Alle vektorer i $xy$-planet kan deles opp i flere vektorer som går langs koordinataksene:
\vec{v} = \textcolor{blue}{\vec{v}_x} + \textcolor{red}{\vec{v}_y} = \textcolor{blue}{v_x \vec{i}} + \textcolor{red}{v_y \vec{j}}Dekomponering hvis du har retning og lengde på en vektor:
\vec{v} = \underbrace{\textcolor{blue}{v \cos \theta \; \vec{i}}}_{=\; \textcolor{blue}{\vec{v}_x}} + \underbrace{\textcolor{red}{v \sin \theta \; \vec{j}}}_{=\; \textcolor{red}{\vec{v}_y}}- $v = |\vec{v}|$ er lengden til vektoren $\vec{v}$
- $\vec{i}$ og $\vec{j}$ er enhetsvektorene i $x$- og $y$-retning
- Spesielt nyttig når du jobber med krefter og hastigheter i fysikk
+ Eksempel 1: Dekomponer en vektor gitt på koordinatform
Dekomponer vektoren $\vec{v} = [2,3]$:
\begin{aligned}
& \vec{v} = [2,3] = 2\vec{i} + 3\vec{j} \\
\Rightarrow \quad & \left\{
\begin{array}{l} \vec{v}_x = 2\vec{}i \\ \vec{v}_y = 3 \vec{j} \end{array} \right.
\end{aligned}Og, vips, er vi ferdige.
+ Eksempel 2: Dekomponer en vektor når du vet lengde og retning
En vektor har en lengd på 5 og en retning på 60$^o$ relativt $x$-aksen. Finn komponentene i $x$- og $y$-retning.
Først lager vi en arbeidstegning:
De tre vektorene kan settes sammen i en trekant slik at vi kan bruke trigonometri:
\begin{aligned}
\cos(\theta) & = \frac{\textcolor{blue}{\textnormal{hosliggendekatet}}}{\textnormal{hypotenus}} = \frac{\textcolor{blue}{v_x}}{v} \\
\Rightarrow \quad \textcolor{blue}{v_x} & = v \cos(\theta) \\
\Rightarrow \quad \textcolor{blue}{v_x} & = 5 \cos(60^o) \\
\Rightarrow \quad \textcolor{blue}{v_x} & \approx 2.5
\end{aligned}\begin{aligned}
\sin(\theta) & = \frac{\textcolor{red}{\textnormal{mostående katet}}}{\textnormal{hypotenus}} = \frac{\textcolor{red}{v_y}}{v} \\
\Rightarrow \quad \textcolor{red}{v_y} & = v \sin(\theta) \\
\Rightarrow \quad \textcolor{red}{v_y} & = 5 \sin(60^o) \\
\Rightarrow \quad \textcolor{red}{v_y} & \approx 4.33
\end{aligned}
Og, vips, er vi ferdige.
+ Eksempel 3: Finn hastighet horisontalt og vertikalt
Et eple kastes med en hastighet på 10m/s i en vinkel $30^{\circ}$ på horisontalplanet. Finn hastigheten horisontalt og vertikalt..
Først lager vi en arbeidstegning:
De tre vektorene kan settes sammen i en trekant slik at vi kan bruke trigonometri:
\begin{aligned}
\cos(\theta) & = \frac{\textcolor{blue}{\textnormal{hosliggendekatet}}}{\textnormal{hypotenus}} = \frac{\textcolor{blue}{v_x}}{v} \\
\Rightarrow \quad \textcolor{blue}{v_x} & = v \cos(\theta) \\
\Rightarrow \quad \textcolor{blue}{v_x} & = (10 \textnormal{m/s)} \cdot \cos(30^o) \\
\Rightarrow \quad \textcolor{blue}{v_x} & \approx 8.66 \textnormal{m/s}
\end{aligned}\begin{aligned}
\sin(\theta) & = \frac{\textcolor{red}{\textnormal{mostående katet}}}{\textnormal{hypotenus}} = \frac{\textcolor{red}{v_y}}{v} \\
\Rightarrow \quad \textcolor{red}{v_y} & = v \sin(\theta) \\
\Rightarrow \quad \textcolor{red}{v_y} & = (10 \textnormal{m/s}) \cdot \sin(30^o) \\
\Rightarrow \quad \textcolor{red}{v_y} & = 5 \textnormal{m/s}
\end{aligned}
Og, vips, er vi ferdige.