Gitt rekken:
\sum_{n=1}^{\infty} a_n Finn en funksjon f(x) for x ≥ 1:
- f(n) = an
- f(x) er positiv, kontinuerlig og avtagende
- Regn ut integralet:
\int_1^{\infty} f(x) \; dxDersom integralet konvergerer, konvergerer rekken.
Dersom integralet går mot pluss eller minus uendelig, divergerer rekken.
+ Hva blir feilen?
Hvis rekken konvergerer, er feilen EN ved å avbryte summeringen etter N ledd:
0 \leq E_N \leq \int_N^{\infty} f(x) \; dx+ Eksempel 1
Konvergerer rekken?
\sum_{n=1}^{\infty} \frac1nBruker integraltesten:
\textnormal{Velger:} \quad f(x) = \frac1xRegner ut integralet:
\int_1^{\infty} f(x) \; dx = \int_1^{\infty} \frac1x \; dx
= \lim_{N \to \infty} \ln N - \ln 1 \to \infty
Siden integralet går mot uendelig, divergerer rekken.
+ Eksempel 2
Konvergerer rekken?
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}Bruker integraltesten:
\textnormal{Velger:} \quad f(x) = \frac{1}{x^2}Regner ut integralet:
\int_1^{\infty} f(x) \; dx = \int_1^{\infty} \frac{1}{x^2} \; dx
= \lim_{N \to \infty} \left[ - \frac1x \right]_1^N
= \lim_{N \to \infty} \left( - \frac1N - (-1) \right) = 1
Siden integralet konvergerer, konvergerer rekken.