z = \underbrace{\textcolor{red}{r}e^{í \textcolor{blue}{\theta}}}_{\textnormal{Polar form}}
= \underbrace{\textcolor{green}{x} + i \textcolor{purple}{y}}_{\textnormal{Kartesisk form}}+ Eksempel 1: Hva blir $z = 3$ på polar form?
Her har vi et kompleks tall på kartesisk form:
z = 3
Hvis vi vil skrive tallet på polar form, trenger vi bare avstanden fra origo og vinkelen med $x$-aksen i det komplekse plan.
Siden $z$ er et positivt, reelt tall, ligger det på den positive reelle aksen. Vinkelen er $\theta = 0$ og avstanden er $r = 3 fra origo.
Selv om du vet at $r = 3$ og $\theta = 0$, stemmer fortsatt formlene:
\textcolor{red}{r} = |z| = \sqrt{\textcolor{green}{x}^2 + \textcolor{purple}{y}^2} = \sqrt{\textcolor{green}{3}^2 + \textcolor{purple}{0}^2} = \sqrt{9 + 0} = 3 \\
\cos \textcolor{blue}{\theta} = \frac{\textcolor{green}{x}}{\textcolor{red}{r}} = \frac{3}{3} = 1 \quad \Rightarrow \quad \textcolor{blue}{\theta} = \cos^{-1} (1) = 0Og, vips, har vi det komplekse tallet på polar form:
z = 3e^{0i}+ Eksempel 2: Hva blir $z = -3$ på polar form?
Her har vi et kompleks tall på kartesisk form:
z = -3
Hvis vi vil skrive tallet på polar form, trenger vi bare avstanden fra origo og vinkelen med $x$-aksen i det komplekse plan.
Siden $z$ er et negativt, reelt tall, ligger det på den negative reelle aksen. Vinkelen er $\theta = \pi$ og avstanden er $r = 3 fra origo.
Selv om du vet at $r = 3$ og $\theta = \pi$, stemmer fortsatt formlene:
\textcolor{red}{r} = |z| = \sqrt{\textcolor{green}{x}^2 + \textcolor{purple}{y}^2} = \sqrt{(\textcolor{green}{-3})^2 + \textcolor{purple}{0}^2} = \sqrt{9 + 0} = 3 \\
\cos \textcolor{blue}{\theta} = \frac{\textcolor{green}{x}}{\textcolor{red}{r}} = \frac{-3}{3} = -1 \quad \Rightarrow \quad \textcolor{blue}{\theta} = \cos^{-1} (-1) = \piOg, vips, har vi det komplekse tallet på polar form:
z = 3e^{\pi i}+ Eksempel 3: Hva blir $z = 3i$ på polar form?
Her har vi et kompleks tall på kartesisk form:
z = 3i
Hvis vi vil skrive tallet på polar form, trenger vi bare avstanden fra origo og vinkelen med $x$-aksen i det komplekse plan.
Siden $z$ er et positivt, imaginært tall, ligger det på den positive imaginære aksen. Vinkelen er $\theta = \pi/2$ og avstanden er $r = 3 fra origo.
Selv om du vet at $r = 3$ og $\theta = \pi/2$, stemmer fortsatt formlene:
\textcolor{red}{r} = |z| = \sqrt{\textcolor{green}{x}^2 + \textcolor{purple}{y}^2} = \sqrt{\textcolor{green}{0}^2 + \textcolor{purple}{3}^2} = \sqrt{0 + 9} = 3 \\
\cos \textcolor{blue}{\theta} = \frac{\textcolor{green}{x}}{\textcolor{red}{r}} = \frac{0}{3} = 0 \quad \Rightarrow \quad \textcolor{blue}{\theta} = \cos^{-1} (0) = \frac{\pi}{2}Og, vips, har vi det komplekse tallet på polar form:
z = 3e^{\frac{\pi}{2}i}+ Eksempel 4: Hva blir $z = -3i$ på polar form?
Her har vi et kompleks tall på kartesisk form:
z = -3i
Hvis vi vil skrive tallet på polar form, trenger vi bare avstanden fra origo og vinkelen med $x$-aksen i det komplekse plan.
Siden $z$ er et negativt, imaginært tall, ligger det på den negative imaginære aksen. Vinkelen er $\theta = 3\pi/2$ (eller $-\pi/2$) og avstanden er $r = 3 fra origo.
Selv om du vet at $r = 3$ og $\theta = 3\pi/2$, stemmer fortsatt formlene:
\textcolor{red}{r} = |z| = \sqrt{\textcolor{green}{x}^2 + \textcolor{purple}{y}^2} = \sqrt{\textcolor{green}{0}^2 + (\textcolor{purple}{-3})^2} = \sqrt{0 + 9} = 3 \\
\cos \textcolor{blue}{\theta} = \frac{\textcolor{green}{x}}{\textcolor{red}{r}} = \frac{0}{3} = 0 \quad \Rightarrow \quad \textcolor{blue}{\theta} = \cos^{-1} (0) = \frac{\pi}{2}Merk at cosinus invers ikke kan gi andre svar enn mellom $-\frac{\pi/2}$ og $\frac{\pi}{2}$. Når vi vet vi skal ha et svar som ligger utenfor $\langle -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$, finner vi det ved å ta $2\pi – \theta$ som her blir $2\pi – \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$.
Og, vips, har vi det komplekse tallet på polar form:
z = 3e^{\frac{3\pi}{2}i}+ Eksempel 5: Hva blir $z= 1 + \sqrt{3}i$ på polar form?
Her har vi et kompleks tall på kartesisk form:
z = 1 + \sqrt{3}iHvis vi vil skrive tallet på polar form, trenger vi bare litt trigonometri.
Siden både $x = Re(z) > 0$ og $y = Im(z) > 0$, ligger $z$ i 1. kvadrant i det komplekse plan.
For å finne avstanden fra origo til $z$, kan vi bruke Pytagoras:
\textcolor{red}{r} = |z| = \sqrt{\textcolor{green}{x}^2 + \textcolor{purple}{y}^2} = \sqrt{\textcolor{green}{1}^2 + (\textcolor{purple}{\sqrt{3}})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2For å finne vinkelen kan du bruke akkurat den trigonometriske formelen du liker best av disse:
\begin{array}{lcl}
\cos \textcolor{blue}{\theta} = \frac{\textcolor{green}{x}}{\textcolor{red}{r}} = \frac{1}{2} & \quad \Rightarrow \quad & \textcolor{blue}{\theta} = \cos^{-1} \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{\pi}{3} \\
\sin \textcolor{blue}{\theta} = \frac{\textcolor{purple}{y}}{\textcolor{red}{r}} = \frac{\sqrt{3}}{2} &\quad \Rightarrow \quad & \textcolor{blue}{\theta} = \sin^{-1} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{\pi}{3}
\end{array}Og, vips, har vi det komplekse tallet på polar form:
z = 2e^{\frac{\pi}{3}i}+ Eksempel 6: Hva blir $z= 1 – \sqrt{3}i$ på polar form?
Her har vi et kompleks tall på kartesisk form:
z = 1 - \sqrt{3}iHvis vi vil skrive tallet på polar form, trenger vi bare litt trigonometri.
Siden både $x = Re(z) > 0$ og $y = Im(z) < 0$, ligger $z$ i 4. kvadrant i det komplekse plan.
For å finne avstanden fra origo til $z$, kan vi bruke Pytagoras:
\textcolor{red}{r} = |z| = \sqrt{\textcolor{green}{x}^2 + \textcolor{purple}{y}^2} = \sqrt{\textcolor{green}{1}^2 + (\textcolor{purple}{-\sqrt{3}})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2For å finne vinkelen kan du bruke akkurat den trigonometriske formelen du liker best av disse:
\begin{array}{lcl}
\cos \textcolor{blue}{\theta} = \frac{\textcolor{green}{x}}{\textcolor{red}{r}} = \frac{1}{2} & \quad \Rightarrow \quad & \textcolor{blue}{\theta} = \cos^{-1} \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{\pi}{3} \\
\sin \textcolor{blue}{\theta} = \frac{\textcolor{purple}{y}}{\textcolor{red}{r}} = \frac{-\sqrt{3}}{2} &\quad \Rightarrow \quad & \textcolor{blue}{\theta} = \sin^{-1} \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -\frac{\pi}{3}
\end{array}Legg merke til at hvis du bruker cosinus, får du positivt fortegn fordi $\cos \left( \theta \right) = \cos \left( – \theta \right)$.
Siden $z$ ligger i 4. kvadrant i det komplekse plan, vet vi at vinkelen må ligge mellom $0$ og $-\frac{\pi}{2}$ eller $\frac{2\pi}{3}$ og $2\pi$.
Og, vips, har vi det komplekse tallet på polar form:
z = 2e^{-\frac{\pi}{3}i} Hvis vi vil ha en positiv vinkel, kan vi bruke at $\theta = 2\pi – \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$:
z = 2e^{\frac{5\pi}{3}i}+ Eksempel 7: Hva blir $z= -1 + \sqrt{3}i$ på polar form?
Her har vi et kompleks tall på kartesisk form:
z = -1 + \sqrt{3}iHvis vi vil skrive tallet på polar form, trenger vi bare litt trigonometri.
Siden $x = Re(z) < 0$ og $y = Im(z) > 0$, ligger $z$ i 2. kvadrant i det komplekse plan.
For å finne avstanden fra origo til $z$, kan vi bruke Pytagoras:
\textcolor{red}{r} = |z| = \sqrt{\textcolor{green}{x}^2 + \textcolor{purple}{y}^2} = \sqrt{(\textcolor{green}{-1})^2 + (\textcolor{purple}{\sqrt{3}})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2For å finne vinkelen kan du bruke akkurat den trigonometriske formelen du liker best av disse:
\begin{array}{lcl}
\cos \textcolor{blue}{\theta} = \frac{\textcolor{green}{x}}{\textcolor{red}{r}} = \frac{-1}{2} & \quad \Rightarrow \quad & \textcolor{blue}{\theta} = \cos^{-1} \left(- \frac{1}{2} \right) = \frac{2\pi}{3} \\
\sin \textcolor{blue}{\theta} = \frac{\textcolor{purple}{y}}{\textcolor{red}{r}} = \frac{\sqrt{3}}{2} &\quad \Rightarrow \quad & \textcolor{blue}{\theta} = \sin^{-1} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{\pi}{3}
\end{array}Legg merke til at hvis du bruker sinus (eller tangens) får du en vinkel som ligger i 1. kvadrant fordi $\sin \left( \theta \right) = \sin \left( \pi – \theta \right)$ som gir $\sin(\frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Siden $z$ ligger i 2. kvadrant i det komplekse plan, vet vi at vinkelen må ligge mellom $\frac{\pi}{2}$ og $\pi$.
Og, vips, har vi det komplekse tallet på polar form:
z = 2e^{\frac{2\pi}{3}i}+ Eksempel 8: Hva blir $z= -1 – \sqrt{3}i$ på polar form?
Her har vi et kompleks tall på kartesisk form:
z = -1 - \sqrt{3}iHvis vi vil skrive tallet på polar form, trenger vi bare litt trigonometri.
Siden både $x = Re(z) < 0$ og $y = Im(z) < 0$, ligger $z$ i 3. kvadrant i det komplekse plan.
For å finne avstanden fra origo til $z$, kan vi bruke Pytagoras:
\textcolor{red}{r} = |z| = \sqrt{\textcolor{green}{x}^2 + \textcolor{purple}{y}^2} = \sqrt{(\textcolor{green}{-1})^2 + (\textcolor{purple}{-\sqrt{3}})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2For å finne vinkelen kan du bruke akkurat den trigonometriske formelen du liker best av disse:
\begin{array}{lcl}
\cos \textcolor{blue}{\theta} = \frac{\textcolor{green}{x}}{\textcolor{red}{r}} = \frac{-1}{2} & \quad \Rightarrow \quad & \textcolor{blue}{\theta} = \cos^{-1} \left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{2\pi}{3} \\
\sin \textcolor{blue}{\theta} = \frac{\textcolor{purple}{y}}{\textcolor{red}{r}} = \frac{-\sqrt{3}}{2} &\quad \Rightarrow \quad & \textcolor{blue}{\theta} = \sin^{-1} \left( \frac{-\sqrt{3}}{2} \right) = - \frac{\pi}{3}
\end{array}Legg merke til at vinkelen $\frac{2\pi}{3}$ ligger i 2. kvadrant og $-\frac{\pi}{3}$ ligger i 4. kvadrant. Men $z$ skal ligge i 3. kvadrant.
- Husk at $\sin \left( \theta \right) = \sin \left( \pi – \theta \right)$ som gir $\sin(-\frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{4\pi}{3}) = – \frac{\sqrt{3}}{2}$.
- Husk at $\cos \left( \theta \right) = \cos \left( – \theta \right)$ som gir $\cos(\frac{2\pi}{3}) = \cos(-\frac{2\pi}{3}) = – \frac{1}{2}$.
- Vinklene $\frac{4\pi}{3}$ og $-\frac{2\pi}{3}$ gir samme komplekse tall siden $-\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3}$.
Og, vips, vet vi at $\theta = \frac{4\pi}{3}$ (eller $\frac{2\pi}{3}$).
z = 2e^{\frac{4\pi}{3}i}+ Eksempel 9: Hva blir $z= 2e^{\pi i}$ på kartesisk form?
Her har vi et kompleks tall på polar form:
z = 2 e^{\pi i}Hvis vi bruker $e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ blir overgangen til kartesisk form lett:
z = 2 (\cos \pi + i \sin \pi) = -2