Det finnes $n$ ulike løsninger for $z$ av:
z^n = w
der $n$ er et heltall og $w$ er et komplekst tall.
+ Metode for å finne røttene
Steg 1: Skriv $w$ som et komplekst tall på polar form:
z^n = re^{\theta i}dvs. dersom $w$ står på kartesisk form, må du omskrive det til polar form.
Steg 2: Legg til $2\pi k i$ i eksponenten:
z^n = re^{\theta i + 2\pi ki}der $k$ er et heltall.
+ Hvorfor kan vi øke vinkelen med $2\pi ki$?
Hvis du øker vinkelen med $2\pi k i$, går du bare $k$ ekstra runder i det komplekse plan og havner på samme komplekse tall som før:
Hvis vi vil vise det med regning, kan vi bruke sammenhengen $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ på $w = re^{\theta i + 2\pi ki }$
w = re^{i \theta + 2 \pi ki} = r \left( \cos(\theta + 2\pi k) + i\sin(\theta + 2\pi k) \right)Siden $2 \pi$ er perioden til $\cos(\theta)$ og $\sin(\theta)$, har vi at $\cos(\theta + 2\pi k) = \cos(\theta)$ og \sin(\theta + 2\pi k) = \sin(\theta)$:
w = re^{i \theta + 2 \pi ki} = r \left( \cos(\theta) + i \sin(\theta) \right) = re^{i\theta}Og, vips, har vi at $w = re^{i \theta + 2\pi k i} = r e^{i \theta}$.
Steg 3: Ta $n$’te rota på begge sider:
\begin{array}{rrcl}
&z^n &=& re^{i \theta + 2\pi ki} \\
\Rightarrow & \quad \Big(z^n \Big)^{\frac{1}{n}} &=& \Big( re^{i \theta + 2\pi ki} \Big)^{\frac{1}{n}} \\
\Rightarrow & \quad z &=& r^{\frac{1}{n}} e^{(i \theta + 2\pi ki) \cdot \frac{1}{n}} \\
\Rightarrow & \quad z &=& r^{\frac{1}{n}} e^{\frac{\theta + 2\pi k}{n}i}
\end{array}der vi har brukt noen potenslover.
Steg 4: Sett $k = 0,1,2, \cdots , n-1$ for å finne $n$ løsninger.
\begin{array}{rl}
k = 0: & \quad z_0 = r^{\frac{1}{n}} e^{\frac{\theta}{n}i} \\
k = 1: & \quad z_1 = r^{\frac{1}{n}} e^{\frac{\theta + 2\pi}{n}i} \\
k = 2: & \quad z_2 = r^{\frac{1}{n}} e^{\frac{\theta + 4\pi}{n}i} \\
& \textnormal{osv}
\end{array}+ Eksempel 1: $z^2 = 16$
Finn alle løsningene til
z^2 = 16
Siden $z$ er opphøyd i andre, vet vi at det finnes to løsninger for $z$.
Steg 1: Skriv $16$ som et tall på polar form:
z^2 = 16e^{0i}Steg 2: Legg til $2\pi k i$ i eksponenten:
z^2 = 16 e^{2\pi k i}Steg 3: Ta rota på begge sider:
\begin{array}{rl}
& z = 16^{\frac{1}{2}} e^{2 \pi k i \cdot \frac{1}{2}} \\
\Rightarrow \quad & z = 4 e^{\pi k i}
\end{array}Steg 4: Sett $k = 0,1$ for å finne to løsninger:
\begin{array}{rl}
k = 0: & \quad \textcolor{red}{z_0} = 4e^{0i} = \textcolor{red}{4} \\
k = 1: & \quad \textcolor{blue}{z_1} = 4e^{\pi i} = \textcolor{blue}{-4}
\end{array}Løsningene i det komplekse plan:
+ Eksempel 2: $z^4 = 16$
Finn alle løsningene til
z^4 = 16
Siden $z$ er opphøyd i fjerde, vet vi at det finnes fire løsninger for $z$.
Steg 1: Skriv $16$ som et tall på polar form:
z^4 = 16e^{0i}Steg 2: Legg til $2\pi k i$ i eksponenten:
z^4 = 16 e^{2\pi k i}Steg 3: Ta fjerde rota på begge sider:
\begin{array}{rl}
& z = 16^{\frac{1}{4}} e^{2 \pi k i \cdot \frac{1}{4}} \\
\Rightarrow \quad & z = 2 e^{\frac{1}{2}\pi k i}
\end{array}Steg 4: Sett $k = 0,1,2,3$ for å finne fire løsninger:
\begin{array}{rl}
k = 0: & \quad \textcolor{red}{z_0} = 2e^{0i} = 2( \cos 0 + i \sin 0) = \textcolor{red}{2} \\
k = 1: & \quad \textcolor{blue}{z_1} = 2e^{\frac{\pi}{2} i} = 2 \big( \cos(\frac{\pi}{2}) + i \sin(\frac{\pi}{2})\big) = \textcolor{blue}{2i} \\
k = 2: & \quad \textcolor{green}{z_2} = 2e^{\pi i} = 2( \cos \pi + i \sin \pi ) = \textcolor{green}{-2} \\
k = 3: & \quad \textcolor{purple}{z_3} = 2e^{\frac{3\pi}{2} i} = 2 \big( \cos(\frac{3\pi}{2}) + i \sin(\frac{3\pi}{2})\big) = \textcolor{purple}{-2i}
\end{array}der vi har brukt sammenhengen $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ for å skrive løsningene på kartesisk form.
Løsningene i det komplekse plan:
+ Eksempel 3: $z^3 = 8$
Finn alle løsningene til
z^3 = 8
Siden $z$ er opphøyd i tredje, vet vi at det finnes tre løsninger for $z$.
Steg 1: Skriv $8$ som et tall på polar form:
z^3 = 8e^{0i}Steg 2: Legg til $2\pi k i$ i eksponenten:
z^3 = 8 e^{2\pi k i}Steg 3: Ta tredje rota på begge sider:
\begin{array}{rl}
& z = 8^{\frac{1}{3}} e^{2 \pi k i \cdot \frac{1}{3}} \\
\Rightarrow \quad & z = 2 e^{\frac{2}{3}\pi k i}
\end{array}Steg 4: Sett $k = 0,1,2$ for å finne tre løsninger:
\begin{array}{rl}
k = 0: & \quad \textcolor{red}{z_0} = 2e^{0i} = 2( \cos 0 + i \sin 0) = \textcolor{red}{2} \\
k = 1: & \quad \textcolor{blue}{z_1} = 2e^{\frac{2\pi}{3} i} = 2 \big( \cos(\frac{2\pi}{3}) + i \sin(\frac{2\pi}{3})\big) = \textcolor{blue}{-1 + \sqrt{3}i} \\
k = 2: & \quad \textcolor{green}{z_2} = 2e^{\frac{4\pi}{3} i} = 2 \big( \cos(\frac{4\pi}{3}) + i \sin(\frac{4\pi}{3})\big) = \textcolor{green}{-1 - \sqrt{3}i}
\end{array}der vi har brukt sammenhengen $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ for å skrive løsningene på kartesisk form.
Løsningene i det komplekse plan:
+ Eksempel 4: $z^2 = 4 - 4\sqrt{3}i$
Finn alle løsningene til
z^2 = 4 - 4\sqrt{3}iSiden $z$ er opphøyd i andre, vet vi at det finnes to løsninger for $z$.
Steg 1: $4 - 4\sqrt{3}i$ må ligger i fjerde kvadrant og vi må omskrive det til polar form:
\begin{array}{ll}
& r = |4 - 4\sqrt{3}i| = \sqrt{4^2 + 4\sqrt{3})^2} = 8 \\
& \cos{\theta} = \frac{a}{r} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad \theta = - \frac{\pi}{3}
\end{array} \Rightarrow \quad z^2 = 8e^{-\frac{\pi}{3}i}Steg 2: Legg til $2\pi k i$ i eksponenten:
z^2 = 8 e^{- \frac{\pi}{3}i + 2\pi k i}Steg 3: Ta rota på begge sider:
\begin{array}{rl}
& z = 8^{\frac{1}{2}} e^{(-\frac{\pi}{3}i + 2 \pi k i) \cdot \frac{1}{2}} \\
\Rightarrow \quad & z = 2\sqrt{2} e^{-\frac{\pi}{6}i + \pi k i}
\end{array}Steg 4: Sett $k = 0,1$ for å finne to løsninger:
\begin{array}{rl}
k = 0: & \quad \textcolor{red}{z_0} = 2\sqrt{2} e^{- \frac{\pi}{6} i} = 2 \big( \cos(-\frac{\pi}{6}) + i \sin(-\frac{\pi}{6})\big) = \textcolor{red}{\sqrt{6} + \sqrt{2}i} \\
k = 1: & \quad \textcolor{blue}{z_1} = 2\sqrt{2} e^{\frac{5\pi}{6} i} = 2 \big( \cos(\frac{5\pi}{6}) + i \sin(\frac{5\pi}{6})\big) = \textcolor{blue}{-\sqrt{6} + \sqrt{2}i}
\end{array}der vi har brukt sammenhengen $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ for å skrive løsningene på kartesisk form.
Løsningene i det komplekse plan: