array} \right)

Deretter transponerer vi kofaktormatrisen:

C^T = \left( \begin{array}{cc}
-3 & 6 \\ -1 & 1
\end{array} \right)

Nå har vi alt vi trenger for å bruke formelen:

\begin{aligned}
A^{-1} & = \frac{1}{\det(A)} C^T \\
\Rightarrow \qquad A^{-1}
& = \frac{1}{3} \left( \begin{array}{cc}
-3 & 6 \\ -1 & 1
\end{array} \right)
\end{aligned}

Vi kan la 1/3 stå utenfor, eller multiplisere den med alle ledd i matrisen:

A^{-1} = \left( \begin{array}{cc}
-1 & 2 \\ -\frac{1}{3} & \frac{1}{3}
\end{array} \right)

Og, vips, har vi funnet den inverse matrisen til A.

+ Sjekk svaret

Vi har nå funnet en matrise som vi tror er den inverse matrisen:

A^{-1} = \left( \begin{array}{cc}
-1 & 2 \\ -\frac{1}{3} & \frac{1}{3}
\end{array} \right)

Dersom vi har regnet rett, kan vi bruke matrisemultiplikasjon for å få AA-1 = I der I er identitetsmatrisen. Vi sjekker:

\begin{aligned}
AA^{-1}
&= \left( \begin{array}{cc}
1 & -6 \\ 1 & -3
\end{array} \right) 
\left( \begin{array}{cc}
-1 & 2 \\ -\frac{1}{3} & \frac{1}{3}
\end{array} \right) \\
\Rightarrow \quad AA^{-1}
&= \left( \begin{array}{cc}
1 \cdot (-1) + (-6) \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) & 1 \cdot 2 + (-6) \cdot \frac{1}{3} \\
1 \cdot (-1) + (-3) \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) & 1 \cdot 2 + (-3) \cdot \frac{1}{3} 
\end{array} \right) \\
\Rightarrow \quad AA^{-1}
&= \left( \begin{array}{cc}
-1 + 2 & 2 - 2 \\
-1 + 1 & 2 - 1 
\end{array} \right) \\
\Rightarrow \quad AA^{-1}
&= \left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1 
\end{array} \right) \\
\Rightarrow \quad AA^{-1} &= I
\end{aligned}

Og, vips, vet vi at vi har regnet rett.

+ Eksempel 3: 3 x 3 matrise

Gitt en 3 x 3 matrise:

A = \left( \begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -2 \end{array} \right)

+ Kort video

+ Sjekk om matrisen er inverterbar

Hvis A skal være inverterbar, må det(A) ≠ 0. Vi regner derfor ut determinanten og velger å bruke første rad siden det er to nuller der:

\begin{aligned}
\det(A) & = \left| \begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -2 \end{array} \right| \\
\Rightarrow \quad \det(A)
& = 3 \cdot \left| \begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 1 & -2 \end{array} \right| \\
\Rightarrow \quad \det(A)
& = 3 \cdot (2 \cdot (-2) - 0 \cdot 1) \\
\Rightarrow \quad \det(A)
& = -12 \\
\Rightarrow \quad \det(A)
& \neq \; 0
\end{aligned}

Og, vips, vet vi at A har en invers matrise.

+ Finn den inverse matrisen ved hjelp av radoperasjoner

Siden det(A) ≠ 0, et vi at matrisen er inverterbar og derfor eksisterer den inverse matrisen. Nå skal vi finne den ved hjelp av radoperasjoner.

Først lager vi en matrise som består av A og identitetsmatrisen, I:

(\textcolor{red}{A} \;|\; \textcolor{blue}{I}) =  
\left( \begin{array}{ccc|ccc}
\textcolor{red}{3} & \textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{0} & 
\textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} \\ 
\textcolor{red}{1} & \textcolor{red}{2} & \textcolor{red}{0} &
\textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{0} \\
\textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{1} & \textcolor{red}{-2} &
 \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{1}
\end{array} \right)

Vi bruker Gauss eliminasjon til matrisen er på trappeform (null under ledende enere): 

\begin{aligned}
(A \;|\; I) = & 
\left( \begin{array}{ccc|ccc}
3 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 
1 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 
0 & 1 & -2 & 0 & 0 & 1
\end{array} \right) \\
\overset{R_3/3 \to R_3}{\sim} &
\left( \begin{array}{ccc|ccc}
\textcolor{red}{1} & 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 
1 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & -2 & 0 & 0 & 1
\end{array} \right) \\
\overset{R_2 - R_1 \to R_2}{\sim} &
\left( \begin{array}{ccc|ccc}
\textcolor{red}{1} & 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 
\textcolor{blue}{0} & 2 & 0 & -\frac{1}{3} & 1 & 0 \\
\textcolor{blue}{0} & 1 & -2 & 0 & 0 & 1
\end{array} \right) \\
\overset{R_2/2 \to R_2}{\sim} &
\left( \begin{array}{ccc|ccc}
\textcolor{red}{1} & 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 
\textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & 0 & -\frac{1}{6} & \frac{1}{2} & 0 \\
\textcolor{blue}{0} & 1 & -2 & 0 & 0 & 1
\end{array} \right) \\
\overset{R_3 - R_2 \to R_3}{\sim} &
\left( \begin{array}{ccc|ccc}
\textcolor{red}{1} & 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 
\textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & 0 & -\frac{1}{6} & \frac{1}{2} & 0 \\
\textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & -2 & \frac{1}{6} & -\frac{1}{2} & 1
\end{array} \right) \\
\overset{- R_2/2 \to R_3}{\sim} &
\left( \begin{array}{ccc|ccc}
\textcolor{red}{1} & 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 
\textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & 0 & -\frac{1}{6} & \frac{1}{2} & 0 \\
\textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & -\frac{1}{12} & \frac{1}{4} & -\frac{1}{2}
\end{array} \right) 
\end{aligned}

Deretter skulle vi egentlig bruke Gauss-Jordan eliminasjon for å få den på redusert trappeform (null over ledende enere), men denne er allerede på redusert trappeform:

\begin{aligned}
(A \;|\; I) \sim &
\left( \begin{array}{ccc|ccc}
\textcolor{red}{1} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 
\textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & \textcolor{blue}{0} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{2} & 0 \\
\textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & -\frac{1}{12} & \frac{1}{4} & -\frac{1}{2}
\end{array} \right) 
\end{aligned}

Siden vi nå har matrisen på redusert trappeform, har vi fått en matrise som er satt sammen av I og den inverse matrisen til A:

\left( \begin{array}{ccc|ccc}
\textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & 
\textcolor{red}{\frac{1}{3}} & \textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{0} \\ 
\textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{0} & 
\textcolor{red}{-\frac{1}{6}} & \textcolor{red}{\frac{1}{2}} & \textcolor{red}{0} \\
\textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{1} & 
\textcolor{red}{-\frac{1}{12}} & \textcolor{red}{\frac{1}{4}} & \textcolor{red}{-\frac{1}{2}}
\end{array} \right) 
= (\textcolor{blue}{I} \;|\; \textcolor{red}{A^{-1}})

Og, vips, har vi den inverse matrisen:

A^{-1} = \left( \begin{array}{ccc}
\frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 
-\frac{1}{6} & \frac{1}{2} & 0 \\
-\frac{1}{12} & \frac{1}{4} & -\frac{1}{2}
\end{array} \right)

+ Finn den inverse matrisen ved hjelp av kofaktorer

Siden det(A) ≠ 0, et vi at matrisen er inverterbar og derfor eksisterer den inverse matrisen. Nå skal vi finne den ved hjelp av kofaktormatrisen til A:

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} C^T

Først finner vi determinanten:

\begin{aligned}
\det(A) & = \left| \begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -2 \end{array} \right| \\
\Rightarrow \quad \det(A)
& = 3 \cdot \left| \begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 1 & -2 \end{array} \right| \\
\Rightarrow \quad \det(A)
& = 3 \cdot (2 \cdot (-2) - 0 \cdot 1) \\
\Rightarrow \quad \det(A)
& = -12 
\end{aligned}

Deretter alle kofaktorene:

\begin{aligned}
C_{11} = (-1)^{1+1} M_{11} & = 1 \cdot \left| \begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 1 & -2 \end{array} \right| = -4 \\
C_{12} = (-1)^{1+2} M_{12} & = (-1) \cdot \left| \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{array} \right| = 2 \\
C_{13} = (-1)^{1+2} M_{13} & = 1 \cdot \left| \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} \right| = 1 \\
C_{21} = (-1)^{2+1} M_{21} & = (-1) \cdot \left| \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & -2 \end{array} \right| = 0 \\
C_{22} = (-1)^{2+2} M_{22} & = 1 \cdot \left| \begin{array}{cc} 3 & 0 \\ 0 & -2 \end{array} \right| = -6 \\
C_{23} = (-1)^{2+3} M_{23} & = (-1) \cdot \left| \begin{array}{cc} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right| = -3 \\
C_{31} = (-1)^{3+1} M_{31} & = 1 \cdot \left| \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 2 & 0 \end{array} \right| = 0 \\
C_{32} = (-1)^{3+2} M_{32} & = (-1) \cdot \left| \begin{array}{cc} 3 & 0 \\ 1 & 0 \end{array} \right| = 0 \\
C_{33} = (-1)^{3+3} M_{33} & = 1 \cdot \left| \begin{array}{cc} 3 & 0 \\ 1 & 2 \end{array} \right| = 6 
\end{aligned}

Kofaktorene samler vi i kofaktormatrisen:

C = \left( \begin{array}{ccc}
-4 & 2 & 1 \\ 
0 & - 6 & -3 \\
0 & 0 & 6
\end{array} \right)

Deretter transponerer vi kofaktormatrisen:

C^T = \left( \begin{array}{ccc}
-4 & 0 & 0 \\ 2 & -6 & 0 \\ 1 & -3 & 6
\end{array} \right)

Nå har vi alt vi trenger for å bruke formelen:

\begin{aligned}
A^{-1} & = \frac{1}{\det(A)} C^T \\
\Rightarrow \qquad A^{-1}
& = \frac{1}{-12} \left( \begin{array}{ccc}
-4 & 0 & 0 \\ 2 & -6 & 0 \\ 1 & -3 & 6
\end{array} \right)
\end{aligned}

Vi kan la -1/12 stå utenfor, eller multiplisere den med alle ledd i matrisen:

A^{-1} = \left( \begin{array}{ccc}
\frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 
-\frac{1}{6} & \frac{1}{2} & 0 \\
-\frac{1}{12} & \frac{1}{4} & -\frac{1}{2}
\end{array} \right)

Og, vips, har vi funnet den inverse matrisen til A.

+ Sjekk svaret

Vi har nå funnet en matrise som vi tror er den inverse matrisen:

A^{-1} = \left( \begin{array}{ccc}
\frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 
-\frac{1}{6} & \frac{1}{2} & 0 \\
-\frac{1}{12} & \frac{1}{4} & -\frac{1}{2}
\end{array} \right)

Dersom vi har regnet rett, kan vi bruke matrisemultiplikasjon for å få AA-1 = I der I er identitetsmatrisen. Vi sjekker:

\begin{aligned}
AA^{-1}
&= \left( \begin{array}{cc}
3 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -2
\end{array} \right) 
\left( \begin{array}{cc}
\frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 
-\frac{1}{6} & \frac{1}{2} & 0 \\
-\frac{1}{12} & \frac{1}{4} & -\frac{1}{2}
\end{array} \right) \\
\Rightarrow \quad AA^{-1}
&= \left( \begin{array}{cc}
3 \cdot \left( \frac{1}{3} \right) + 0 + 0 & 0 + 0 + 0 & 0 + 0 + 0 \\
1 \cdot \left( \frac{1}{3} \right) + 2 \cdot \left( - \frac{1}{6} \right) + 0 & 0 + 2 \cdot \frac{1}{2} + 0 & 0 + 0 + 0 \\
0 + 1 \cdot \left( -\frac{1}{6} \right) + (-2) \cdot \left( -\frac{1}{12} \right) & 0 + 1 \cdot \frac{1}{2}  + (-2) \cdot \frac{1}{4} & 0 + 0 + (-2) \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) \\
\end{array} \right) \\
\Rightarrow \quad AA^{-1}
&= \left( \begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array} \right) \\
\Rightarrow \quad AA^{-1} &= I
\end{aligned}

Og, vips, vet vi at vi har regnet rett.

+ Eksempel 4: Sjekk om to matriser er hverandres inverse matriser

Sjekk om følgende to matriser er hverandres inverse matriser:

A = \left( \begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -2 \end{array} \right)\!\!, \;\;
B = \left( \begin{array}{ccc}
\frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 
-\frac{1}{6} & \frac{1}{2} & 0 \\
-\frac{1}{12} & \frac{1}{4} & -\frac{1}{2}
\end{array} \right)

+ Kort video

Vi vet at AA-1 = I. Dersom B = A-1, kan vi bruke matrisemultiplikasjon og få identitetsmatrisen, I. Vi sjekker:

\begin{aligned}
AB 
&= \left( \begin{array}{cc}
3 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -2
\end{array} \right) 
\left( \begin{array}{cc}
\frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 
-\frac{1}{6} & \frac{1}{2} & 0 \\
-\frac{1}{12} & \frac{1}{4} & -\frac{1}{2}
\end{array} \right) \\
\Rightarrow \quad AB
&= \left( \begin{array}{cc}
3 \cdot \left( \frac{1}{3} \right) + 0 + 0 & 0 + 0 + 0 & 0 + 0 + 0 \\
1 \cdot \left( \frac{1}{3} \right) + 2 \cdot \left( - \frac{1}{6} \right) + 0 & 0 + 2 \cdot \frac{1}{2} + 0 & 0 + 0 + 0 \\
0 + 1 \cdot \left( -\frac{1}{6} \right) + (-2) \cdot \left( -\frac{1}{12} \right) & 0 + 1 \cdot \frac{1}{2}  + (-2) \cdot \frac{1}{4} & 0 + 0 + (-2) \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) \\
\end{array} \right) \\
\Rightarrow \quad AB
&= \left( \begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array} \right) \\
\Rightarrow \quad AB &= I
\end{aligned}

Og, vips, vet vi at B er den inverse matrisen til A. (Og A den inverse matrisen til B.)

← Matematikk

↓ Oppgaver

→ Lineært ligningssett