P-rekker er på formen:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\textcolor{red}{p}}}P-testen:
- Dersom $\textcolor{red}{p > 1}$ konvergerer rekken.
- Dersom $\textcolor{red}{p \le 1}$ divergerer rekken.
+ Hvorfor fungerer p-testen?
Når $\textcolor{red}{p \le 1}$, kan vi bruke divergenstesten:
\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^p} = \inftySiden grensen går mot uendelig, divergerer rekken.
Når $\textcolor{red}{p > 1}$ går grensen mot null, gir divergenstesten ingen konklusjon. Vi prøver integraltesten med $f(x) = \frac{1}{x^p}$:
\int_1^{\infty} f(x) dx
= \int_1^{\infty} \frac{1}{x^p} dx
= \int_1^{\infty} x^{-p} dx der vi har brukt potensregelen $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
Siden den øvre integralgrensen går mot uendelig, ser vi på grensen når $a$ går mot uendelig og setter øvre integralgrense lik $a$:
\int_1^{\infty} f(x) dx
= \lim_{a \to \infty} \int_1^a x^{-p} dx Integrerer polynomet:
\int_1^{\infty} f(x) dx
= \lim_{a \to \infty} \left[ \frac{1}{1-p} x^{1-p}\right]_1^a
= \lim_{a \to \infty} \left[ \frac{1}{(1-p) x^{-1+p} }\right]_1^ader vi har brukt potensregelen $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ igjen.
Setter inn grensene:
\int_1^{\infty} f(x) dx
= \lim_{a \to \infty} \left( \frac{1}{(1-p)a^{p-1}}\right) - \frac{1}{(1-p)} \\Siden $p > 1$, går den første brøken mot null når $a$ går mot uendelig:
\int_1^{\infty} f(x) dx
= - \frac{1}{(1-p)} \\Dermed ser vi at integralet konvergerer mot en verdi og ifølge integraltesten må rekken derfor konvergere.
+ Eksempel 1
Konvergerer rekken?
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}Dette er en p-rekke med $\textcolor{red}{p = 2}$:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\textcolor{red}{2}}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\textcolor{red}{p}}}Siden $\textcolor{red}{p = 2 > 1}$ konvergerer rekken.
PS: Vi kan også bruke integraltesten på denne.
+ Eksempel 2
Konvergerer rekken?
\sum_{n=1}^{\infty} n^{2}Dette er en p-rekke med $\textcolor{red}{p = -2}$:
\sum_{n = 1}^{\infty} n^2 = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^ {\textcolor{red}{-2}}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^ {\textcolor{red}{p}}}Siden $\textcolor{red}{p = -2 \le 1}$, divergerer rekken.
+ Eksempel 3
Konvergerer rekken?
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}Dette er en p-rekke med $\textcolor{red}{p = \frac{1}{2}}$:
\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^ {\textcolor{red}{\frac{1}{2}}}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^ {\textcolor{red}{p}}}Siden $\textcolor{red}{p = \frac{1}{2} \le 1}$, divergerer rekken.