Oppgaver: Egenverdiproblemer

Velg type oppgaver:
Alle oppgaver
Alle oppgaver
Egenverdier og egenvektorer
Markov-kjeder

Antall oppgaver:

Tips 1: Prøv selv før du sjekker fasit eller løsning. Hintene kan hjelpe deg på vei.
Tips 2: Husk at det finnes flere måter å løse samme oppgave.

Oppgave ev01:

Er $\vec{x}$ en egenvektor for $A$? Finn i så fall tilhørende egenverdi.

\vec{x} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \right), \quad A = \left( \begin{array}{cc} 1 & 4 \\ -4 & -7 \end{array} \right)

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit: Ja, $\vec{x}$ er en egenvektor for $A$ og egenverdien er -3.

Hint 1: Dersom $x$ er en egenvektor, er: 

A\vec{x} = \lambda \vec{x}

der $\lambda$ er en konstant.

Hint 2: Bruk matrisemultiplikasjon til å regne ut $A \vec{x}$. Er resultatet en vektor som er parallell med $\vec{x}$, dvs. en konstant multiplisert med $\vec{x}$? I så fall er konstanten en egenverdi for $\vec{x}$

Løsning:

Bruk matrisemultiplikasjon til å regne ut $A \vec{x}$:

\begin{aligned}
A\vec{x} &= \left( \begin{array}{cc} \textcolor{red}{1} & \textcolor{blue}{4} \\ \textcolor{red}{-4} & \textcolor{blue}{-7} \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{-1} \end{array} \right) \\
\Rightarrow \qquad A \vec{x}
& = \left( \begin{array}{c} \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{red}{1} + \textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{blue}{(-1)} \\ \textcolor{red}{(-4)} \cdot \textcolor{red}{1} + \textcolor{blue}{(-7)} \cdot \textcolor{blue}{(-1)} \end{array} \right) \\
\Rightarrow \qquad A \vec{x}
& = \left( \begin{array}{c} -3 \\ 3 \end{array} \right) \\
\Rightarrow \qquad A \vec{x} 
& = (-3) \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \right) \\
\Rightarrow \qquad A \vec{x} 
& = (-3) \vec{x}
\end{aligned}

Siden $A\vec{x} = \lambda \vec{x}$ der $\lambda = -3$ er en konstant, er $\vec{x}$ en egenvektor til $A$ og egenverdien er $\lambda = -3$.

Video: Under produksjon

Oppgave ev02:

Er $\vec{x}$ en egenvektor for $A$? Finn i så fall tilhørende egenverdi.

\vec{x} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right), \quad A = \left( \begin{array}{cc} 1 & 4 \\ -4 & -7 \end{array} \right)

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit: Nei, $\vec{x}$ er ikke en egenvektor for $A$.

Hint 1: Dersom $x$ er en egenvektor, er: 

A\vec{x} = \lambda \vec{x}

der $\lambda$ er en konstant.

Hint 2: Bruk matrisemultiplikasjon til å regne ut $A \vec{x}$. Er resultatet en vektor som er parallell med $\vec{x}$, dvs. en konstant multiplisert med $\vec{x}$? I så fall er konstanten en egenverdi for $\vec{x}$

Løsning:

Bruk matrisemultiplikasjon til å regne ut $A \vec{x}$:

\begin{aligned}
A\vec{x} &= \left( \begin{array}{cc} \textcolor{red}{1} & \textcolor{blue}{4} \\ \textcolor{red}{-4} & \textcolor{blue}{-7} \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{2} \end{array} \right) \\
\Rightarrow \qquad A \vec{x}
& = \left( \begin{array}{c} \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{red}{1} + \textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{blue}{2} \\ \textcolor{red}{(-4)} \cdot \textcolor{red}{1} + \textcolor{blue}{(-7)} \cdot \textcolor{blue}{2} \end{array} \right) \\
\Rightarrow \qquad A \vec{x}
& = \left( \begin{array}{c} 9 \\ -18 \end{array} \right) 
\end{aligned}

Nå må vi prøve å finne en konstant $\lambda$ slik at $A\vec{x} = \lambda \vec{x}$, dvs.

\lambda \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 9 \\ -18 \end{array} \right) 
\quad \Rightarrow \quad
\begin{array}{cc} \lambda = 9 \\ 2\lambda = -18\end{array}

Det er umulig å finne en konstant som fungerer for begge ligningene.

$\vec{x}$ er derfor ikke en egenvektor til $A$.

Video: Under produksjon

Oppgave ev03:

Finn egenverdiene og egenvektorene til: 

A = \left( \begin{array}{cc} -2 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} \right)

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit: $A$ har to egenverdier med hver sin egenvektor:

\lambda_1 = -3 \quad \textnormal{gir} \quad \vec{v}_1 = \left( \begin{array}{c} -4 \\ 1 \end{array} \right) \\
\lambda_2 = 2 \quad \textnormal{gir} \quad \vec{v}_2 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)

Hint 1: Egenverdiene $\lambda$ finner vi ved å løse den karakteristiske ligningen: 

\det(A - \lambda I) = 0

der $I$ er identitetsmatrisen og du må regne ut determinanten til $A – \lambda I$.

Hint 2: For hver egenverdi $\lambda_n$ finner vi en egenvektor $\vec{v}_n$ ved å løse $(A-\lambda_n I) \vec{v}_n = 0$. Bruk gjerne radreduksjon på den utvidete matrisen.

Løsning:

+ Steg 1: Finn egenverdiene

Finner egenverdiene $\lambda$ ved å løse den karakteristiske ligningen:

\begin{aligned}
& \det(A - \lambda I) = 0 \\
\Rightarrow \qquad 
& \left| \begin{array}{ccc} -2 - \lambda & 4 \\ 1 & 1-\lambda \end{array} \right| = 0 \\
\Rightarrow \qquad 
& (-2 - \lambda)(1 - \lambda) - 4 \cdot 1= 0 \\
%\Rightarrow \qquad 
%& (-2) \cdot 1 + (-2) \cdot (-\lambda) + (-\lambda) \cdot 1 + (-\lambda)^2 - 4 = 0 \\
\Rightarrow \qquad 
& (-2 + 2\lambda - \lambda + \lambda^2) - 4 = 0 \\
\Rightarrow \qquad 
&  \lambda^2 + \lambda - 6 = 0 \\
\end{aligned}

Bruker andregradsformelen:

\begin{aligned}
& \lambda = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} \\
\Rightarrow \qquad & 
\lambda = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} \\
\Rightarrow \qquad &
\lambda_1 = \frac{-1 - 5}{2} = -3 \quad \textnormal{ og } \quad
\lambda_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2
\end{aligned}

Sjekker at summen av hoveddiagonalen i $A$ er lik summen av egenverdier:

\begin{aligned}
& \textnormal{Summen av hoveddiagonalen i } A: \quad &&-2 + 1 = -1 \\
& \textnormal{Summen av egenverdier for } A: &&\lambda_1 + \lambda_2 = -3 + 2 = -1
\end{aligned}

ok

+ Steg 2a: Finn egenvektoren til $\lambda_1 = -3$

For å finne egenvektoren ($\vec{v}_1$) til egenverdien $\lambda_1 = -3$ må vi løse:

(A - \lambda_1 I) \vec{v}_1 = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad
\left( \begin{array}{cc} -2-\lambda_1 & 4 \\ 1 & 1-\lambda_1 \end{array} \right)
\left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \end{array} \right) = 
\left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right)

Løser ved å bruke radoperasjoner på den utvidete matrisen:

\left( \begin{array}{cc|c} -2 - \lambda_1 & 4 & 0 \\ 1 & 1-\lambda_1 & 0 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{cc|c} 1 & 4 & 0 \\ 1 & 4 & 0 \end{array} \right) \\
\overset{R_2 -R_1 \to R_2}{\sim}
\left( \begin{array}{cc|c} 1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)

Siden andre kolonne mangler ledende ener, lar vi $v_2$ være en fri variabel. Den første raden tilsvarer:

v_1 + 4v_2 = 0 \quad \Rightarrow \quad v_1 = - 4v_2

Setter den frie variabelen lik $t$, dvs. $v_2 = t$:

\vec{v}_1 = \left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \end{array} \right) = 
\left( \begin{array}{c} -4 \\ 1 \end{array} \right) t

Velger $t = 1$:

\vec{v}_1 = \left( \begin{array}{c} -4 \\ 1 \end{array} \right)

Sjekker om $A\vec{v}_1 = \lambda_1 \vec{v}_1$ ved hjelp av matrisemultiplikasjon:

\begin{aligned}
& A\vec{v}_1 = \left( \begin{array}{cc} -2 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} -4 \\ 1 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} (-2) \cdot (-4) + 4 \cdot 1 \\ 1 \cdot (-4) + 1 \cdot 1 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} 12 \\ -3 \end{array} \right) \\
& \lambda_1 \vec{v}_1
= (-3) \left( \begin{array}{c} -4 \\ 1 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} 12 \\ -3 \end{array} \right)
\end{aligned}

ok.

+ Steg 2b: Finn egenvektoren til $\lambda_2 = 2$

For å finne egenvektoren ($\vec{v}_2$) til egenverdien $\lambda_2 = 2$ må vi løse:

(A - \lambda_2 I) \vec{v}_1 = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad
\left( \begin{array}{cc} -2-\lambda_2 & 4 \\ 1 & 1-\lambda_2 \end{array} \right)
\left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \end{array} \right) = 
\left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right)

Løser ved å bruke radoperasjoner på den utvidete matrisen:

\left( \begin{array}{cc|c} -2 - \lambda_2 & 4 & 0 \\ 1 & 1-\lambda_2 & 0 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{cc|c} -4 & 4 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \end{array} \right) \\
\overset{R_1  \leftrightarrow R_1}{\sim}
\left( \begin{array}{cc|c} 1 & -1 & 0 \\ -4 & 4 & 0 \end{array} \right)
\overset{R_2 +4R_1 \to R_2}{\sim}
\left( \begin{array}{cc|c} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)

Siden andre kolonne mangler ledende ener, lar vi $v_2$ være en fri variabel. Den første raden tilsvarer:

v_1 - v_2 = 0 \quad \Rightarrow \quad v_1 = v_2

Setter den frie variabelen lik $t$, dvs. $v_2 = t$:

\vec{v}_2 = \left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \end{array} \right) = 
\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right) t

Velger $t = 1$:

\vec{v}_2 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)

Sjekker om $A\vec{v}_2 = \lambda_2 \vec{v}_2$ ved hjelp av matrisemultiplikasjon:

\begin{aligned}
& A\vec{v}_2 = \left( \begin{array}{cc} -2 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} (-2) \cdot 1 + 4 \cdot 1 \\ 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \end{array} \right) \\
& \lambda_2 \vec{v}_2
= 2 \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \end{array} \right)
\end{aligned}

ok.

Video: Under produksjon

Oppgave mk01:

Er $A$ en gyldig overgangsmatrise i en Markov-kjede?

A = \left( \begin{array}{cc} 0.4 & 0.3 \\ 0.6 & 0.5 \end{array} \right)

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit: Nei, $A$ er ikke en gyldig overgangsmatrise for en Markovkjeder fordi summen av andre kolonne ikke er 1.

Hint 1: En Markov-kjede er en følge av tilstander der hver tilstand avhenger av forrige tilstand:

\vec{x}_{k+1} = A \vec{x}_k

Hint 2: En gyldig overgangsmatrise har to krav:
1. Alle elementene i matrisen er ikke-negative
2. Summen av elementene i hver kolonne er 1

Løsning:

Sjekker kravene for en gyldig overgangsmatrise for en Markov-kjede:

  1. $A$ er en kvadratisk matrise
    ok
  2. Alle elementene i matrisen er ikke-negative
    ok
  3. Summen av elementene i hver kolonne er 1
    0.4 + 0.6 = 1 ok
    0.3 + 0.5 = 0.9 ikke ok

$A$ er ikke en gyldig overgangsmatrise.

Video: Under produksjon

Oppgave mk02:

Er $A$ en gyldig overgangsmatrise i en Markov-kjede?

A = \left( \begin{array}{cc} 0.4 & 1.1 \\ 0.6 & -0.1 \end{array} \right)

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit: Nei, $A$ er ikke en gyldig overgangsmatrise for en Markovkjeder fordi et av elementene er negativ.

Hint 1: En Markov-kjede er en følge av tilstander der hver tilstand avhenger av forrige tilstand:

\vec{x}_{k+1} = A \vec{x}_k

Hint 2: En gyldig overgangsmatrise har to krav:
1. Alle elementene i matrisen er ikke-negative
2. Summen av elementene i hver kolonne er 1

Løsning:

Sjekker kravene for en gyldig overgangsmatrise for en Markov-kjede:

  1. $A$ er en kvadratisk matrise
    ok
  2. Alle elementene i matrisen er ikke-negative
    ikke ok
  3. Summen av elementene i hver kolonne er 1
    0.4 + 0.6 = 1 ok
    1.1 + (-0.1) = 1 ok

$A$ er ikke en gyldig overgangsmatrise fordi den inneholder et negativt element.

Video: Under produksjon

Oppgave mk03:

Er $A$ en gyldig overgangsmatrise i en Markov-kjede?

A = \left( \begin{array}{ccc} 0.4 & 1 & 0.5 \\ 0.6 & 0 & 0.2 \\ 0  & 0 & 0.3 \end{array} \right)

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit: Ja, $A$ er ikke en gyldig overgangsmatrise for en Markovkjeder.

Hint 1: En Markov-kjede er en følge av tilstander der hver tilstand avhenger av forrige tilstand:

\vec{x}_{k+1} = A \vec{x}_k

Hint 2: En gyldig overgangsmatrise har to krav:
1. Alle elementene i matrisen er ikke-negative
2. Summen av elementene i hver kolonne er 1

Løsning:

Sjekker kravene for en gyldig overgangsmatrise for en Markov-kjede:

  1. $A$ er en kvadratisk matrise
    ok
  2. Alle elementene i matrisen er ikke-negative
    ok
  3. Summen av elementene i hver kolonne er 1
    0.4 + 0.6 + 0 = 1 ok
    1 + 0 + 0 = 1 ok
    0.5 + 0.2 + 0.3 = 1 ok

$A$ er en gyldig overgangsmatrise fordi den tilfredsstiller alle kravene.

Video: Under produksjon

Oppgave mk04:

Hvis det er regn i dag, er det 70% sannsynlighet for regn i morgen og 30% sannsynlighet for sol i morgen. Hvis det er sol i dag, er det 60% sannsynlighet for sol i morgen og 40% sannsynlighet for regn. Sett opp overgangsmatrisen for Markov-kjeden.

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit: Overgangsmatrisen er:

\left( \begin{array}{cc} 0.7 & 0.4 \\ 0.3 & 0.6 \end{array} \right) 
\quad \textnormal{eller} \quad
\left( \begin{array}{cc} 0.6 & 0.3 \\ 0.4 & 0.7 \end{array} \right)

Hint 1: En Markov-kjede er en følge av tilstander der hver tilstand avhenger av forrige tilstand:

\vec{x}_{k+1} = A \vec{x}_k

Hint 2: Hvis du kan velge ett av to alternativer, og neste alternativ du velger avhenger av hva du valgte sist, inneholder elementene i overgangsmatrisen $A$ sannsynligheten for de forskjellige overgangene:

A = \left( \begin{array}{cc} 
\textnormal{alt. 1 $\to$ alt. 1} & \textnormal{alt. 2 $\to$ alt. 1} \\
\textnormal{alt. 1 $\to$ alt. 2} & \textnormal{alt. 2 $\to$ alt. 2} \\
\end{array} \right)

Løsning:

Overgangsmatrisen $A$ inneholder sannsynligheten for overgangen mellom de to alternativene:

A = \left( \begin{array}{cc} 
\textnormal{alt. 1 $\to$ alt. 1} & \textnormal{alt. 2 $\to$ alt. 1} \\
\textnormal{alt. 1 $\to$ alt. 2} & \textnormal{alt. 2 $\to$ alt. 2} \\
\end{array} \right)

Hvis alternativ 1 er regn og alternativ 2 er sol, får vi:

A = \left( \begin{array}{cc} 
\textnormal{regn $\to$ regn} & \textnormal{sol $\to$ regn} \\
\textnormal{regn $\to$ sol} & \textnormal{sol $\to$ sol} \\
\end{array} \right)
= \left( \begin{array}{cc} 0.7 & 0.4 \\ 0.3 & 0.6 \end{array} \right)

Hvis du vil, kan du la alternativ 1 være sol og alternativ 2 være regn:

A = \left( \begin{array}{cc} 
\textnormal{sol $\to$ sol} & \textnormal{regn $\to$ sol} \\
\textnormal{sol $\to$ regn} & \textnormal{regn $\to$ regn} \\
\end{array} \right)
= \left( \begin{array}{cc} 0.6 & 0.3 \\ 0.4 & 0.7 \end{array} \right)

Begge er gyldige overgangsmatriser for problemstillingen. Husk bare å tolke svaret ditt ut fra hvordan du satte opp problemet.

Video: Under produksjon

Oppgave mk05:

Finn tilstandsvektoren for en Markov-kjede ved tidspunkt 1 og 2, når du vet tilstandsvektoren ved start, $\vec{x}_0$, og overgangsmatrisen, $A$, for Markov-kjeden:

\vec{x}_0 = \left( \begin{array}{c} 0.4 \\ 0.6 \end{array} \right), \qquad
A = \left( \begin{array}{cc} 0.3 & 0.8 \\ 0.7 & 0.2 \end{array} \right)

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

\vec{x}_1 = \left( \begin{array}{c} 0.6 \\ 0.4 \end{array} \right), \quad 
\vec{x}_2 = \left( \begin{array}{c} 0.5 \\ 0.5 \end{array} \right)

Hint 1: En Markov-kjede er en følge av tilstander der hver tilstand avhenger av forrige tilstand:

\vec{x}_{k+1} = A \vec{x}_k

Hint 2: Du finner en tilstandsvektor ved å multiplisere matrisen $A$ med tilstandsvektoren ved forrige tidspunkt.

Løsning: En Markov-kjede er en følge av tilstander der hver tilstand avhenger av forrige tilstand:

\vec{x}_{k+1} = A \vec{x}_k

Vi kan bruke matrisemultiplikasjon for å neste tilstand.

Setter $k = 0$ for å finne $\vec{x}_1$:

\begin{aligned}
& \vec{x}_1 = A \vec{x}_0 \\
\Rightarrow \quad & \vec{x}_1 =  \left( \begin{array}{cc} 0.3 & 0.8 \\ 0.7 & 0.2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0.4 \\ 0.6 \end{array} \right) \\
\Rightarrow \quad & \vec{x}_1
= \left( \begin{array}{c} 0.3 \cdot 0.4 + 0.8 \cdot 0.6 \\ 0.7 \cdot 0.4 + 0.2 \cdot 0.6 \end{array} \right) \\
\Rightarrow \quad & \vec{x}_1
= \left( \begin{array}{c} 0.6 \\ 0.4 \end{array} \right) 
\end{aligned}

Setter $k = 1$ for å finne $\vec{x}_2$:

\begin{aligned}
& \vec{x}_2 = A \vec{x}_1 \\
\Rightarrow \quad & \vec{x}_2 =  \left( \begin{array}{cc} 0.3 & 0.8 \\ 0.7 & 0.2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0.6 \\ 0.4 \end{array} \right) \\
\Rightarrow \quad & \vec{x}_2
= \left( \begin{array}{c} 0.3 \cdot 0.6 + 0.8 \cdot 0.4 \\ 0.7 \cdot 0.6 + 0.2 \cdot 0.4 \end{array} \right) \\
\Rightarrow \quad & \vec{x}_2
= \left( \begin{array}{c} 0.5 \\ 0.5 \end{array} \right) 
\end{aligned}

Husk at summen av elementene i en tilstandsvektor skal være 1. Dersom du får noe annet enn 1, har du regnet feil.

Video: Under produksjon

Oppgave mk06:

Finn den generelle løsningen til Markov-kjeden med overgangsmatrise:

A = \left( \begin{array}{cc} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{array} \right)

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit: Den generelle løsningen til Markov-kjeden:

\vec{x}_k = c_1 \left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}\right) 
+ c_2 \cdot 0.5^k \left( \!\!\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \!\!\right)

Vær oppmerksom på at løsningen kan skrives på flere måter. Hvis du har fått noe annet, kan det tenkes du har valgt en annen $t$ i utregningen av egenvektorene.

Hint 1: Den generelle løsningen til en Markov-kjede er:

\vec{x}_k = c_1 \lambda_1^k \vec{v}_1 + c_2 \lambda_2^k \vec{v}_2 + \cdots + c_n \lambda_n^k \vec{v}_n

der $\lambda_i$ er egenverdien med tilhørende egenvektor $\vec{v}_i$.

Hint 2: For å finne den generelle løsningen, må du finne egenverdiene og egenvektorene til $A$.

Løsning:

+ Steg 1: Sjekk overgangsmatrisen

Sjekk at alle elementene i overgangsmatrisen  er ikke-negative og kolonnesummene er lik 1:

\begin{aligned}
& \textnormal{Alle elementer i A} \ge 0 \textnormal{ ok} \\
& \textnormal{Kolonne 1:} \quad 0.8 + 0.2 = 1 \textnormal{ ok}  \\
& \textnormal{Kolonne 2:} \quad 0.3 + 0.7 = 1 \textnormal{ ok}  
\end{aligned}

ok

+ Steg 2: Finn egenverdiene

Finner egenverdiene $\lambda$ ved å løse den karakteristiske ligningen:

\begin{aligned}
& \det(A - \lambda I) = 0 \\
\Rightarrow \qquad 
& \left| \begin{array}{ccc} 0.8 - \lambda & 0.3 \\ 0.2 & 0.7-\lambda \end{array} \right| = 0 \\
\Rightarrow \qquad 
& (0.8 - \lambda)(0.7 - \lambda) - 0.3 \cdot 0.2 = 0 \\
\Rightarrow \qquad 
& (0.8 \cdot 0.7 - 0.8\lambda - 0.7\lambda + \lambda^2) - 0.06 = 0 \\
\Rightarrow \qquad 
&  \lambda^2 - 1.5 \lambda + 0.5 = 0 
\end{aligned}

Bruker andregradsformelen:

\begin{aligned}
& \lambda = \frac{-(-1.5) \pm \sqrt{(-1.5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0.5}}{2 \cdot 1} \\
\Rightarrow \qquad & 
\lambda = \frac{1.5 \pm \sqrt{0.25}}{2} \\
\Rightarrow \qquad & 
\lambda = \frac{1.5 \pm 0.5}{2} \\
\Rightarrow \qquad &
\lambda_1 = \frac{1.5 + 0.5}{2} = 1 \quad \textnormal{ og } \quad
\lambda_2 = \frac{1.5 - 0.5}{2} = 0.5
\end{aligned}

Sjekker at summen av hoveddiagonalen i $A$ er lik summen av egenverdier:

\begin{aligned}
& \textnormal{Summen av hoveddiagonalen i } A: \quad && 0.8 + 0.7 = 1.5 \\
& \textnormal{Summen av egenverdier for } A: &&\lambda_1 + \lambda_2 = 1 + 0.5 = 1.5
\end{aligned}

ok

+ Steg 3a: Finn egenvektoren til $\lambda_1 = 1$

Løser ved å bruke radoperasjoner på den utvidete matrisen til $(A – \lambda_1I) \vec{v}_1 = 0$:

\left( \begin{array}{cc|c} 0.8 - \lambda_1 & 0.3 & 0 \\ 0.2 & 0.7-\lambda_1 & 0 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{cc|c} -0.2 & 0.3 & 0 \\ 0.2 & -0.3 & 0 \end{array} \right) \\
\overset{R_2 +R_1 \to R_2}{\sim}
\left( \begin{array}{cc|c} -0.2 & 0.3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)
\overset{-5R_1 \to R_1}{\sim}
\left( \begin{array}{cc|c} 1 & -1.5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)

Siden andre kolonne mangler ledende ener, lar vi $v_2 = t$ være en fri variabel. Første rad gir $v_1 – 1.5v_2 = 0$:

\vec{v}_1 = \left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \end{array} \right) = 
\left( \begin{array}{c} 1.5 \\ 1 \end{array} \right) t 
\overset{\textnormal{velger } t = 2}{=}
\left( \begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array} \right)

Sjekker om $A\vec{v}_1 = \lambda_1 \vec{v}_1$ ved hjelp av matrisemultiplikasjon:

\begin{aligned}
& A\vec{v}_1 = \left( \begin{array}{cc} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} 0.8 \cdot 3 + 0.3 \cdot 2  \\ 0.2 \cdot 3 + 0.7 \cdot 2 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array} \right) \\
& \lambda_1 \vec{v}_1
= 1 \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array} \right)
\end{aligned}

ok.

+ Steg 3b: Finn egenvektoren til $\lambda_2 = 0.5$

Løser ved å bruke radoperasjoner på den utvidete matrisen til $(A – \lambda_2I) \vec{v}_2 = 0$:

\left( \begin{array}{cc|c} 0.8 - \lambda_2 & 0.3 & 0 \\ 0.2 & 0.7-\lambda_2 & 0 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{cc|c} 0.3 & 0.3 & 0 \\ 0.2 & 0.2 & 0 \end{array} \right) \\
\overset{R_1/0.3 \to R_1}{\sim}
\left( \begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 0 \\ 0.2 & 0.2 & 0 \end{array} \right)
\overset{R_2 - 0.2R_1 \to R_2}{\sim}
\left( \begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)

Siden andre kolonne mangler ledende ener, lar vi $v_2 = t$ være en fri variabel. Første rad gir $v_1 + v_2 = 0$:

\vec{v}_1 = \left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \end{array} \right) = 
\left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \right) t 
\overset{\textnormal{velger } t = 1}{=}
\left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \right)

Sjekker om $A\vec{v}_2 = \lambda_2 \vec{v}_2$ ved hjelp av matrisemultiplikasjon:

\begin{aligned}
& A\vec{v}_1 = \left( \begin{array}{cc} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} 0.8 \cdot (-1) + 0.3 \cdot 1  \\ 0.2 \cdot (-1) + 0.7 \cdot 1 \end{array} \right)
= \left( \!\!\! \begin{array}{c} -0.5 \\ 0.5 \end{array} \!\!\!\right) \\
& \lambda_1 \vec{v}_1
= 0.5 \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} -0.5 \\ 0.5 \end{array} \right)
\end{aligned}

ok.

+ Steg 4: Finn generell løsning

Den generelle løsningen når $A$ er en $2 \times 2$ matrise:

\vec{x}_k = c_1 \lambda_1^k \vec{v}_1 + c_2 \lambda_2^k \vec{v}_2

Setter inn egenverdier og egenvektorene:

\vec{x}_k = c_1 \cdot 1^k \left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}\right) 
+ c_2 \cdot 0.5^k \left( \!\!\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \!\!\right) \\
\Rightarrow \qquad \vec{x}_k = c_1 \left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}\right) 
+ c_2 \cdot 0.5^k \left( \!\!\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \!\!\right)

Video: Under produksjon

Oppgave mk07:

Finn $\vec{x}_5$ og likevektstilstanden til en Markov-kjeden når du vet starttilstanden, egenverdier og egenvektorer:

\vec{x}_0 = \left( \begin{array}{c} 0.5 \\ 0.5 \end{array} \right), \\
\lambda_1 = 1 \textnormal{ og }
\vec{v}_1 = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array} \right), \\
\lambda_2 = 0.5 \textnormal{ og }
\vec{v}_2 = \left( \!\! \begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \!\! \right)

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit: $\vec{x}_5$ og likevektstilstanden er:

\vec{x}_5 = \left(\begin{array}{c} 0.596875 \\ 0.403125 \end{array}\right) 
\textnormal{ og } \;
\vec{v} = \left(\begin{array}{c} 0.6 \\ 0.4 \end{array}\right)

Hint 1: Den generelle løsningen til en Markov-kjede er:

\vec{x}_k = c_1 \lambda_1^k \vec{v}_1 + c_2 \lambda_2^k \vec{v}_2 + \cdots + c_n \lambda_n^k \vec{v}_n

der $\lambda_i$ er egenverdien med tilhørende egenvektor $\vec{v}_i$. Koeffisientene $c_i$ kan du bestemme ut fra startbetingelsen.

Hint 2: For å bestemme $\vec{x}_5$ må du sette $k=5$ i den generelle løsningen. Og for å finne likevektstilstanden $v$ må du la $k$ gå mot uendelig.

Løsning: Setter egenverdiene og egenvektorene inn i den generelle løsningen:

\vec{x}_k = c_1 \cdot 1^k \left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}\right) 
+ c_2 \cdot 0.5^k \left( \!\!\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \!\!\right) \\
\Rightarrow \qquad
\vec{x}_k = c_1 \left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}\right) 
+ c_2 \cdot 0.5^k \left( \!\!\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \!\!\right)

Bruker starttilstanden for å finne koeffisientene $c_1$ og $c_2$:

\vec{x}_0 = c_1 \left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}\right) 
+ c_2 \cdot 0.5^0 \left( \!\!\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \!\!\right) 
=  \left(\begin{array}{c} 0.5 \\ 0.5 \end{array}\right) \\
\Rightarrow \qquad
\left(\begin{array}{cc} 3 & -1 \\ 2 & 1 \end{array}\right) 
\left( \!\!\begin{array}{c} c_1  \\ c_2 \end{array} \!\!\right) 
=  \left(\begin{array}{c} 0.5 \\ 0.5 \end{array}\right) \\

Løser ved å bruke radoperasjoner på den utvidete matrisen:

\left( \begin{array}{cc|c} 3 & -1 & \frac{1}{2} \\ 2 & 1 & \frac{1}{2} \end{array} \right) 
\overset{R_1/3 \to R_1}{\sim}
\left( \begin{array}{cc|c} 1 & -\frac{1}{3} & \frac{1}{6} \\ 2 & 1 & \frac{1}{2} \end{array} \right) \\
\overset{R_2 - 2R_1 \to R_2}{\sim}
\left( \begin{array}{cc|c} 1 & -\frac{1}{3} & \frac{1}{6} \\ 0 & \frac{5}{3} & \frac{1}{6} \end{array} \right) \\
\overset{3R_2/5 \to R_2}{\sim}
\left( \begin{array}{cc|c} 1 & -\frac{1}{3} & \frac{1}{6} \\ 0 & 1 & \frac{1}{10} 
\end{array} \right) \\
\overset{R_1 + R_2/3 \to R_1}{\sim}
\left( \begin{array}{cc|c} 1 & 0 & \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & \frac{1}{10} 
\end{array} \right)

PS: Du kan bruke desimaltall, men sørg for å unngå avrundingsfeil underveis.

Dermed har vi $c_1 = \frac{1}{5} = 0.2$ og $c_2 = \frac{1}{10} = 0.1$. Sjekker:

\vec{x}_0 = 0.2 \left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}\right) 
+0.1 \left( \!\!\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \!\!\right) 
=  \left(\!\! \begin{array}{c} 0.2 \cdot 3 + 0.1 \cdot (-1) \\ 0.2 \cdot 2 + 0.1 \cdot 1 \end{array} \!\! \right) =
\left(\begin{array}{c} 0.5 \\ 0.5 \end{array}\right)

Nå kan vi sette $c_1$ og $c_2$ inn i den generelle løsningen:

\begin{aligned}
& \vec{x}_k = c_1 \left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}\right) 
+ c_2 \cdot 0.5^k \left( \!\!\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \!\!\right) \\
\Rightarrow \quad & \vec{x}_k = 0.2 \left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}\right) 
+ 0.1 \cdot 0.5^k \left( \!\!\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \!\!\right)
\end{aligned}

Endelig kan vi sette $k = 5$ for å finne $\vec{x}_5$:

\begin{aligned}
\vec{x}_5 & = 0.2 \left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}\right) 
+ 0.1 \cdot 0.5^5 \left( \!\!\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \!\!\right) \\
\Rightarrow \quad \vec{x}_5
& = \left(\begin{array}{c} 0.2 \cdot 3 + 0.1 \cdot 0.5^5 \cdot (-1) \\ 0.2 \cdot 2 + 0.1 \cdot 0.5^5 \cdot 1 \end{array}\right) \\
\Rightarrow \quad \vec{x}_5
& = \left(\begin{array}{c} 0.596875 \\ 0.403125 \end{array}\right) 
\end{aligned}

Og la $k \to \infty$ for å finne likevektstilstanden:

\begin{aligned}
\vec{v} & = \lim_{k \to \infty} \vec{x}_k \\
\Rightarrow \quad \vec{v} & = \lim_{k \to \infty} \Bigg( 0.2 \left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}\right)
+ 0.1 \cdot 0.5^k \left( \!\!\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \!\!\right) \Bigg) \\
\Rightarrow \quad \vec{v}
& = 0.2 \left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}\right) \\
\Rightarrow \quad \vec{v}
& = \left(\begin{array}{c} 0.6 \\ 0.4 \end{array}\right) 
\end{aligned}

PS: Sjekk at summen av kolonnene i $\vec{x}_5$ og $\vec{v}$ blir 1. Hvis ikke, er noe gått galt underveis.

Video: Under produksjon

Oppgave mk08:

Finn den generelle løsningen til Markov-kjeden med overgangsmatrise:

A = \left( \begin{array}{cc} 0.8 & 0.2 \\ 0.2 & 0.8 \end{array} \right)

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit: Den generelle løsningen til Markov-kjeden:

\vec{x}_k = c_1 \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}\right) 
+ c_2 \cdot 0.6^k \left( \!\!\begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \!\!\right)

Vær oppmerksom på at løsningen kan skrives på flere måter. Hvis du har fått noe annet, kan det tenkes du har valgt en annen $t$ i utregningen av egenvektorene.

Hint 1: Den generelle løsningen til en Markov-kjede er:

\vec{x}_k = c_1 \lambda_1^k \vec{v}_1 + c_2 \lambda_2^k \vec{v}_2 + \cdots + c_n \lambda_n^k \vec{v}_n

der $\lambda_i$ er egenverdien med tilhørende egenvektor $\vec{v}_i$.

Hint 2: For å finne den generelle løsningen, må du finne egenverdiene og egenvektorene til $A$.

Løsning:

+ Steg 1: Sjekk overgangsmatrisen

Sjekk at alle elementene i overgangsmatrisen  er ikke-negative og kolonnesummene er lik 1:

\begin{aligned}
& \textnormal{Alle elementer i A} \ge 0 \textnormal{ ok} \\
& \textnormal{Kolonne 1:} \quad 0.8 + 0.2 = 1 \textnormal{ ok}  \\
& \textnormal{Kolonne 2:} \quad 0.2 + 0.8 = 1 \textnormal{ ok}  
\end{aligned}

ok

+ Steg 2: Finn egenverdiene

Finner egenverdiene $\lambda$ ved å løse den karakteristiske ligningen:

\begin{aligned}
& \det(A - \lambda I) = 0 \\
\Rightarrow \qquad 
& \left| \begin{array}{ccc} 0.8 - \lambda & 0.2 \\ 0.2 & 0.8-\lambda \end{array} \right| = 0 \\
\Rightarrow \qquad 
& (0.8 - \lambda)(0.8 - \lambda) - 0.2 \cdot 0.2 = 0 \\
\Rightarrow \qquad 
& (0.8 \cdot 0.8 - 0.8\lambda - 0.8\lambda + \lambda^2) - 0.04 = 0 \\
\Rightarrow \qquad 
&  \lambda^2 - 1.6 \lambda + 0.6 = 0 
\end{aligned}

Bruker andregradsformelen:

\begin{aligned}
& \lambda = \frac{-(-1.6) \pm \sqrt{(-1.6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0.6}}{2 \cdot 1} \\
\Rightarrow \qquad & 
\lambda = \frac{1.6 \pm \sqrt{0.16}}{2} \\
\Rightarrow \qquad & 
\lambda = \frac{1.6 \pm 0.4}{2} \\
\Rightarrow \qquad &
\lambda_1 = \frac{1.6 + 0.4}{2} = 1 \quad \textnormal{ og } \quad
\lambda_2 = \frac{1.6 - 0.4}{2} = 0.6
\end{aligned}

Sjekker at summen av hoveddiagonalen i $A$ er lik summen av egenverdier:

\begin{aligned}
& \textnormal{Summen av hoveddiagonalen i } A: \quad && 0.8 + 0.8 = 1.6 \\
& \textnormal{Summen av egenverdier for } A: &&\lambda_1 + \lambda_2 = 1 + 0.6 = 1.6
\end{aligned}

ok

+ Steg 3a: Finn egenvektoren til $\lambda_1 = 1$

Løser ved å bruke radoperasjoner på den utvidete matrisen til $(A – \lambda_1I) \vec{v}_1 = 0$:

\left( \begin{array}{cc|c} 0.8 - \lambda_1 & 0.2 & 0 \\ 0.2 & 0.8-\lambda_1 & 0 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{cc|c} -0.2 & 0.2 & 0 \\ 0.2 & -0.2 & 0 \end{array} \right) \\
\overset{R_2 +R_1 \to R_2}{\sim}
\left( \begin{array}{cc|c} -0.2 & 0.2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)
\overset{-5R_1 \to R_1}{\sim}
\left( \begin{array}{cc|c} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)

Siden andre kolonne mangler ledende ener, lar vi $v_2 = t$ være en fri variabel. Første rad gir $v_1 – v_2 = 0$:

\vec{v}_1 = \left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \end{array} \right) = 
\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right) t 
\overset{\textnormal{velger } t = 1}{=}
\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)

Sjekker om $A\vec{v}_1 = \lambda_1 \vec{v}_1$ ved hjelp av matrisemultiplikasjon:

\begin{aligned}
& A\vec{v}_1 = \left( \begin{array}{cc} 0.8 & 0.2 \\ 0.2 & 0.8 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} 0.8 \cdot 1 + 0.2 \cdot 1  \\ 0.2 \cdot 1 + 0.8 \cdot 1 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right) \\
& \lambda_1 \vec{v}_1
= 1 \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)
\end{aligned}

ok.

+ Steg 3b: Finn egenvektoren til $\lambda_2 = 0.6$

Løser ved å bruke radoperasjoner på den utvidete matrisen til $(A – \lambda_2I) \vec{v}_2 = 0$:

\left( \begin{array}{cc|c} 0.8 - \lambda_2 & 0.2 & 0 \\ 0.2 & 0.8-\lambda_2 & 0 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{cc|c} 0.2 & 0.2 & 0 \\ 0.2 & 0.2 & 0 \end{array} \right) \\
\overset{R_1/0.2 \to R_1}{\sim}
\left( \begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 0 \\ 0.2 & 0.2 & 0 \end{array} \right)
\overset{R_2 - 0.2R_1 \to R_2}{\sim}
\left( \begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)

Siden andre kolonne mangler ledende ener, lar vi $v_2 = t$ være en fri variabel. Første rad gir $v_1 + v_2 = 0$:

\vec{v}_1 = \left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \end{array} \right) = 
\left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \right) t 
\overset{\textnormal{velger } t = -1}{=}
\left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \right)

Sjekker om $A\vec{v}_2 = \lambda_2 \vec{v}_2$ ved hjelp av matrisemultiplikasjon:

\begin{aligned}
& A\vec{v}_1 = \left( \begin{array}{cc} 0.8 & 0.2 \\ 0.2 & 0.8 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} 0.8 \cdot 1 + 0.2 \cdot (-1)  \\ 0.2 \cdot 1 + 0.8 \cdot (-1) \end{array} \right)
= \left( \!\!\! \begin{array}{c} 0.6 \\ -0.6 \end{array} \!\!\!\right) \\
& \lambda_1 \vec{v}_1
= 0.6 \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1\end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} 0.6 \\ -0.6 \end{array} \right)
\end{aligned}

ok.

+ Steg 4: Finn generell løsning

Den generelle løsningen når $A$ er en $2 \times 2$ matrise:

\vec{x}_k = c_1 \lambda_1^k \vec{v}_1 + c_2 \lambda_2^k \vec{v}_2

Setter inn egenverdier og egenvektorene:

\vec{x}_k = c_1 \cdot 1^k \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}\right) 
+ c_2 \cdot 0.6^k \left( \!\!\begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \!\!\right) \\
\Rightarrow \qquad \vec{x}_k = c_1 \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}\right) 
+ c_2 \cdot 0.6^k \left( \!\!\begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \!\!\right)

Video: Under produksjon

Oppgave mk09:

Finn $\vec{x}_{10}$ og likevektstilstanden til en Markov-kjeden når du vet starttilstanden, egenverdier og egenvektorer:

\vec{x}_0 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right), \\
\lambda_1 = 1 \textnormal{ og }
\vec{v}_1 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right), \\
\lambda_2 = 0.6 \textnormal{ og }
\vec{v}_2 = \left( \!\! \begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \!\! \right)

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit: $\vec{x}_5$ og likevektstilstanden er:

\vec{x}_5 = \left(\begin{array}{c} 0.596875 \\ 0.403125 \end{array}\right) 
\textnormal{ og } \;
\vec{v} = \left(\begin{array}{c} 0.6 \\ 0.4 \end{array}\right)

Hint 1: Den generelle løsningen til en Markov-kjede er:

\vec{x}_k = c_1 \lambda_1^k \vec{v}_1 + c_2 \lambda_2^k \vec{v}_2 + \cdots + c_n \lambda_n^k \vec{v}_n

der $\lambda_i$ er egenverdien med tilhørende egenvektor $\vec{v}_i$. Koeffisientene $c_i$ kan du bestemme ut fra startbetingelsen.

Hint 2: For å bestemme $\vec{x}_{10}$ må du sette $k=10$ i den generelle løsningen. Og for å finne likevektstilstanden $v$ må du la $k$ gå mot uendelig.

Løsning: Setter egenverdiene og egenvektorene inn i den generelle løsningen:

\vec{x}_k = c_1 \cdot 1^k \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}\right) 
+ c_2 \cdot 0.6^k \left( \!\!\begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \!\!\right) \\
\Rightarrow \qquad
\vec{x}_k = c_1 \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}\right) 
+ c_2 \cdot 0.6^k \left( \!\!\begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \!\!\right)

Bruker starttilstanden for å finne koeffisientene $c_1$ og $c_2$:

\vec{x}_0 = c_1 \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}\right) 
+ c_2 \cdot 0.6^0 \left( \!\!\begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \!\!\right) 
=  \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}\right) \\
\Rightarrow \qquad
\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right) 
\left( \!\!\begin{array}{c} c_1  \\ c_2 \end{array} \!\!\right) 
=  \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}\right) \\

Løser ved å bruke radoperasjoner på den utvidete matrisen:

\left( \begin{array}{cc|c} 1 & 1 &1 \\ 1 & -1 & 0 \end{array} \right) 
\overset{R_2 - R_1 \to R_2}{\sim}
\left( \begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & -1 \end{array} \right) \\
\overset{-R_2/2 \to R_2}{\sim}
\left( \begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1& \frac{1}{2} \end{array} \right) \\
\overset{R_1 - R_2 \to R_1}{\sim}
\left( \begin{array}{cc|c} 1 & 0& \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} 
\end{array} \right)

PS: Du kan bruke desimaltall, men sørg for å unngå avrundingsfeil underveis.

Dermed har vi $c_1 = \frac{1}{2} = 0.5$ og $c_2 = \frac{1}{2} = 0.5$. Sjekker:

\vec{x}_0 = 0.5 \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}\right) 
+0.5 \left( \!\!\begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \!\!\right) 
=  \left(\!\! \begin{array}{c} 0.5 \cdot 1 + 0.5 \cdot 1 \\ 0.5 \cdot 1 + 0.5 \cdot (-1) \end{array} \!\! \right) =
\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}\right)

ok

Nå kan vi sette $c_1$ og $c_2$ inn i den generelle løsningen:

\vec{x}_k = 0.5 \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}\right) 
+ 0.5 \cdot 0.6^k \left( \!\!\begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \!\!\right)

Endelig kan vi sette $k = 10$ for å finne $\vec{x}_{10}$:

\begin{aligned}
\vec{x}_5 & = 0.5 \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}\right) 
+ 0.5 \cdot 0.6^{10} \left( \!\!\begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \!\!\right) \\
\Rightarrow \quad \vec{x}_5
& = \left(\begin{array}{c} 0.5 \cdot 1 + 0.5 \cdot 0.6^{10} \cdot 1 \\ 0.5 \cdot 1 + 0.5 \cdot 0.6^{10} \cdot (-1) \end{array}\right) \\
\Rightarrow \quad \vec{x}_5
& = \left(\begin{array}{c} 0. 5030233088 \cdots \\ 0.4969766912 \cdots \end{array}\right) 
\end{aligned}

Og la $k \to \infty$ for å finne likevektstilstanden:

\begin{aligned}
\vec{v} & = \lim_{k \to \infty} \vec{x}_k \\
\Rightarrow \quad \vec{v} & = \lim_{k \to \infty} \Bigg( 0.5 \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}\right)
+ 0.5 \cdot 0.6^k \left( \!\!\begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \!\!\right) \Bigg) \\
\Rightarrow \quad \vec{v}
& = 0.5 \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}\right) \\
\Rightarrow \quad \vec{v}
& = \left(\begin{array}{c} 0.5 \\ 0.5 \end{array}\right) 
\end{aligned}

PS: Sjekk at summen av kolonnene i $\vec{x}_{10}$ og $\vec{v}$ blir 1. Hvis ikke, er noe gått galt underveis.

Video: Under produksjon

Oppgave mk10:

Finn den generelle løsningen til Markov-kjeden med overgangsmatrise:

A = \left( \begin{array}{cc} 0.5 & 0.4 \\ 0.5 & 0.6 \end{array} \right)

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit: Den generelle løsningen til Markov-kjeden:

\vec{x}_k = c_1 \left(\begin{array}{c} 4 \\ 5 \end{array}\right) 
+ c_2 \cdot 0.1^k \left( \!\!\begin{array}{c} -1 \\  1 \end{array} \!\!\right)

Vær oppmerksom på at løsningen kan skrives på flere måter. Hvis du har fått noe annet, kan det tenkes du har valgt en annen $t$ i utregningen av egenvektorene.

Hint 1: Den generelle løsningen til en Markov-kjede er:

\vec{x}_k = c_1 \lambda_1^k \vec{v}_1 + c_2 \lambda_2^k \vec{v}_2 + \cdots + c_n \lambda_n^k \vec{v}_n

der $\lambda_i$ er egenverdien med tilhørende egenvektor $\vec{v}_i$.

Hint 2: For å finne den generelle løsningen, må du finne egenverdiene og egenvektorene til $A$.

Løsning:

+ Steg 1: Sjekk overgangsmatrisen

Sjekk at alle elementene i overgangsmatrisen  er ikke-negative og kolonnesummene er lik 1:

\begin{aligned}
& \textnormal{Alle elementer i A} \ge 0 \textnormal{ ok} \\
& \textnormal{Kolonne 1:} \quad 0.5 + 0.5 = 1 \textnormal{ ok}  \\
& \textnormal{Kolonne 2:} \quad 0.4 + 0.6 = 1 \textnormal{ ok}  
\end{aligned}

ok

+ Steg 2: Finn egenverdiene

Finner egenverdiene $\lambda$ ved å løse den karakteristiske ligningen:

\begin{aligned}
& \det(A - \lambda I) = 0 \\
\Rightarrow \qquad 
& \left| \begin{array}{ccc} 0.5 - \lambda & 0.4 \\ 0.5 & 0.6-\lambda \end{array} \right| = 0 \\
\Rightarrow \qquad 
& (0.5 - \lambda)(0.6 - \lambda) - 0.4 \cdot 0.5 = 0 \\
\Rightarrow \qquad 
& (0.5 \cdot 0.6 - 0.5\lambda - 0.6\lambda + \lambda^2) - 0.2 = 0 \\
\Rightarrow \qquad 
&  \lambda^2 - 1.1 \lambda + 0.1 = 0 
\end{aligned}

Bruker andregradsformelen:

\begin{aligned}
& \lambda = \frac{-(-1.1) \pm \sqrt{(-1.1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0.1}}{2 \cdot 1} \\
\Rightarrow \qquad & 
\lambda = \frac{1.1 \pm \sqrt{0.81}}{2} \\
\Rightarrow \qquad & 
\lambda = \frac{1.1 \pm 0.9}{2} \\
\Rightarrow \qquad &
\lambda_1 = \frac{1.1 + 0.9}{2} = 1 \quad \textnormal{ og } \quad
\lambda_2 = \frac{1.1 - 0.9}{2} = 0.1
\end{aligned}

Sjekker at summen av hoveddiagonalen i $A$ er lik summen av egenverdier:

\begin{aligned}
& \textnormal{Summen av hoveddiagonalen i } A: \quad && 0.5 + 0.6 = 1.1 \\
& \textnormal{Summen av egenverdier for } A: &&\lambda_1 + \lambda_2 = 1 + 0.1 = 1.1
\end{aligned}

ok

+ Steg 3a: Finn egenvektoren til $\lambda_1 = 1$

Løser ved å bruke radoperasjoner på den utvidete matrisen til $(A – \lambda_1I) \vec{v}_1 = 0$:

\left( \begin{array}{cc|c} 0.5 - \lambda_1 & 0.4 & 0 \\ 0.5 & 0.6-\lambda_1 & 0 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{cc|c} -0.5 & 0.4 & 0 \\ 0.5 & -0.4 & 0 \end{array} \right) \\
\overset{R_2 + R_1 \to R_2}{\sim}
\left( \begin{array}{cc|c} -0.5 & 0.4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)
\overset{-2R_1 \to R_1}{\sim}
\left( \begin{array}{cc|c} 1 & -0.8 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)

Siden andre kolonne mangler ledende ener, lar vi $v_2 = t$ være en fri variabel. Første rad gir $v_1 – 0.8v_2 = 0$:

\vec{v}_1 = \left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \end{array} \right) = 
\left( \begin{array}{c} 0.8 \\ 1 \end{array} \right) t 
\overset{\textnormal{velger } t = 5}{=}
\left( \begin{array}{c} 4 \\ 5 \end{array} \right)

Sjekker om $A\vec{v}_1 = \lambda_1 \vec{v}_1$ ved hjelp av matrisemultiplikasjon:

\begin{aligned}
& A\vec{v}_1 = \left( \begin{array}{cc} 0.5 & 0.4 \\ 0.5 & 0.6 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 4 \\ 5 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} 0.5 \cdot 4 + 0.4 \cdot 5  \\ 0.5 \cdot 4 + 0.6 \cdot 5 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} 4 \\ 5 \end{array} \right) \\
& \lambda_1 \vec{v}_1
= 1 \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 5 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} 4 \\ 5 \end{array} \right)
\end{aligned}

ok.

+ Steg 3b: Finn egenvektoren til $\lambda_2 = 0.1$

Løser ved å bruke radoperasjoner på den utvidete matrisen til $(A – \lambda_2I) \vec{v}_2 = 0$:

\left( \begin{array}{cc|c} 0.5 - \lambda_2 & 0.4 & 0 \\ 0.5 & 0.6-\lambda_2 & 0 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{cc|c} 0.4 & 0.4 & 0 \\ 0.5 & 0.5 & 0 \end{array} \right) \\
\overset{R_1/0.4 \to R_1}{\sim}
\left( \begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 0 \\ 0.5 & 0.5 & 0 \end{array} \right)
\overset{R_2 - 0.5R_1 \to R_2}{\sim}
\left( \begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)

Siden andre kolonne mangler ledende ener, lar vi $v_2 = t$ være en fri variabel. Første rad gir $v_1 + v_2 = 0$:

\vec{v}_1 = \left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \end{array} \right) = 
\left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \right) t 
\overset{\textnormal{velger } t = 1}{=}
\left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \right)

Sjekker om $A\vec{v}_2 = \lambda_2 \vec{v}_2$ ved hjelp av matrisemultiplikasjon:

\begin{aligned}
& A\vec{v}_1 = \left( \begin{array}{cc} 0.5 & 0.4 \\ 0.5 & 0.6 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} 0.5 \cdot (-1) + 0.4 \cdot 1  \\ 0.5 \cdot (-1) + 0.6 \cdot 1 \end{array} \right)
= \left( \!\!\! \begin{array}{c} -0.1 \\ 0.1 \end{array} \!\!\!\right) \\
& \lambda_1 \vec{v}_1
= 0.1 \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 1\end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} -0.1 \\ 0.1 \end{array} \right)
\end{aligned}

ok.

+ Steg 4: Finn generell løsning

Den generelle løsningen når $A$ er en $2 \times 2$ matrise:

\vec{x}_k = c_1 \lambda_1^k \vec{v}_1 + c_2 \lambda_2^k \vec{v}_2

Setter inn egenverdier og egenvektorene:

\vec{x}_k = c_1 \cdot 1^k \left(\begin{array}{c} 4 \\ 5 \end{array}\right) 
+ c_2 \cdot 0.1^k \left( \!\!\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \!\!\right) \\
\Rightarrow \qquad \vec{x}_k = c_1 \left(\begin{array}{c} 4 \\ 5 \end{array}\right) 
+ c_2 \cdot 0.1^k \left( \!\!\begin{array}{c} -1 \\  1 \end{array} \!\!\right)

Video: Under produksjon

Flere oppgaver kommer…

← Matematikk

Egenverdier og egenvektorer
Markov-kjeder

→ Matriser