Matriser: Cramers regel

Dersom Ax = b er et ligningssett på vektorform med n ligninger og n ukjente, og det(A) ≠ 0, kan vi bruke Cramers regel til å finne løsningen:

x_k = \frac{\det(A_k)}{\det(A)}

Ak er en matrise der kolonne k i A er byttet ut med b.

+ Eksempel 1: 2 ligninger og 2 ukjente

Gitt et ligningssett med to ligninger og to ukjente:

\begin{aligned}
x - 6y & = 120 \\ x - 37 &= 150 
\end{aligned} \\

Steg 1: Skriv ligningssettet på vektorform, Ax = b:

\underbrace{\left( \begin{array}{cc} 1 & -6 \\ 1 & -3 \end{array} \right)}_A
\underbrace{\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)}_x
= \underbrace{\left( \begin{array}{c} 120 \\ 150 \end{array} \right)}_b

Steg 2: Sjekk at determinanten er ulik null:

\det(A) = \left| \begin{array}{cc} 1 & -6 \\ 1 & -3 \end{array} \right| = 1 \cdot (-3) - (-6) \cdot 1 = 3 \neq 0

Siden determinanten er ulik null, vet vi at ligningssettet har en løsning

Steg 3: Finn de andre determinantene, det(Ak), der kolonne k i A er byttet ut med b:

\begin{array}{rcll}
\det(A_1) =&  \left| \begin{array}{cc} \textcolor{red}{120} & -6 \\ \textcolor{red}{150} & -3 \end{array} \right| &= 120 \cdot (-3) - (-6) \cdot 150 & = 540 \\
\det(A_2) =&  \left| \begin{array}{cc} 1 & \textcolor{red}{120} \\ 1 & \textcolor{red}{150} \end{array} \right| &= 1 \cdot 150 - 120 \cdot 1 & = 30 
\end{array}

Steg 4: Bruk Cramers regel:

\begin{aligned}
x &= \frac{\det(A_1)}{\det(A)} = \frac{540}{3} = 180 \\
y &= \frac{\det(A_2)}{\det(A)} = \frac{30}{3} = 10 
\end{aligned}

Steg 5: Sjekk svaret:

x - 6y = 180 - 6 \cdot 10 = 120 \qquad \textnormal{ok} \\
x - 3y = 180 - 3 \cdot 10 = 150 \qquad \textnormal{ok}

Og vips har vi løst ligningssettet.

+ Eksempel 2: 3 ligninger og 3 ukjente

Gitt et ligningssett med tre ligninger og tre ukjente:

\begin{array}{rcrcrl}
3x &&&&& = 30 \\
x & + & 2y &&& = 18 \\
&& y &-& 2z & = 2
\end{array}

Steg 1: Skriv ligningssettet på vektorform, Ax = b:

\underbrace{\left( \begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -2 \end{array} \right)}_A
\underbrace{\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z\end{array} \right)}_x
= \underbrace{\left( \begin{array}{c} 30 \\ 18 \\ 2 \end{array} \right)}_b

Steg 2: Sjekk at determinanten er ulik null:

\det(A) = \left| \begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -2 \end{array} \right| = 3 \cdot 2 \cdot (-2) = -12 \neq 0

Siden determinanten er ulik null, vet vi at ligningssettet har en løsning.

Steg 3: Finn de andre determinantene, det(Ak), der kolonne k i A er byttet ut med b:

\begin{array}{rcll}
\det(A_1) =&  \left| \begin{array}{cc} \textcolor{red}{30} & 0 & 0 \\ \textcolor{red}{18} & 2 & 0 \\ \textcolor{red}{2} & 1 & -2 \end{array} \right| 
&= (-1)^{1+1} \cdot 30 \left| \begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 1 & -2 \end{array} \right| \\
&& = 30 (2 \cdot (-2) - 0 \cdot 1) \\ &&= -120 \\
\det(A_2) =&  \left| \begin{array}{cc} 3 & \textcolor{red}{30} & 0 \\ 1 & \textcolor{red}{18} & 0\\ 0 & \textcolor{red}{2} & -2\end{array} \right| 
&= (-1)^{3+3} \cdot (-2) \left| \begin{array}{cc} 3 & 30 \\ 1 & 18 \end{array} \right| \\
&& = -2 (3 \cdot 18 - 30 \cdot 1) \\&& = -48 \\
\det(A_3) =&  \left| \begin{array}{cc} 3 & 0 &\textcolor{red}{30} \\ 1 & 2 & \textcolor{red}{18} \\ 0 & 1 & \textcolor{red}{2} \end{array} \right| 
&= (-1)^{1+1} \cdot 3 \left| \begin{array}{cc} 2 & 18 \\ 1 & 2 \end{array} \right| 
+ (-1)^{1+3} \cdot 30 \left| \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} \right| \\
&& = 3 (2 \cdot 2 - 18 \cdot 1) + 30 (1 \cdot 1 - 2 \cdot 0) \\
&& = -12
\end{array}

For A1 og A3 har vi tatt utgangspunkt i rad 1 og for A2 har vi tatt utgangspunkt i kolonne 3, men du kan ta utgangspunkt i akkurat den raden eller kolonnen du ønsker.

Steg 4: Bruk Cramers regel:

\begin{aligned}
x &= \frac{\det(A_1)}{\det(A)} = \frac{-120}{-12} = 10 \\
y &= \frac{\det(A_2)}{\det(A)} = \frac{-48}{-12} = 4 \\
z &= \frac{\det(A_3)}{\det(A)} = \frac{-12}{-12} = 1 
\end{aligned}

Steg 6: Sjekk svaret:

\begin{array}{rcrcrccll}
3x &&&&& = & 3 \cdot 10 & = 30 & \textnormal{ok} \\
x & + & 2y &&& = & 10 + 2 \cdot 4 & = 18 & \textnormal{ok} \\
&& y &-& 2z & = & 4 - 2 \cdot 1 & = 2 & \textnormal{ok} 
\end{array}

Og vips har vi løst ligningssettet.

← Matematikk

↓ Oppgaver

→ Definisjoner