Vektorer: Hva er en vektor?

En skalar har bare størrelse.
Eksempler: temperatur, tid, antall, areal og banksaldo

En vektor har både størrelse og retning
Eksempler: kraft, hastighet og forflytning

Vektorer tegnes som piler:
– lengden til pilen representerer størrelsen til vektoren
– retningen til pilen representerer retningen til vektoren

+ Notasjon

En vektor kan skrives på mange måter:

Pil over: $\vec{v}$
Hatt over: $\hat{v}$
Strek over: $\bar{v}$
Fet skrift: $v$

På disse sidene bruker vi pil over symbolet til vektoren.

+ Like vektorer

Like vektorer er like lange og har samme retning, men de trenger ikke begynne og slutte samme sted.

+ Koordinatform

Du kan bruke koordinatene til en vektor for å beskrive den:

\vec{v} = [\textcolor{red}{v_x},\textcolor{blue}{v_y}]

Hvis vektoren er i rommet, ja, så tar vi bare med en dimensjon til:

\vec{v} = [\textcolor{red}{v_x},\textcolor{blue}{v_y},\textcolor{green}{v_z}]

PS: Noen bruker vanlige parenteser i stedet for firkant-parenteser, dvs. $\vec{v} = (v_{x}, v_{y})$ .

+ Lengden til en vektor

Når vi vil finne lengden til en vektor $\vec{v} = [v_{x}, v_{y}]$ , bruker vi Pytagoras:

v = |\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}

$v$ (uten pil over) er størrelsen til $\vec{v}$ uten retning
$| \vec{v} |$ betyr lengden til vektoren $\vec{v}$
Siden $v_{x}$ og $v_{y}$ er koordinatene til $\vec{v}$ , kan vi lage en trekant der de er katetene og hypotenusen er lengden til $\vec{v}$
Hvis vektoren har tre dimensjoner, dvs. $\vec{v} = [v_{x}, v_{y}, v_{z}]$ , ]utvider vi Pytagoras’ læresetning:

v = |\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}

+ Enhetsvektorer

En enhetsvektor har lengde 1.

Vanlige enhetsvektorer i planet:

$\vec{i} = [1, 0]$ i $x$ -retning
$\vec{j} = [0, 1]$ i $y$ -retning

Vanlige enhetsvektorer i rommet:

$\vec{i} = [1, 0, 0]$ i $x$ -retning
$\vec{j} = [0, 1, 0]$ i $y$ -retning
$\vec{k} = [0, 0, 1]$ i $z$ -retning

Enhetsvektor i samme retning som $\vec{v}$ :

\vec{e} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}

$| \vec{v} |$ er lengden til vektoren $\vec{v}$
$\vec{v}$ har lengde $| \vec{v} |$ . Når vi deler på lengden, får vi derfor noe som har lengde 1 og peker i samme retning som $\vec{v}$ .

+ Skalarmultiplikasjon

Når du multipliserer en vektor med et tall, f.eks. $k \vec{v}$ , endrer du lengden til vektoren. Hvis du multipliserer med et negativt tall, går vektoren i motsatt retning. :

På koordinatform:

k \vec{v} = k[v_x,v_y]=[kv_x,kv_y]

Eksempel der en vektor multipliseres med 2 og vi får en vektor som er dobbelt så lang i begge retninger:

2\cdot[1,3]=[2 \cdot 1,2 \cdot 3] = [2,6]

+ Vektoraddisjon

Når du legger sammen to vektorer, må du ta hensyn til både retning og lengde:

\textcolor{red}{\vec{u}} + \textcolor{blue}{\vec{v}} = \textcolor{black}{\vec{w}}

På koordinatform:

[u_x,u_y] + [v_x,v_y] = [u_x + v_x, u_y + v_y] = [w_x,w_y]

Eksempel:

[1,2] + [3,4] = [1 + 3, 2 + 4] = [4,6]