Projeksjonen av $\vec{v}$ på $\vec{u}$ kalles $\vec{v}_u$:
Skalarprojeksjonen: Lengden av projeksjonen med fortegn. Den kan vi finne med skalarproduktet:
|\vec{v}_u| = \vec{v} \cdot \vec{e}Vektorprojeksjonen: Lengde og retning til projeksjonen:
\vec{v}_u = |\vec{v}_u| \vec{e} = (\vec{v} \cdot \vec{e}) \vec{e}- $\vec{e} = \frac{\vec{u}}{|\vec{u}|}$ er enhetsvektoren i samme retning som $\vec{u}$
+ Eksempel 1: Finn skalar- og vektorprojeksjonen
Regn ut skalar- og vektorprojeksjonen av $\vec{v} = [2,3]$ på $\vec{u} = [4,0]$:
Først finner vi enhetsvektoren i samme retning som $\vec{u}$:
\vec{e} = \frac{\vec{u}}{|\vec{u}|} = \frac{[4,0]}{\sqrt{4^2 + 0^2}} = \frac{1}{4} \cdot[4,0] = [1,0]Skalarprojeksjonen av $\vec{v}$ på $\vec{u}$:
|\vec{v}_u| = \vec{v} \cdot \vec{e} = [2,3] \cdot [1,0] = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 0 = 2Lengden av projeksjonen er derfor 2 og peker i samme retning som $\vec{u}$.
Vektorprojeksjoen av $\vec{v}$ på $\vec{u}$:
\vec{v}_u = (\vec{v} \cdot \vec{e}) \vec{e} = 2 \cdot [1,0] = [2,0]Og, vips, er vi ferdige.
+ Eksempel 2: Finn skalar- og vektorprojeksjonen
Regn ut skalar- og vektorprojeksjonen av $\vec{v} = [-2,3]$ på $\vec{u} = [4,0]$:
Først finner vi enhetsvektoren i samme retning som $\vec{u}$:
\vec{e} = \frac{\vec{u}}{|\vec{u}|} = \frac{[4,0]}{\sqrt{4^2 + 0^2}} = \frac{1}{4} \cdot[4,0] = [1,0]Skalarprojeksjonen av $\vec{v}$ på $\vec{u}$:
|\vec{v}_u| = \vec{v} \cdot \vec{e} = [-2,3] \cdot [1,0] = (-2) \cdot 1 + 3 \cdot 0 = -2Lengden av projeksjonen er derfor 2 og peker i motsatt retning av $\vec{u}$.
Vektorprojeksjoen av $\vec{v}$ på $\vec{u}$:
\vec{v}_u = (\vec{v} \cdot \vec{e}) \vec{e} = (-2) \cdot [1,0] = [-2,0]Og, vips, er vi ferdige.