Alle oppgaver
Alle oppgaver
Kartesisk formOppgaver: Komplekse tall
Velg type oppgaver:
Polar form
Komplekse planTips 1: Prøv selv før du sjekker fasit eller løsning. Hintene kan hjelpe deg på vei.
Tips 2: Husk at det finnes flere måter å løse samme oppgave.
Hva blir $z+w$ og $z-w$ når
z = 2 - 3i \\ w = 4 + i
Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
z + w = 6 - 2i \\ z - w = -2 -4i
Hint 1: Begge tall står på kartesisk form.
Hint 2: Legg sammen realdelen og imaginærdelen hver for seg.
Løsning: Siden tallene står på kartesisk form, kan vi samle og legge sammen realdelene og imaginærdelene:
\begin{aligned}
z + w & = (\textcolor{red}{2} - \textcolor{blue}{3} i) + (\textcolor{red}{4} \textcolor{blue}{+} i) \\
\Rightarrow \quad z + w &= \textcolor{red}{2} \textcolor{blue}{- 3} i + \textcolor{red}{4} \textcolor{blue}{+} i \\
\Rightarrow \quad z + w &= (\textcolor{red}{2 + 4}) + (\textcolor{blue}{-3 + 1})i \\
\Rightarrow \quad z + w &= \textcolor{red}{6} \textcolor{blue}{-2} i
\end{aligned}Det samme kan vi gjøre når vi trekker tallene fra hverandre:
\begin{aligned}
z - w & = (\textcolor{red}{2} - \textcolor{blue}{3} i) - (\textcolor{red}{4} \textcolor{blue}{+} i) \\
\Rightarrow \quad z - w &= \textcolor{red}{2} \textcolor{blue}{- 3} i \textcolor{red}{-4} \textcolor{blue}{-} i \\
\Rightarrow \quad z - w &= (\textcolor{red}{2 - 4}) + (\textcolor{blue}{-3 - 1})i \\
\Rightarrow \quad z - w &= \textcolor{red}{-2} \textcolor{blue}{- 4} i
\end{aligned}Video: Under produksjon
Hva blir $z+w$ og $z-w$ når
z = -2 + 5i \\ w = 2 - 7i
Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
\begin{aligned}
z + w &= - 2i \\
z - w &= -4 + 12i
\end{aligned}Hint 1: Begge tall står på kartesisk form.
Hint 2: Legg sammen realdelen og imaginærdelen hver for seg.
Løsning: Siden tallene står på kartesisk form, kan vi samle og legge sammen realdelene og imaginærdelene:
\begin{aligned}
z + w & = (\textcolor{red}{-2} + \textcolor{blue}{5} i) + (\textcolor{red}{2} \textcolor{blue}{-7} i) \\
\Rightarrow \quad z + w &= \textcolor{red}{-2} \textcolor{blue}{+5} i + \textcolor{red}{2} \textcolor{blue}{-7} i \\
\Rightarrow \quad z + w &= (\textcolor{red}{-2 + 2}) + (\textcolor{blue}{5 - 7})i \\
\Rightarrow \quad z + w &= \textcolor{blue}{-2} i
\end{aligned}Det samme kan vi gjøre når vi trekker tallene fra hverandre:
\begin{aligned}
z - w & = (\textcolor{red}{-2} \textcolor{blue}{+5} i) - (\textcolor{red}{2} \textcolor{blue}{-7} i) \\
\Rightarrow \quad z - w &= \textcolor{red}{-2} \textcolor{blue}{+5} i \textcolor{red}{-2} \textcolor{blue}{+7} i \\
\Rightarrow \quad z - w &= (\textcolor{red}{-2 - 2}) + (\textcolor{blue}{5 +7})i \\
\Rightarrow \quad z - w &= \textcolor{red}{-4} \textcolor{blue}{+ 12} i
\end{aligned}Video: Under produksjon
Regn ut:
2i \cdot (-i)
Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
2
Hint 1: $i$ er imaginær enhet.
Hint 2: Du kan regne med $i$ omtrent som alle andre tall, men husk at $i^2 = -1$.
Løsning:
2i \cdot (-i) = -2i^2 = -2 (-1) = 2
Video: Under produksjon
Hva blir $z \cdot w$ når
z = -2 + i \\ w = 3 - 3i
Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
z \cdot w = -3 + 9i
Hint 1: Begge tall står på kartesisk form.
Hint 2: Du kan regne med den imaginære enheten $i$ omtrent som med andre tall, men husk at $i^2 = -1$.
Løsning: Parentesene kan multipliseres sammen på vanlig måte:
\begin{aligned}
z \cdot w & = (\textcolor{red}{-2} \textcolor{blue}{+ i}) \cdot (\textcolor{green}{3} \textcolor{purple}{-3} i) \\
\Rightarrow \quad z \cdot w &= (\textcolor{red}{-2}) \cdot \textcolor{green}{3} + (\textcolor{red}{-2}) \cdot (\textcolor{purple}{-3i}) + \textcolor{blue}{i} \cdot \textcolor{red}{3} + \textcolor{blue}{i} \cdot (\textcolor{purple}{-3i}) \\
\Rightarrow \quad z \cdot w &= -6 + 6i + 3i - 3i^2
\end{aligned}Husk at $i^2 = -1$:
\begin{aligned}
\Rightarrow \quad z \cdot w &= -6 + 6i + 3i - 3(-1) \\
\Rightarrow \quad z \cdot w &= -6 + 6i + 3i + 3 \\
\Rightarrow \quad z \cdot w &= -3 + 9i
\end{aligned}Video: Under produksjon
Skriv følgende tall på kartesisk form:
\frac{2 + i}{1 - i} Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
\frac{2+i}{1-i} = \frac{1}{2} + \frac{3}{2}iHint 1: Når du deler et komplekst tall på et annet og begge er på kartesisk form, multipliserer du både teller og nevner med den kompleks konjugerte av nevneren.
Hint 2: Den kompleks konjugerte av nevneren er $\overline{1-i} = 1 + i$.
Løsning: Multipliser både teller og nevner med den kompleks konjugerte av nevneren:
\frac{2+i}{1-i} = \frac{(2+i) \cdot (1+i)}{(1-i) \cdot (1+i)} = \frac{2 + 2i + i + i^2}{1^2 + 1^2} = \frac{1 + 3i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{3}{2}iVideo: Under produksjon
Skriv følgende tall på kartesisk form:
\frac{2 + i}{i} Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
\frac{2+i}{i} = 1 - 2iHint 1: Når du deler et komplekst tall på et annet og begge er på kartesisk form, multipliserer du både teller og nevner med den kompleks konjugerte av nevneren.
Hint 2: Den kompleks konjugerte av nevneren er $\overline{i} = – i$.
Løsning: Multipliser både teller og nevner med den kompleks konjugerte av nevneren:
\frac{2+i}{i} = \frac{(2+i) \cdot (-i)}{i \cdot (-i)} = \frac{-2i - i^2}{0^2 + 1^2} = \frac{1 - 2i}{1} = 1 - 2iVideo: Under produksjon
Regn ut $z \cdot w$ når:
z = 2e^{3i} \\ w = 4e^{-2i}Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
z \cdot w = 8 e^i
Hint 1: Begge tall står på polar form.
Hint 2: Bruk vanlige potensregler som $a^x \cdot a^y = a^{x+y}$.
Løsning: Bruk vanlige potensregler:
z \cdot w = 2e^{3i} \cdot 4e^{-2i} = 2 \cdot 4 e^{3i - 2i} = 8e^iVideo: Under produksjon
Regn ut $\frac{z}{w}$ når:
z = 6e^{3i} \\ w = 2e^{-2i}Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
\frac{z}{w} = 3 e^{5i}Hint 1: Begge tall står på polar form.
Hint 2: Bruk vanlige potensregler som $\frac{1}{a^x} = a^{-x}$ og $a^x \cdot a^y = a^{x+y}$.
Løsning: Bruk vanlige potensregler:
\frac{z}{w} = \frac{6e^{3i}}{2e^{-2i}} = \frac{6e^{3i}e^{2i}}{2} = 3 e^{5i}Video: Under produksjon
Flere oppgaver kommer…