Vektorer: Skalarprodukt

Skalarproduktet mellom to vektorer:

\textcolor{red}{\vec{u}} \cdot \textcolor{blue}{\vec{v}} = \textcolor{red}{u_1} \textcolor{blue}{v_1} + \textcolor{red}{u_2} \textcolor{blue}{v_2} = | \textcolor{red}{\vec{u}}| |\textcolor{blue}{\vec{v}}| \cos \theta
  • Skalarprodukt kalles også prikkprodukt
  • $u_1$ og $u_2$ er koordinatene til $\vec{u} = [u_1,u_2]$. $v_1$ og $v_2$ er koordinatene til $\vec{v} = [v_1,v_2]$.
  • $|\vec{u}|$ er lengden til $\vec{u}$ og $|\vec{v}|$ er lengden til $\vec{v}$.
  • $\theta$ er vinkelen mellom vektoren $\vec{u}$ og $\vec{v}$

+ Skalarproduktet i rommet

Dersom vektorene er i tre dimensjoner, blir skalarproduktet nesten likt:

\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2 + \textcolor{red}{u_3 \cdot v_3} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos \theta

+ Eksempel 1: Regn ut skalarproduktet

Regn ut skalarproduktet til $\vec{u} = [3,1]$ og $\vec{v} = [1,2]$:

\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2 = 3 \cdot 1 + 1 \cdot 2 = 5

Og, vips, er vi ferdige.

+ Eksempel 2: Regn ut skalarproduktet mellom $\vec{v}$ og en enhetsvektor

Regn ut skalarproduktet mellom $\vec{v} = [2,3]$ og enhetsvektoren i $x$-retning:

\vec{v} \cdot \vec{i} = [\textcolor{red}{2},3] \cdot [\textcolor{red}{1},0] = \textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{red}{1} + 3 \cdot 0 = \textcolor{red}{2}

Regn ut skalarproduktet mellom $\vec{v} = [2,3]$ og enhetsvektoren i $y$-retning:

\vec{v} \cdot \vec{j} = [2, \textcolor{red}{3}] \cdot [0, \textcolor{red}{1}] = 2 \cdot 0 + \textcolor{red}{3} \cdot \textcolor{red}{1} = \textcolor{red}{3}

I begge tilfeller får vi hvor langt $\vec{v}$ går i retningen til enhetsvektoren.

Og, vips, er vi ferdige.

+ Eksempel 3: Regn ut skalarproduktet

Regn ut skalarproduktet til to vektorer når den ene vektoren har lengden $\sqrt{10}$ og den andre $\sqrt{5}$, og vinkelen mellom dem er 45$^{\circ}$:

\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos \theta = \sqrt{10} \cdot \sqrt{5} \cdot 45^{\circ} = 5

Og, vips, er vi ferdige.

+ Eksempel 4: Finn vinkelen mellom to vektorer

Regn ut vinkelen mellom $\vec{u} = [3,1]$ og $\vec{v} = [1,2]$.

Først finner vi lengdene til vektorene:

|\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10} \\
|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}

Og så kan vi sammenligne de to uttrykkene for skalarproduktet:

\begin{aligned}
& u_1v_1 + u_2v_2 = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos \textcolor{red}{\theta} \qquad | \cdot \frac{1}{|\vec{u}| |\vec{v}|} \\
\Rightarrow \qquad & \frac{u_1v_1 + u_2 v_2}{|\vec{u}| |\vec{v}|} = \cos \textcolor{red}{\theta} \\
\Rightarrow \qquad & \frac{3 \cdot 1 + 1 \cdot 2}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{5}} = \cos \textcolor{red}{\theta} \\
\Rightarrow \qquad & \frac{5}{\sqrt{50}} = \cos \textcolor{red}{\theta} \\
\end{aligned}

Nå kan vi finne vinkelen ved å bruke cosinus invers:

\textcolor{red}{\theta} = \cos^{-1} \left( \frac{5}{\sqrt{50}} \right) = 45^{\circ}

Og, vips, har vi vinkelen mellom to vektorer.

← Matematikk

↓ Oppgaver

→ Vektorprodukt