Et lineært ligningssett med m ligninger og n ukjente:
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots a_{1n}x_n = b_1 \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots a_{2n}x_n = b_2 \\
\vdots \\
a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots a_{mn}x_n = b_m– aij kalles koeffisienter
– bi er konstantleddene
– xi kalles variabler eller ukjente
+ Kort video
+ Hva er en lineær ligning?
En lineær ligning, er en ligning der alle leddene med variabler står på formen:
\textnormal{konstant} \cdot \textnormal{variabel}+ Kort video
Eksempler på lineære ligninger:
x + 4y + 5 = 0 \\
x + \sqrt{7} = e^4 \\
3x_1 = 4x_2 - 1Eksempler på ikke-lineære ligninger:
x^2 + 2x + 1 = 0 \\
\sqrt{x_1} + 2x_2 = 0 \\
e^x = y+ Hva er et homogent ligningssett?
I et homogent ligningssystem er alle konstantleddene lik null (bi = 0):
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots a_{1n}x_n = 0 \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots a_{2n}x_n = 0 \\
\vdots \\
a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots a_{mn}x_n = 0I et inhomogent ligningssystem er minst ett av konstantleddene ulikt null.
+ Hva er en koeffisientmatrise?
En koeffisientmatrise består av alle koeffisientene i et ligningssett:
\left( \begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots\\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{array} \right)+ Kort video
Eksempel: Koeffisentmatrisen til følgende ligningssett
\begin{array}{cccc}
x &-& 2y &+& 3z &=& 5 \\
2x &-& 4y &+& 6z &=& 10 \\
2x &-& 3y &+& 10z &=& 8
\end{array}er
\left( \begin{array}{ccc} 1 & -2 & 3 \\ 2 & -4 & 6 \\ 2 & -3 & 10 \end{array} \right)+ Hva er en utvidet matrise?
En utvidet matrise kalles også totalmatrisen og består av alle koeffisientene og konstantleddene i et ligningssett:
\left( \begin{array}{cccc|c}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2 \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m
\end{array} \right)Den loddrette streken trenger ikke være der hvis du ikke vil ha den der. Den er der kun for å hjelpe deg.
+ Kort video
Eksempel: Den utvidende matrisen til følgende lignignssett
\begin{array}{cccc}
x &-& 2y &+& 3z &=& 5 \\
2x &-& 4y &+& 6z &=& 10 \\
2x &-& 3y &+& 10z &=& 8
\end{array}er
\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 5 \\ 2 & -4 & 6 & 10 \\ 2 & -3 & 10 & 8\end{array} \right)+ Hvordan skrives et ligningssett på vektorform?
Et ligningssett på vektorform er:
Ax = b
der A er koeffisentmatrisen:
A =
\left( \begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{array} \right)b og x er gitt ved:
x = \left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_m \end{array} \right)\!\!, \;\;
b = \left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{array} \right)+ Kort video
Eksempel: La oss si vi har følgende lignignssett
\begin{array}{cccc}
x &-& 2y &+& 3z &=& 5 \\
2x &-& 4y &+& 6z &=& 10 \\
2x &-& 3y &+& 10z &=& 8
\end{array}Det kan skrives på vektorform:
\left( \begin{array}{ccc} 1 & -2 & 5 \\ 2 & -4 & 6 \\ 2 & -3 & 10 \end{array} \right)
\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right)
=
\left( \begin{array}{c} 5 \\ 10 \\ 8 \end{array} \right)Vi kan bruke matrisemultiplikasjon for å få tilbake ligningssettene:
\left( \begin{array}{c} x -2y + 5z \\ 2x -4y + 6z \\ 2x -3y + 10z \end{array} \right)
=
\left( \begin{array}{c} 5 \\ 10 \\ 8 \end{array} \right)