Alle oppgaver
Alle oppgaver
DefinisjonenOppgaver: Derivasjon
Velg type oppgaver:
Enkle funksjoner
ProduktregelenTips 1: Prøv selv før du sjekker fasit eller løsning. Hintene kan hjelpe deg på vei.
Tips 2: Husk at det finnes flere måter å løse samme oppgave.
Bruk definisjonen av den deriverte til å finne den deriverte til funksjonen:
f(x) = 5
Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
f’(x) = 0
Hint 1: Bruk definisjonen av den deriverte
f’(x) = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{f(x + \triangle x) - f(x)}{\triangle x}Hint 2: Her er funksjonen lik 5 uansett x-verdi. Dermed er f(x + △x) = 5 og f(x) = 5.
Løsning:
Vi starter med definisjonen av den deriverte:
f’(x) = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{f(x + \triangle x) - f(x)}{\triangle x}Setter f(x) = 5:
\begin{aligned}
f’(x) & = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{5 - 5}{\triangle x} \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = \lim_{\triangle x \to 0}0
\end{aligned}Til sist lar vi △x gå mot null:
f’(x) = 0
Dermed er stigningstallet til grafen til f(x) lik null uansett x-verdi.
Video: Under produksjon
Bruk definisjonen av den deriverte til å finne den deriverte til funksjonen:
f(x) = 5x
Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
f’(x) = 5
Hint 1: Bruk definisjonen av den deriverte
f’(x) = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{f(x + \triangle x) - f(x)}{\triangle x}Hint 2: Her er f(x) = 5x og f(x + △x) = 5(x + △x).
Løsning:
Vi starter med definisjonen av den deriverte:
f’(x) = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{f(x + \triangle x) - f(x)}{\triangle x}Setter f(x) = 5x:
\begin{aligned}
f’(x) & = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{5(x + \triangle x) - 5x}{\triangle x}
\end{aligned}Multipliserer 5 inn i parentesen og rydder:
\begin{aligned}
f’(x) & = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{5x + 5 \triangle x - 5x}{\triangle x} \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{5 \triangle x}{\triangle x} \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = \lim_{\triangle x \to 0} 5
\end{aligned}Til sist lar vi △x gå mot null:
f’(x) = 5
Dermed er stigningstallet til grafen til f(x) lik 5 uansett x-verdi.
Video: Under produksjon
Bruk definisjonen av den deriverte til å finne den deriverte til funksjonen:
f(x) = -5x
Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
f’(x) = -5
Hint 1: Bruk definisjonen av den deriverte
f’(x) = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{f(x + \triangle x) - f(x)}{\triangle x}Hint 2: Her er f(x) = -5x og f(x + △x) = -5(x + △x).
Løsning:
Vi starter med definisjonen av den deriverte:
f’(x) = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{f(x + \triangle x) - f(x)}{\triangle x}Setter f(x) = -5x:
\begin{aligned}
f’(x) & = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{-5(x + \triangle x) - (-5x)}{\triangle x} \\
\end{aligned}Multipliserer -5 inn i parentesen og rydder:
\begin{aligned}
f’(x) & = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{-5 x - 5 \triangle x + 5x}{\triangle x} \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{- 5 \triangle x}{\triangle x} \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = \lim_{\triangle x \to 0} (-5)
\end{aligned}Til sist lar vi △x gå mot null:
\begin{aligned}
f’(x) & = -5
\end{aligned}Dermed er stigningstallet til grafen til f(x) lik -5 uansett x-verdi.
Video: Under produksjon
Bruk definisjonen av den deriverte til å finne den deriverte til funksjonen:
f(x) = 5x^2
Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
f’(x) = 10x
Hint 1: Bruk definisjonen av den deriverte
f’(x) = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{f(x + \triangle x) - f(x)}{\triangle x}Hint 2: Her er f(x) = 5x2 og f(x + △x) = 5(x + △x)2.
Løsning:
Vi stater med definisjonen av den deriverte:
f’(x) = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{f(x + \triangle x) - f(x)}{\triangle x}Setter f(x) = 5x2:
\begin{aligned}
f’(x) & = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{5(x + \triangle x)^2 - 5x^2}{\triangle x} \\
\end{aligned}Bruker første kvadratsetning (eller multipliserer (x+△x) med (x+△x) ledd for ledd):
\begin{aligned}
f’(x) & = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{5 (x^2 + 2 x \triangle x + (\triangle x)^2) - 5x^2}{\triangle x}
\end{aligned}Multipliserer 5 inn i parentesen og rydder:
\begin{aligned}
f’(x) & = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{5 x^2 + 10 x \triangle x + 5 (\triangle x)^2 - 5x^2}{\triangle x} \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{10 x \triangle x + 5 (\triangle x)^2 }{\triangle x} \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = \lim_{\triangle x \to 0} (10 x + 5 \triangle x)
\end{aligned}Til sist lar vi △x gå mot null:
\begin{aligned}
f’(x) & = 10 x
\end{aligned}Video: Under produksjon
Finn den deriverte:
f(x) = x^7
Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
f’(x) = 7x^6
Hint 1: Bruk regelen for derivasjon av potenser
(x^n)’ = n x^{n-1}Hint 2: Her er n = 7
Løsning:
Vi starter med regelen for derivasjon av potenser:
(\textcolor{red}{x}^{\textcolor{blue}{n}})’ = \textcolor{blue}{n} \textcolor{red}{x}^{\textcolor{blue}{n} - 1}Sett n = 7
\begin{aligned}
f(x) & = \textcolor{red}{x}^{\textcolor{blue}{7}} \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = \textcolor{blue}{7} \textcolor{red}{x}^{\textcolor{blue}{7} - 1} \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = 7 x^6
\end{aligned}Video: Under produksjon
Finn den deriverte:
f(x) = x^{100}Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
f’(x) = 100x^{99}Hint 1: Bruk regelen for derivasjon av potenser
(x^n)’ = n x^{n-1}Hint 2: Her er n = 100
Løsning:
Vi starter med regelen for derivasjon av potenser:
(\textcolor{red}{x}^{\textcolor{blue}{n}})’ = \textcolor{blue}{n} \textcolor{red}{x}^{\textcolor{blue}{n} - 1}Sett n = 100
\begin{aligned}
f(x) & = \textcolor{red}{x}^{\textcolor{blue}{100}} \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = \textcolor{blue}{100} \textcolor{red}{x}^{\textcolor{blue}{100} - 1} \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = 100 x^{99}
\end{aligned}Video: Under produksjon
Finn den deriverte:
h(x) = \frac{1}{x^3}Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
h’(x) = - \frac{3}{x^4}Hint 1: Husk potensregelen:
\frac{1}{x^r} = x^{-r}Her er r = 3
Hint 2: Sett n = -3 i regelen for derivasjon av potenser
(x^n)’ = n x^{n-1}Løsning:
Først bruker vi potensregelen:
\frac{1}{x^{\textcolor{green}{r}}} = x^{-\textcolor{green}{r}}slik at vi kan skrive funksjonen på formen xn:
\begin{aligned}
h(x) & = \frac{1}{x^{\textcolor{green}{3}}} \\
\Rightarrow \quad h(x) & = x^{-\textcolor{green}{3}}
\end{aligned}Nå kan vi bruke regelen for derivasjon av potenser:
(\textcolor{red}{x}^{\textcolor{blue}{n}})’ = \textcolor{blue}{n} \textcolor{red}{x}^{\textcolor{blue}{n} - 1}Sett n = -3
\begin{aligned}
h(x) & = \textcolor{red}{x}^{\textcolor{blue}{-3}} \\
\Rightarrow \quad h’(x) & = \textcolor{blue}{-3} \textcolor{red}{x}^{\textcolor{blue}{-3} - 1} \\
\Rightarrow \quad h’(x) & = -3 x^{-4}
\end{aligned}Og så kan vi bruke 1/xr = x-r igjen:
h’(x) = -\frac{3}{x^4}Video: Under produksjon
Finn den deriverte:
f(x) = \sqrt{x}Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
f’(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}Hint 1: Husk potensregelen:
\sqrt{x} = x^{1/2}Hint 2: Sett n = 1/2 i regelen for derivasjon av potenser
(x^n)’ = n x^{n-1}Løsning:
Først skriver vi funksjonen litt om for å få en potens:
\begin{aligned}
& f(x) = \sqrt{x} \\
\Rightarrow \quad & f(x) = x^{1/2}
\end{aligned}Nå kan vi bruke regelen for derivasjon av potenser:
(\textcolor{red}{x}^{\textcolor{blue}{n}})’ = \textcolor{blue}{n} \textcolor{red}{x}^{\textcolor{blue}{n} - 1}Sett n = 1/2
\begin{aligned}
f’(x) & = \textcolor{blue}{\frac{1}{2}} \textcolor{red}{x}^{\textcolor{blue}{1/2} - 1} \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = \frac{1}{2} x^{-1/2}
\end{aligned}Nå kan vi bruke 1/xr = x-r:
f’(x) = \frac{1}{2x^{1/2}}Og til sist kan vi bruke kvadratrot igjen:
f’(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}Video: Under produksjon
Finn den deriverte:
f(x) = \sqrt[3]{x}Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
f’(x) = \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^2}}Hint 1: Husk potensregelen:
\sqrt[n]{x} = x^{1/n}Hint 2: Sett n = 1/3 i regelen for derivasjon av potenser
(x^n)’ = n x^{n-1}Løsning:
Først skriver vi funksjonen litt om for å få en potens:
\begin{aligned}
& f(x) = \sqrt[3]{x} \\
\Rightarrow \quad & f(x) = x^{1/3}
\end{aligned}Nå kan vi bruke regelen for derivasjon av potenser:
(\textcolor{red}{x}^{\textcolor{blue}{n}})’ = \textcolor{blue}{n} \textcolor{red}{x}^{\textcolor{blue}{n} - 1}Sett n = 1/3
\begin{aligned}
f’(x) & = \textcolor{blue}{\frac{1}{3}} \textcolor{red}{x}^{\textcolor{blue}{1/3} - 1} \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = \frac{1}{3} x^{-2/3}
\end{aligned}Nå kan vi bruke 1/xr = x-r:
f’(x) = \frac{1}{3x^{2/3}}Nå kan vi bruke xmn = (xm)n:
f’(x) = \frac{1}{3(x^2)^{1/3}}Og til sist kan vi bruke tredjerota igjen:
f’(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}Video: Under produksjon
Finn den deriverte:
f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x^5}Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
f’(x) = - \frac{9}{2} x^{-11/2}Hint 1: Skriv uttrykket som en potens xn og husk at:
\sqrt{x} = x^{1/2}Hint 2: Husk at x-r = 1/xr og at xmxn = xm+n før vi bruker regelen for derivasjon av potenser
(x^n)’ = n x^{n-1}Løsning:
Først bruker vi noen potensregler for å skrive funksjonen på formen xn:
\begin{aligned}
& f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x^5} \\
\textnormal{Regel: } \quad & \sqrt{x} = x^{1/2}
& \qquad \Rightarrow \quad & f(x) = \frac{x^{1/2}}{x^5} \\
\textnormal{Regel: } \quad & \frac{1}{x^r} = x^{-r}
& \qquad \Rightarrow \quad & f(x) = x^{1/2} \cdot x^{-5} \\
\textnormal{Regel: } \quad & x^m x^n = x^{m+n}
& \qquad \Rightarrow \quad & f(x) = x^{1/2 + (-5)} = x^{-9/2}
\end{aligned}Nå kan vi bruke regelen for derivasjon av potenser:
(\textcolor{red}{x}^{\textcolor{blue}{n}})’ = \textcolor{blue}{n} \textcolor{red}{x}^{\textcolor{blue}{n} - 1}Sett n = -9/2
\begin{aligned}
f’(x) & = - \textcolor{blue}{\frac{9}{2}} \textcolor{red}{x}^{\textcolor{blue}{-9/2} - 1} \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = -\frac{9}{2} x^{-11/2}
\end{aligned}Video: Under produksjon
Finn den deriverte:
g(x) = 4x^3
Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
g’(x) = 12x^2
Hint 1: Fordi vi skal derivere en konstant ganget med noe, bruker vi først:
(a f(x))’ = a f’(x)
der a = 4 og f(x) = x3
Hint 2: Sett n = 3 i regelen for derivasjon av potenser
(x^n)’ = n x^{n-1}Løsning:
Først tar vi oss av konstanten ved hjelp av regelen:
(\textcolor{red}{a} \textcolor{blue}{f(x)})’ = \textcolor{red}{a} \textcolor{green}{f’(x)}\begin{aligned}
g(x) & = \textcolor{red}{4} \textcolor{blue}{x^3} \\
\Rightarrow \quad g’(x) & = \textcolor{red}{4} \textcolor{green}{(x^3)’}
\end{aligned}Deretter deriverer x3 ved hjelp av regelen for derivasjon av potenser:
(\textcolor{red}{x}^{\textcolor{blue}{n}})’ = \textcolor{blue}{n} \textcolor{red}{x}^{\textcolor{blue}{n} - 1}Sett n = 3
\begin{aligned}
g’(x) & = 4 (\textcolor{red}{x}^{\textcolor{blue}{3}})’ \\
\Rightarrow \quad g’(x) & = 4 \cdot \textcolor{blue}{3} \textcolor{red}{x}^{\textcolor{blue}{3} - 1} \\
\Rightarrow \quad g’(x) & = 12x^2
\end{aligned}Video: Under produksjon
Finn den deriverte:
g(x) = \frac{7}{x^3}Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
g’(x) = - \frac{21}{x^4}Hint 1: Fordi vi skal derivere en konstant ganget med noe, bruker vi først:
(a f(x))’ = a f’(x)
der a = 7 og f(x) = 1/x3
Hint 2: Husk at x-r = 1/xr før vi bruker regelen for derivasjon av potenser:
(x^n)’ = n x^{n-1}Løsning:
Først tar vi oss av konstanten ved å sette den foran:
(\textcolor{red}{a} \textcolor{blue}{f(x)})’ = \textcolor{red}{a} \textcolor{green}{f’(x)}\begin{aligned}
g(x) & = \frac{\textcolor{red}{7}}{\textcolor{blue}{x^3}} \\
\Rightarrow \quad g’(x) & = \textcolor{red}{7} \left(\frac{1}{\textcolor{green}{x^3}}\right)^{\!\!\!’}
\end{aligned}Husk at x-r = 1/xr og deriverer vi 1/x3 = x-3 ved å bruke regelen for derivasjon av potenser:
(\textcolor{red}{x}^{\textcolor{blue}{n}})’ = \textcolor{blue}{n} \textcolor{red}{x}^{\textcolor{blue}{n} - 1}Sett n = -3
\begin{aligned}
g’(x) & = 7 (\textcolor{red}{x}^{\textcolor{blue}{-3}})’ \\
\Rightarrow \quad g’(x) & = 7 \cdot (\textcolor{blue}{-3}) \textcolor{red}{x}^{\textcolor{blue}{-3} - 1} \\
\Rightarrow \quad g’(x) & = -21x^{-4} \\
\Rightarrow \quad g’(x) & = - \frac{21}{x^4}
\end{aligned}Video: Under produksjon
Finn den deriverte:
f(x) = 5x^2 + 7x + 3
Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
f’(x) = 10x + 7
Hint 1: Deriver hvert ledd for seg
Hint 2: Bruk regelen for derivasjon av potenser:
(x^n)’ = n x^{n-1}Løsning:
Deriver hvert ledd for seg:
\begin{aligned}
f(x) & = \textcolor{red}{5x^2} + \textcolor{blue}{7x} + \textcolor{green}{3} \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = (\textcolor{red}{5x^2})’ + (\textcolor{blue}{7x})’ + (\textcolor{green}{3})’ \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = 5 (\textcolor{red}{x^2})’ + 7 (\textcolor{blue}{x})’ + (\textcolor{green}{3})’ \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = 5 \cdot \textcolor{red}{2x} + 7 \cdot \textcolor{blue}{1} + \textcolor{green}{0} \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = 10x + 7
\end{aligned}Video: Under produksjon
Finn den deriverte:
f(x) = 4x^3 + \frac{5}{x^2}Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
f’(x) = 12x^2 - \frac{10}{x^3}Hint 1: Deriver hvert ledd for seg
Hint 2: Bruk regelen for derivasjon av potenser:
(x^n)’ = n x^{n-1}Løsning:
Deriver hvert ledd for seg:
\begin{aligned}
f(x) & = \textcolor{red}{4x^3} + \textcolor{blue}{\frac{5}{x^2}} \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = (\textcolor{red}{4x^3})’ + \left(\textcolor{blue}{\frac{5}{x^2}} \right)^{\!\!\!’} \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = (\textcolor{red}{4x^3})’ + (\textcolor{blue}{5 x^{-2}})’ \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = 4 (\textcolor{red}{x^3})’ + 5 (\textcolor{blue}{ x^{-2}})’ \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = 4 \cdot \textcolor{red}{3x^2} + 5 \cdot \textcolor{blue}{(-2)x^{-3}} \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = 12x^2 - \frac{10}{x^3}
\end{aligned}Video: Under produksjon
Finn den deriverte:
f(x) = x \sin(x)
Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
f’(x) = \sin(x) + x \cos(x)
Hint 1: Bruk produktregelen
(u v)’ = u’ v + u v’
Hint 2: Velg u = x og v = sin(x)
Løsning:
Vi bruker produktregelen:
(\textcolor{red}{u} \textcolor{blue}{v})’ = \textcolor{purple}{u’} \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \textcolor{green}{v’}\textcolor{red}{u = x} \\ \textcolor{blue}{v = \sin(x)}\Rightarrow
\textcolor{purple}{u' = 1} \\ \textcolor{green}{v = \cos(x)}\begin{aligned}
f(x) & = \textcolor{red}{x} \textcolor{blue}{\sin(x)} \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = \textcolor{purple}{1} \cdot \textcolor{blue}{\sin(x)} + \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{green}{\cos(x)} \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = \sin(x) + x \cos(x)
\end{aligned}Video: Under produksjon
Finn den deriverte:
f(x) = x^5 \ln(x)
Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
f’(x) = 5x^4 \ln(x) + x^4
Hint 1: Bruk produktregelen
(u v)’ = u’ v + u v’
Hint 2: Velg u = x5 og v = ln(x)
Løsning:
Vi bruker produktregelen:
(\textcolor{red}{u} \textcolor{blue}{v})’ = \textcolor{purple}{u’} \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \textcolor{green}{v’}\textcolor{red}{u = x^5} \\ \textcolor{blue}{v = \ln(x)}\Rightarrow
\textcolor{purple}{u' = 5x^4} \\ \textcolor{green}{v = \ln(x)}\begin{aligned}
f(x) & = \textcolor{red}{x^5} \textcolor{blue}{\ln(x)} \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = \textcolor{purple}{5x^4} \cdot \textcolor{blue}{\ln(x)} + \textcolor{red}{x^5} \cdot \textcolor{green}{\frac{1}{x}} \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = 5x^4 \ln(x) + x^4
\end{aligned}Video: Under produksjon
Finn den deriverte:
f(t) = t e^t
Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
f’(t) = e^t (1 + t)
Hint 1: Bruk produktregelen
(u v)’ = u’ v + u v’
Hint 2: Velg u = t og v = et
Løsning:
Vi bruker produktregelen:
(\textcolor{red}{u} \textcolor{blue}{v})’ = \textcolor{purple}{u’} \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \textcolor{green}{v’}\textcolor{red}{u = t} \\ \textcolor{blue}{v = e^t}\Rightarrow
\textcolor{purple}{u' = 1} \\ \textcolor{green}{v = e^t}\begin{aligned}
f(t) & = \textcolor{red}{t} \textcolor{blue}{e^t} \\
\Rightarrow \quad f’(t) & = \textcolor{purple}{1} \cdot \textcolor{blue}{e^t} + \textcolor{red}{t} \cdot \textcolor{green}{e^t} \\
\Rightarrow \quad f’(t) & = e^t + t e^t \\
\Rightarrow \quad f’(t) & = e^t (1 + t)
\end{aligned}Begge de to nederste linjene er riktige svar, men den siste står på en «penere» form.
Video: Under produksjon
Finn den deriverte:
h(x) = x^2 e^x
Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
h’(x) = x e^x (2 + x)
Hint 1: Bruk produktregelen
(u v)’ = u’ v + u v’
Hint 2: Velg u = x2 og v = ex
Løsning:
Vi bruker produktregelen:
(\textcolor{red}{u} \textcolor{blue}{v})’ = \textcolor{purple}{u’} \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \textcolor{green}{v’}\textcolor{red}{u = x^2} \\ \textcolor{blue}{v = e^x}\Rightarrow
\textcolor{purple}{u' = 2x} \\ \textcolor{green}{v = e^x}\begin{aligned}
h(x) & = \textcolor{red}{x^2} \textcolor{blue}{e^x} \\
\Rightarrow \quad h’(x) & = \textcolor{purple}{2x} \cdot \textcolor{blue}{e^x} + \textcolor{red}{x^2} \cdot \textcolor{green}{e^x} \\
\Rightarrow \quad h’(x) & = xe^x (2 + x)
\end{aligned}Begge de to nederste linjene er riktige svar, men den siste står på en «penere» form.
Video: Under produksjon
Finn den deriverte:
g(x) = \cos(x) \sin(x)
Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
g’(x) = - \sin^2(x) + \cos^2(x)
Hint 1: Bruk produktregelen
(u v)’ = u’ v + u v’
Hint 2: Velg u = cos(x) og v = sin(x)
Løsning:
Vi bruker produktregelen:
(\textcolor{red}{u} \textcolor{blue}{v})’ = \textcolor{purple}{u’} \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \textcolor{green}{v’}\textcolor{red}{u = \cos(x)} \\ \textcolor{blue}{v = \sin(x)}\Rightarrow
\textcolor{purple}{u' = - \sin(x)} \\ \textcolor{green}{v = \cos(x)}\begin{aligned}
g(x) & = \textcolor{red}{\cos(x)} \textcolor{blue}{\sin(x)} \\
\Rightarrow \quad g’(x) & = \textcolor{purple}{- \sin(x) } \cdot \textcolor{blue}{\sin(x)} + \textcolor{red}{\cos(x)} \cdot \textcolor{green}{\cos(x)} \\
\Rightarrow \quad g’(x) & = - \sin^2(x) + \cos^2(x)
\end{aligned}Siden sin2(x) + cos2(x) = 1, kan vi også skrive svaret som 1 - 2 sin2(x) eller 2 cos2(x) - 1.
Video: Under produksjon
Finn den deriverte:
f(x) = \cos(x)e^x
Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
f’(x) = (\cos(x) - \sin(x)) e^x
Hint 1: Bruk produktregelen
(u v)’ = u’ v + u v’
Hint 2: Velg u = cos(x) og v = ex
Løsning:
Vi bruker produktregelen:
(\textcolor{red}{u} \textcolor{blue}{v})’ = \textcolor{purple}{u’} \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \textcolor{green}{v’}\textcolor{red}{u = \cos(x)} \\ \textcolor{blue}{v = e^x}\Rightarrow
\textcolor{purple}{u' = -\sin(x)} \\ \textcolor{green}{v = e^x}\begin{aligned}
f(x) & = \textcolor{red}{\cos(x)} \textcolor{blue}{e^x} \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = \textcolor{purple}{- \sin(x) } \cdot \textcolor{blue}{e^x} + \textcolor{red}{\cos(x)} \cdot \textcolor{green}{e^x} \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = (\cos(x) - \sin(x)) e^x
\end{aligned}Begge de to nederste linjene er riktige svar, men den siste står på en «penere» form.
Video: Under produksjon
Finn den deriverte:
f(x) = \frac{\sin(x)}{x}Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
f’(x) = \frac{x \cos(x) - \sin(x)}{x^2}Hint 1: Bruk kvotientregelen
\left(\frac{u}{v}\right)^{\!’} = \frac{u’ \cdot v - u \cdot v’}{v^2}Hint 2: Sett u = sin(x) og v = x
Løsning:
Vi bruker kvotientregelen:
\left(\frac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)^{\!’} = \frac{\textcolor{purple}{u’} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{green}{v’}}{\textcolor{blue}{v}^2}\textcolor{red}{u = \sin(x)} \\ \textcolor{blue}{v = x}\Rightarrow
\textcolor{purple}{u' = \cos(x)} \\ \textcolor{green}{v = 1}\begin{aligned}
f(x) & = \frac{\textcolor{red}{\sin(x)}}{\textcolor{blue}{x}} \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = \frac{\textcolor{purple}{\cos(x) } \cdot \textcolor{blue}{x} - \textcolor{red}{\sin(x)} \cdot \textcolor{green}{1}}{\textcolor{blue}{x}^2} \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = \frac{x \cos(x) - \sin(x)}{x^2}
\end{aligned}Begge de to nederste linjene er riktige svar, men den siste står på en «penere» form.
Video: Under produksjon
Finn den deriverte:
f(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
f’(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}Hint 1: Bruk kvotientregelen
\left(\frac{u}{v}\right)^{\!’} = \frac{u’ \cdot v - u \cdot v’}{v^2}Hint 2: Sett u = sin(x) og v = cos(x)
Løsning:
Vi bruker kvotientregelen:
\left(\frac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)^{\!’} = \frac{\textcolor{purple}{u’} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{green}{v’}}{\textcolor{blue}{v}^2}\textcolor{red}{u = \sin(x)} \\ \textcolor{blue}{v = \cos(x)}\Rightarrow
\textcolor{purple}{u' = \cos(x)} \\ \textcolor{green}{v = - \sin(x)}\begin{aligned}
f(x) & = \frac{\textcolor{red}{\sin(x)}}{\textcolor{blue}{x}} \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = \frac{\textcolor{purple}{\cos(x) } \cdot \textcolor{blue}{\cos(x)} - \textcolor{red}{\sin(x)} \cdot (\textcolor{green}{-\sin(x)})}{\textcolor{blue}{x}^2} \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = \frac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)}
\end{aligned}Siden cos2(x) + sin2(x) = 1, får vi:
f’(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}Merk at siden tan(x) = sin(x)/cos(x), har vi nå funnet den deriverte til tan(x).
Video: Under produksjon
Finn den deriverte:
f(x) = \frac{\ln(x)}{e^x}Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
f’(x) = \frac{1 - x\ln(x)}{x e^x}Hint 1: Bruk kvotientregelen
\left(\frac{u}{v}\right)^{\!’} = \frac{u’ \cdot v - u \cdot v’}{v^2}Hint 2: Sett u = ln(x) og v = ex
Løsning:
Vi bruker kvotientregelen:
\left(\frac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)^{\!’} = \frac{\textcolor{purple}{u’} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{green}{v’}}{\textcolor{blue}{v}^2}\textcolor{red}{u = \ln(x)} \\ \textcolor{blue}{v = e^x}\Rightarrow
\textcolor{purple}{u' = \frac{1}{x}} \\ \textcolor{green}{v = e^x}\begin{aligned}
f(x) & = \frac{\textcolor{red}{\ln(x)}}{\textcolor{blue}{e^x}} \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = \frac{\textcolor{purple}{\frac{1}{x} } \cdot \textcolor{blue}{e^x} - \textcolor{red}{\ln(x)} \cdot \textcolor{green}{e^x}}{(\textcolor{blue}{e^x})^2}
\end{aligned}For å få et penere uttrykk, multipliserer vi både teller og nevner med x/ex:
\begin{aligned}
f’(x) & = \frac{\left( \frac{1}{x} \cdot e^x - \ln(x) e^x \right) \cdot \textcolor{red}{\frac{x}{e^x}}}{(e^x)^2 \cdot \textcolor{red}{\frac{x}{e^x}}} \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = \frac{1 - x \ln(x) }{x e^x}
\end{aligned}Video: Under produksjon
Finn den deriverte:
f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2}Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
f’(x) = - \frac{2}{x^3}Hint 1: Bruk kvotientregelen
\left(\frac{u}{v}\right)^{\!’} = \frac{u’ \cdot v - u \cdot v’}{v^2}Hint 2: Sett u = x2 + 1 og v = x2
Løsning:
Vi bruker kvotientregelen:
\left(\frac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)^{\!’} = \frac{\textcolor{purple}{u’} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{green}{v’}}{\textcolor{blue}{v}^2}\textcolor{red}{u = x^2 + 1} \\ \textcolor{blue}{v = x^2}\Rightarrow
\textcolor{purple}{u' = 2x} \\ \textcolor{green}{v = 2x}\begin{aligned}
f(x) & = \frac{\textcolor{red}{x^2 + 1}}{\textcolor{blue}{x^2}} \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = \frac{\textcolor{purple}{2x} \cdot \textcolor{blue}{x^2} - (\textcolor{red}{x^2 + 1}) \cdot \textcolor{green}{2x}}{(\textcolor{blue}{x^2})^2} \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = \frac{2x^3 - 2x^3 - 2x}{x^4} \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = - \frac{2x}{x^4} \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = - \frac{2}{x^3}
\end{aligned}Video: Under produksjon
Finn den deriverte:
f(x) = \frac{e^x}{x^2}Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
f’(x) = \frac{xe^x - 2e^x}{x^3}Hint 1: Bruk kvotientregelen
\left(\frac{u}{v}\right)^{\!’} = \frac{u’ \cdot v - u \cdot v’}{v^2}Hint 2: Sett u = ex og v = x2
Løsning:
Vi bruker kvotientregelen:
\left(\frac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)^{\!’} = \frac{\textcolor{purple}{u’} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{green}{v’}}{\textcolor{blue}{v}^2}\textcolor{red}{u = e^x} \\ \textcolor{blue}{v = x^2}\Rightarrow
\textcolor{purple}{u' = e^x} \\ \textcolor{green}{v = 2x}\begin{aligned}
f(x) & = \frac{\textcolor{red}{e^x}}{\textcolor{blue}{x^2}} \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = \frac{\textcolor{purple}{e^x} \cdot \textcolor{blue}{x^2} - \textcolor{red}{e^x} \cdot \textcolor{green}{2x}}{(\textcolor{blue}{x^2})^2} \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = \frac{x^2e^x - 2x e^x}{x^4} \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = \frac{(x^2e^x - 2x e^x) \cdot \textcolor{red}{\frac{1}{x}}}{x^4 \cdot \textcolor{red}{\frac{1}{x}}} \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = \frac{x e^x - 2 e^x}{x^3}
\end{aligned}Video: Under produksjon
Finn den deriverte:
f(x) = (x+5)^7
Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
f’(x) = 7(x + 5)^6
Hint 1: Bruk kjerneregelen
f’(u(x)) = f’(u) \cdot u’(x)
Hint 2: Velg u = x + 5 som kjerne fordi vi kan derivere u7
Løsning:
Vi bruker kjerneregelen:
f’(\textcolor{red}{u(x)}) = f’(\textcolor{red}{u}) \textcolor{blue}{u’(x)} Velger u(x) = x + 5 som kjerne, fordi vi kan derivere u7, men ikke (x+5)7.
\textcolor{red}{u(x) = x + 5} \\ f(\textcolor{red}{u}) = \textcolor{red}{u}^7\Rightarrow
\textcolor{blue}{u'(x) = 1} \\ f’(\textcolor{red}{u}) = 7\textcolor{red}{u}^6\begin{aligned}
f(x) & = (\textcolor{red}{x + 5})^7 \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = 7 (\textcolor{red}{x + 5})^6 \cdot \textcolor{blue}{\frac{d}{dx} (x + 5)} \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = 7 (x+5)^6 \cdot \textcolor{blue}{1} \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = 7 (x+5)^6
\end{aligned}Video: Under produksjon
Finn den deriverte:
f(x) = (x^3+5x)^4
Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
f’(x) = 4(x^3 + 5x)^3(3x^2 +5)
Hint 1: Bruk kjerneregelen
f’(u(x)) = f’(u) \cdot u’(x)
Hint 2: Velg u = x3 + 5x som kjerne, fordi vi kan deriverte u4
Løsning:
Vi bruker kjerneregelen:
f’(\textcolor{red}{u(x)}) = f’(\textcolor{red}{u}) \textcolor{blue}{u’(x)} Velger u(x) = x3 + 5x som kjerne, fordi vi kan derivere u4, men ikke (x3+5x)4.
\textcolor{red}{u(x) = x^3 + 5x} \\ f(\textcolor{red}{u}) = \textcolor{red}{u}^4\Rightarrow
\textcolor{blue}{u'(x) = 3x^2+5} \\ f’(\textcolor{red}{u}) = 4\textcolor{red}{u}^3\begin{aligned}
f(x) & = (\textcolor{red}{x^3 + 5x})^4 \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = 4 (\textcolor{red}{x^3 + 5})^3 \cdot \textcolor{blue}{\frac{d}{dx} (x^3 + 5x)} \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = 4 (\textcolor{red}{x^3+5x})^3 \cdot \textcolor{blue}{(3x^2 + 5)} \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = 4 (x^3+5x)^3 (3x^2 + 5)
\end{aligned}Video: Under produksjon
Finn den deriverte:
g(x) = \sin(4x)
Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
g’(x) = 4\cos(4x)
Hint 1: Bruk kjerneregelen
f’(u(x)) = f’(u) \cdot u’(x)
Hint 2: Velg u = 4x som kjerne, fordi vi kan derivere sin(u)
Løsning:
Vi bruker kjerneregelen:
f’(\textcolor{red}{u(x)}) = f’(\textcolor{red}{u}) \textcolor{blue}{u’(x)} Velger u(x) = 4x som kjerne, fordi vi kan derivere sin(u), men ikke sin(4x).
\textcolor{red}{u(x) = 4x} \\ g(\textcolor{red}{u}) = \sin(\textcolor{red}{u})\Rightarrow
\textcolor{blue}{u'(x) = 4} \\ g’(\textcolor{red}{u}) = \cos(\textcolor{red}{u})\begin{aligned}
g(x) & = \sin(\textcolor{red}{4x})\\
\Rightarrow \quad g’(x) & = \cos (\textcolor{red}{4x}) \cdot \textcolor{blue}{\frac{d}{dx} (4x)} \\
\Rightarrow \quad g’(x) & = \cos(\textcolor{red}{4x}) \cdot \textcolor{blue}{4} \\
\Rightarrow \quad g’(x) & = 4 \cos(4x)
\end{aligned}Video: Under produksjon
Finn den deriverte:
h(x) = e^{2x}Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
h’(x) = 2e^{2x}Hint 1: Bruk kjerneregelen
f’(u(x)) = f’(u) \cdot u’(x)
Hint 2: Velg u = 2x som kjerne, fordi vi kan derivere eu
Løsning:
Vi bruker kjerneregelen:
f’(\textcolor{red}{u(x)}) = f’(\textcolor{red}{u}) \textcolor{blue}{u’(x)} Velger u(x) = 2x som kjerne, fordi vi kan derivere eu, men ikke e2x.
\textcolor{red}{u(x) = 2x} \\ h(\textcolor{red}{u}) = e^{\textcolor{red}{u}}\Rightarrow
\textcolor{blue}{u'(x) = 2} \\ h’(\textcolor{red}{u}) = e^{\textcolor{red}{u}}\begin{aligned}
h(x) & = e^{\textcolor{red}{2x}} \\
\Rightarrow \quad h’(x) & = e^ {\textcolor{red}{2x}} \cdot \textcolor{blue}{\frac{d}{dx} (2x)} \\
\Rightarrow \quad h’(x) & = e^{\textcolor{red}{2x}} \cdot \textcolor{blue}{2} \\
\Rightarrow \quad h’(x) & = 2 e^{2x}
\end{aligned}Video: Under produksjon
Finn den deriverte:
f(x) = e^{3x^2 + 7}Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
f’(x) = 6xe^{3x^2 + 7}Hint 1: Bruk kjerneregelen
f’(u(x)) = f’(u) \cdot u’(x)
Hint 2: Velg u = 3x2 + 7 som kjerne, fordi vi kan derivere eu
Løsning:
Vi bruker kjerneregelen:
f’(\textcolor{red}{u(x)}) = f’(\textcolor{red}{u}) \textcolor{blue}{u’(x)} Velger u(x) = 3x2 + 7 som kjerne, fordi vi kan derivere eu.
\textcolor{red}{u(x) = 3x^2 + 7} \\ f(\textcolor{red}{u}) = e^{\textcolor{red}{u}}\Rightarrow
\textcolor{blue}{u'(x) = 6x} \\ f’(\textcolor{red}{u}) = e^{\textcolor{red}{u}}\begin{aligned}
f(x) & = e^{\textcolor{red}{3x^2 + 7}} \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = e^ {\textcolor{red}{3x^2 + 7}} \cdot \textcolor{blue}{\frac{d}{dx} (3x^2 + 7)} \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = e^{\textcolor{red}{3x^2 + 7}} \cdot \textcolor{blue}{6x} \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = 6x e^{3x^2 + 7}
\end{aligned}Video: Under produksjon
Finn den deriverte:
f(x) = \sqrt{3x^2 + 7}Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
f’(x) = \frac{3x}{3x^2 + 7}\sqrt{3x^2 + 7}Hint 1: Bruk kjerneregelen
f’(u(x)) = f’(u) \cdot u’(x)
Hint 2: Velg u = 3x2 + 7 som kjerne, fordi vi kan derivere √u
Løsning:
Vi bruker kjerneregelen:
f’(\textcolor{red}{u(x)}) = f’(\textcolor{red}{u}) \textcolor{blue}{u’(x)} Velger u(x) = 3x2 + 7 som kjerne, fordi vi kan derivere √u.
\textcolor{red}{u(x) = 3x^2 + 7} \\ f(\textcolor{red}{u}) = \sqrt{\textcolor{red}{u}} = \textcolor{red}{u}^{1/2}\Rightarrow
\textcolor{blue}{u'(x) = 6x} \\ f’(\textcolor{red}{u}) = \frac{1}{2} {\textcolor{red}{u}}^{-1/2}\begin{aligned}
f(x) & = \sqrt{\textcolor{red}{3x^2 + 7}} \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = \frac{1}{2}(\textcolor{red}{3x^2 + 7})^{-1/2} \cdot \textcolor{blue}{\frac{d}{dx} (3x^2 + 7)} \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = \frac{1}{2\textcolor{red}{\sqrt{3x^2 + 7}}} \cdot \textcolor{blue}{6x}
\end{aligned}Fordi røtter ikke ser bra ut i nevneren, multipliserer vi med roten både i teller og nevner.
f’(x) = \frac{3x \sqrt{3x^2 + 7}}{3x^2 + 7} Video: Under produksjon
Finn den deriverte:
f(x) = \frac{1}{3x^2 + 7}Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
f’(x) = - \frac{6x}{(3x^2 + 7)^2}Hint 1: Bruk kjerneregelen
f’(u(x)) = f’(u) \cdot u’(x)
Hint 2: Velg u = 3x2 + 7 som kjerne, fordi vi kan derivere 1/u
Løsning:
Vi bruker kjerneregelen:
f’(\textcolor{red}{u(x)}) = f’(\textcolor{red}{u}) \textcolor{blue}{u’(x)} Velger u(x) = 3x2 + 7 som kjerne, fordi vi kan derivere 1/u.
\textcolor{red}{u(x) = 3x^2 + 7} \\ f(\textcolor{red}{u}) = \frac{1}{\textcolor{red}{u}} = \textcolor{red}{u}^{-1}\Rightarrow
\textcolor{blue}{u'(x) = 6x} \\ f’(\textcolor{red}{u}) = - {\textcolor{red}{u}}^{-2}\begin{aligned}
f(x) & = \frac{1}{\textcolor{red}{3x^2 + 7}} \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = -(\textcolor{red}{3x^2 + 7})^{-2} \cdot \textcolor{blue}{\frac{d}{dx} (3x^2 + 7)} \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = - \frac{1}{(\textcolor{red}{3x^2 + 7})^2} \cdot \textcolor{blue}{6x} \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = - \frac{6x}{(3x^2 + 7)^2}
\end{aligned}Video: Under produksjon
Finn den deriverte:
f(t) = \ln(3t^2 + 7)
Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
f’(t) = \frac{6t}{3t^2 + 7}Hint 1: Bruk kjerneregelen
f’(u(x)) = f’(u) \cdot u’(x)
Hint 2: Velg u = 3t2 + 7 som kjerne, fordi vi kan derivere ln(u)
Løsning:
Vi bruker kjerneregelen:
f’(\textcolor{red}{u(x)}) = f’(\textcolor{red}{u}) \textcolor{blue}{u’(x)} Velger u(t) = 3t2 + 7 som kjerne, fordi vi kan derivere 1/u.
\textcolor{red}{u(t) = 3t^2 + 7} \\ f(\textcolor{red}{u}) = \ln(\textcolor{red}{u})\Rightarrow
\textcolor{blue}{u'(t) = 6t} \\ f’(\textcolor{red}{u}) = \frac{1}{\textcolor{red}{u}}\begin{aligned}
f(t) & = \ln (\textcolor{red}{3t^2 + 7}) \\
\Rightarrow \quad f’(t) & = \frac{1}{\textcolor{red}{3t^2 + 7}} \cdot \textcolor{blue}{\frac{d}{dt} (3t^2 + 7)} \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = \frac{1}{\textcolor{red}{3t^2 + 7}} \cdot \textcolor{blue}{6t} \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = \frac{6t}{3t^2 + 7}
\end{aligned}Video: Under produksjon
Finn den deriverte:
f(x) = e^{\sin(5x + 3)}Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
f’(x) = 5 \cos(5x + 3) e^{\sin(5x+3)}Hint 1: Bruk kjerneregelen to ganger
f’(u(x)) = f’(u) \cdot u’(x)
Hint 2: Velg u = sin(5x + 3) første gang du bruker kjerneregelen og u = 5x + 3 andre gang
Løsning:
Vi bruker kjerneregelen:
f’(\textcolor{red}{u(x)}) = f’(\textcolor{red}{u}) \textcolor{blue}{u’(x)} Velger u(x) = sin(5x + 3) som kjerne, i kjerneregelen:
\begin{aligned}
f(x) & = e^{\textcolor{red}{\sin(5x + 3)}} \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = e^{\textcolor{red}{\sin(5x + 3)}} \cdot \textcolor{blue}{\frac{d}{dx} \sin(5x + 3)}
\end{aligned}Må bruke kjerneregelen en gang til for å derivere sin(5x + 3), og velger u(x) = 5x + 3 som kjerne:
\begin{aligned}
f’(x) & = e^{\sin(5x + 3)} \cdot \frac{d}{dx} \sin(\textcolor{red}{5x + 3}) \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = e^{\sin(5x + 3)} \cdot \cos(\textcolor{red}{5x + 3}) \cdot \textcolor{blue}{\frac{d}{dx} (5x + 3)} \\
\Rightarrow \qquad f’(x) & = e^{\sin(5x + 3)} \cdot \cos(\textcolor{red}{5x + 3}) \cdot \textcolor{blue}{5} \\
\Rightarrow \qquad f’(x) & = 5 \cos(5x + 3) e^{\sin(5x + 3)}
\end{aligned}
Video: Under produksjon
Finn den deriverte:
f(x) = (\ln(x^2 + 3))^9
Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
f’(x) = \frac{18x (\ln(x^2+3))^8}{x^2 + 3}Hint 1: Bruk kjerneregelen to ganger
f’(u(x)) = f’(u) \cdot u’(x)
Hint 2: Velg u = ln(x2 + 3) første gang du bruker kjerneregelen og u = x2 + 3 andre gang
Løsning:
Vi bruker kjerneregelen:
f’(\textcolor{red}{u(x)}) = f’(\textcolor{red}{u}) \textcolor{blue}{u’(x)} Velger u(x) = ln(x2 + 3) som kjerne, i kjerneregelen:
\begin{aligned}
f(x) & = (\textcolor{red}{\ln(x^2 + 3)})^9 \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = 9 (\textcolor{red}{\ln(x^2 + 3)})^8 \cdot \textcolor{blue}{\frac{d}{dx} \ln(x^2 + 3)}
\end{aligned}Må bruke kjerneregelen en gang til for å derivere ln(x2 + 3), og velger u(x) = x2 + 3 som kjerne:
\begin{aligned}
f’(x) & = 9 (\ln(x^2 + 3))^8 \cdot \frac{d}{dx} \ln(\textcolor{red}{x^2 + 3}) \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = 9 (\ln (5x + 3))^8 \cdot \frac{1}{\textcolor{red}{x^2 + 3}} \cdot \textcolor{blue}{\frac{d}{dx} (x^2 + 3)} \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = 9 (\ln(x^2 + 3))^8 \cdot \frac{1}{\textcolor{red}{x^2 + 3}} \cdot \textcolor{blue}{2x} \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = \frac{18x (\ln(x^2+3))^8 }{x^2 + 3}
\end{aligned}
Video: Under produksjon
Finn ligningen til tangenten til f(x) i x = 3 når:
f(x) = x^2
Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
y = 6x - 9
Hint 1: Bruk ligningen for tangenten:
y = f’(x_0)(x - x_0) + f’(x_0)
Hint 2: Sett x0 = 3
Løsning:
Vi tar utgangspunkt i ligningen for en tangent:
y = f’(x_0) (x - x_0) + f(x_0)
Setter x0 = 3:
y = f’(3) (x - 3) + f(3)
Finner f(3) og f’(3):
\begin{aligned}
f(x) = x^2 & \quad \Rightarrow \quad & f(3) & = 3^2 = 9 \\
f’(x) = 2x & \quad \Rightarrow \quad & f’(3) & = 2 \cdot 3 = 6
\end{aligned}
Setter inn i ligningen:
y = 6 (x - 3) + 9
Og rydder litt:
\begin{aligned}
y & = 6 x - 18 + 9 \\
\Rightarrow \quad y & = 6x - 9
\end{aligned}Video: Under produksjon
Finn ligningen til tangenten til f(x) i x = 2 når:
f(x) = x^3 - 2x
Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
y = 10x - 16
Hint 1: Bruk ligningen for tangenten:
y = f’(x_0)(x - x_0) + f’(x_0)
Hint 2: Sett x0 = 2
Løsning:
Vi tar utgangspunkt i ligningen for en tangent:
y = f’(x_0) (x - x_0) + f(x_0)
Setter x0 = 2:
y = f’(2) (x - 2) + f(2)
Finner f(2) og f’(2):
\begin{aligned}
f(x) = x^3 - 2x & \quad \Rightarrow \quad & f(2) & = 2^3 - 2 \cdot 2 = 4 \\
f’(x) = 3x^2 - 2 & \quad \Rightarrow \quad & f’(2) & = 3 \cdot 2^2 - 2 = 10
\end{aligned}
Setter inn i ligningen:
y = 10 (x - 2) + 4
Og rydder litt:
\begin{aligned}
y & = 10 x - 20 + 4 \\
\Rightarrow \quad y & = 10x - 16
\end{aligned}Video: Under produksjon
Finn ligningen til tangenten til f(x) i x = 1 når:
f(x) = 1 - x^2
Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
y = -2x + 2
Hint 1: Bruk ligningen for tangenten:
y = f’(x_0)(x - x_0) + f’(x_0)
Hint 2: Sett x0 = 1
Løsning:
Vi tar utgangspunkt i ligningen for en tangent:
y = f’(x_0) (x - x_0) + f(x_0)
Setter x0 = 1:
y = f’(1) (x - 0) + f(1)
Finner f(1) og f’(1):
\begin{aligned}
f(x) = 1 - x^2 & \quad \Rightarrow \quad & f(1) & = 1 - 1^2 = 0 \\
f’(x) = - 2x & \quad \Rightarrow \quad & f’(1) & = -2 \cdot 1 = -2
\end{aligned}
Setter inn i ligningen:
\begin{aligned}
y & = -2 \cdot (x - 1) + 0 \\
\Rightarrow \quad y & = -2x + 2
\end{aligned}Video: Under produksjon
Finn ligningen til tangenten til f(x) i x = 0 når:
f(x) = 1 - x^2
Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
y = 1
Hint 1: Bruk ligningen for tangenten:
y = f’(x_0)(x - x_0) + f’(x_0)
Hint 2: Sett x0 = 0
Løsning:
Vi tar utgangspunkt i ligningen for en tangent:
y = f’(x_0) (x - x_0) + f(x_0)
Setter x0 = 0:
y = f’(0) (x - 0) + f(0)
Finner f(0) og f’(0):
\begin{aligned}
f(x) = 1 - x^2 & \quad \Rightarrow \quad & f(0) & = 1 \\
f’(x) = - 2x & \quad \Rightarrow \quad & f’(0) & = 0
\end{aligned}
Setter inn i ligningen:
\begin{aligned}
y & = 0 \cdot (x - 0) + 1 \\
\Rightarrow \quad y & = 1
\end{aligned}Siden f’(0) = 0, gir x = 0 et topp- eller bunnpunkt og tangenten er horisontal.
Video: Under produksjon
Finn ligningen til tangenten til f(x) i x = 0 når:
f(x) = \sin(x)
Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
y = x
Hint 1: Bruk ligningen for tangenten:
y = f’(x_0)(x - x_0) + f’(x_0)
Hint 2: Sett x0 = 0
Løsning:
Vi tar utgangspunkt i ligningen for en tangent:
y = f’(x_0) (x - x_0) + f(x_0)
Setter x0 = 0:
y = f’(0) (x - 0) + f(0)
Finner f(0) og f’(0):
\begin{aligned}
f(x) = \sin(x) & \quad \Rightarrow \quad & f(0) & = \sin(0) = 0 \\
f’(x) = \cos(x) & \quad \Rightarrow \quad & f’(0) & = \cos(0) = 1
\end{aligned}
Setter inn i ligningen:
\begin{aligned}
y & = 1 \cdot (x - 0) + 0 \\
\Rightarrow \quad y & = x
\end{aligned}For små x-verdier, er derfor y = x en grei approksimasjon for y = sin(x).
Video: Under produksjon
Finn ligningen til tangenten til f(x) i x = 0 når:
f(x) = \cos(x)
Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
y = 1
Hint 1: Bruk ligningen for tangenten:
y = f’(x_0)(x - x_0) + f’(x_0)
Hint 2: Sett x0 = 0
Løsning:
Vi tar utgangspunkt i ligningen for en tangent:
y = f’(x_0) (x - x_0) + f(x_0)
Setter x0 = 0:
y = f’(0) (x - 0) + f(0)
Finner f(0) og f’(0):
\begin{aligned}
f(x) & = \cos(x) & \quad \Rightarrow \quad f(0) = & \cos(0) = 1 \\
f’(x) & = -\sin(x) & \quad \Rightarrow \quad f’(0) = & -\sin(0) = 0
\end{aligned}
Setter inn i ligningen:
\begin{aligned}
y & = 0 \cdot (x - 0) + 1 \\
\Rightarrow \quad y & = 1
\end{aligned}Siden f’(0) = 0, gir x = 0 et topp- eller bunnpunkt med en horisontal tangent.
Video: Under produksjon
Finn ligningen til tangenten til f(x) i x = π/2 når:
f(x) = \cos(x)
Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
y = 1
Hint 1: Bruk ligningen for tangenten:
y = f’(x_0)(x - x_0) + f’(x_0)
Hint 2: Sett x0 = π/2
Løsning:
Vi tar utgangspunkt i ligningen for en tangent:
y = f’(x_0) (x - x_0) + f(x_0)
Setter x0 = π/2:
y = f’(\pi/2) (x - \pi/2) + f(\pi/2)
Finner f(π/2) og f’(π/2):
\begin{aligned}
f(x) & = \cos(x) & \quad \Rightarrow \quad f(\pi/2) = & \cos(\pi/2) = 0 \\
f’(x) & = -\sin(x) & \quad \Rightarrow \quad f’(\pi/2) = & -\sin(\pi/2) = -1
\end{aligned}
Setter inn i ligningen:
\begin{aligned}
y & = -1 \cdot (x - \pi/2) + 0 \\
\Rightarrow \quad y & = -x + \pi/2
\end{aligned}Video: Under produksjon
Finn tangentene til f(x) med stigningstall 3 når:
f(x) = x^3
Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
y = f(x) har to tangenter med stigningstall 3:
\begin{aligned}
y & = 3x + 2\\
y & = 3x - 2
\end{aligned} Hint 1: Tangentene har stigningstall f’(x). Vi må derfor finne x-verdier som gir f’(x) = 3.
Hint 2: Bruk ligningen for tangenten:
y = f’(x_0)(x - x_0) + f’(x_0)
Løsning:
Tangentene har stigningstall f’(x). Vi må derfor finne x-verdiene som gir f’(x) = 3.
\begin{aligned}
& f’(x) = 3 \\
\Rightarrow \quad & 3x^2 = 3 \\
\Rightarrow \quad & x = \pm 1
\end{aligned}f(x) har dermed to tangenter som har stigningstall 3. En når x = -1 og en når x = 1. Vi bruker ligningen for en tangent:
y = f’(x_0) (x - x_0) + f(x_0)
Først setter vi x0 = -1 for å finne en tangent:
\begin{aligned}
& \textcolor{red}{y = f’(-1) (x - (-1)) + f(-1)} \\
\Rightarrow \quad & \textcolor{red}{y = 3 (x + 1) + (-1)^3} \\
\Rightarrow \quad & \textcolor{red}{y = 3x + 3 - 1} \\
\Rightarrow \quad & \textcolor{red}{y = 3x + 2}
\end{aligned} Deretter setter vi x0 = 1 for å finne en tangent til:
\begin{aligned}
& \textcolor{green}{y = f’(1) (x - 1) + f(1)} \\
\Rightarrow \quad & \textcolor{green}{y = 3 (x - 1) + 1^3} \\
\Rightarrow \quad & \textcolor{green}{y = 3x - 3 + 1} \\
\Rightarrow \quad & \textcolor{green}{y = 3x - 2}
\end{aligned} Video: Under produksjon
Finn tangentene til f(x) som krysser y-aksen i y = 2, når:
f(x) = 1 - x^2
Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
y = f(x) har to tangenter som krysser x-aksen i y = 2:
\begin{aligned}
y & = 2x + 2\\
y & = -2x + 2
\end{aligned} Hint 1: La x0 være ukjent i ligningen for tangenten:
y = f’(x_0)(x - x_0) + f’(x_0)
Hint 2: Sett (x,y) = (0,2) inn i ligningen for tangenten for å finne x0.
Løsning:
Vi lar x0 være ukjent i ligningen for en tangent:
y = f’(x_0) (x - x_0) + f(x_0)
Finner f(x0) og f’(x0):
\begin{aligned}
f(x) & = 1 - x^2 & \quad \Rightarrow \quad f(x_0) = & 1 - x_0^2 \\
f’(x) & = - 2x & \quad \Rightarrow \quad f’(x_0) = & - 2x_0
\end{aligned}
Setter inn i ligningen for tangenten:
y = - 2x_0 (x - x_0) + (1 - x_0^2)
Siden tangentene skal krysse y-aksen i y = 2, må punktet (x,y) = (0,2) tilfredsstille ligningen:
\begin{aligned}
2 & = - 2x_0 (0 - x_0) + (1 - x_0^2)
\end{aligned}Her er x0 eneste ukjent. Derfor rydder vi litt i ligningen slik at vi kan løse den:
\begin{aligned}
2 & = 2x_0^2 + 1 - x_0^2 \\
\Rightarrow \quad \;\;\: 1 & = x_0^2 \\
\Rightarrow \quad \pm 1& = x_0
\end{aligned}f(x) har dermed to tangenter som krysser y-aksen i y = 2. En når x0 = -1 og en når x0 = 1. Vi setter x0 = -1 for å finne den ene tangenten
\begin{aligned}
& \textcolor{red}{y = - 2x_0 (x - x_0) + (1 - x_0^2)} \\
\Rightarrow \quad & \textcolor{red}{y = - 2 (-1) (x - (-1)) + (1 - (-1)^2)} \\
\Rightarrow \quad & \textcolor{red}{y = 2(x + 1) + (1 - 1)} \\
\Rightarrow \quad & \textcolor{red}{y = 2x + 2}
\end{aligned} Deretter setter vi x0 = 1 for å finne en tangent til:
\begin{aligned}
& \textcolor{green}{y = - 2x_0 (x - x_0) + (1 - x_0^2)} \\
\Rightarrow \quad & \textcolor{green}{y = - 2 \cdot 1 (x - 1) + (1 - 1^2)} \\
\Rightarrow \quad & \textcolor{green}{y = - 2 (x - 1) + (1 - 1)} \\
\Rightarrow \quad & \textcolor{green}{y = - 2x + 2}
\end{aligned} Video: Under produksjon
Bruk lineær tilnærming for å finne en tilnærmet verdi for kvadratroten av 5.
Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
Lineær tilnærming gir at kvadratroten av 5 er tilnærmet 2.25
Hint 1: Bruk formelen for lineær tilnærming:
f(x) \approx f’(x_0)(x - x_0) + f’(x_0)
Hint 2: Sett x0 lik et kvadrattall nær 5.
Løsning:
Vi bruker formelen for lineær tilnærming:
f(x) \approx f’(x_0) (x - x_0) + f(x_0)
når
f(x) = \sqrt{x}Vi må nå velge et tall nær 5 og som vi vet kvadratroten til. Siden 4 er nærme, setter vi x0 = 4:
f(x) \approx f’(4) (x - 4) + f(4)
Finner f(4) og f’(4):
\begin{aligned}
f(x) & = \sqrt{x} & \quad \Rightarrow \quad f(4) = & \sqrt{4} = 2 \\
f’(x) & = \frac{1}{2\sqrt{x}} & \quad \Rightarrow \quad f’(4) = & \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{4}
\end{aligned}
Bruk derivasjon av potenser for å derivere kvadratroten.
Setter inn i formelen for lineær tilnærming:
\sqrt{x} \approx \frac{1}{4} (x - 4) + 2 Nå kan vi sette x = 5 for å få en tilnærmet verdi til kvadratroten av 5:
\sqrt{5} \approx \frac{1}{4} (5 - 4) + 2 = 2.25 Det eksakte svaret er 2.23606…
Video: Under produksjon
Bruk lineær tilnærming for å finne en tilnærmet verdi for kvadratroten av 12.
Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
Lineær tilnærming gir at kvadratroten av 12 er tilnærmet 3.5
Hint 1: Bruk formelen for lineær tilnærming:
f(x) \approx f’(x_0)(x - x_0) + f’(x_0)
Hint 2: Sett x0 lik et kvadrattall nær 12.
Løsning:
Vi bruker formelen for lineær tilnærming:
f(x) \approx f’(x_0) (x - x_0) + f(x_0)
når
f(x) = \sqrt{x}Vi må nå velge et tall nær 12 og som vi vet kvadratroten til. Både 9 og 16 er gode alternativer og begge vil gi gode tilnærmelser. Hvis vi velger 9, setter vi x0 = 9:
f(x) \approx f’(9) (x - 9) + f(9)
Finner f(9) og f’(9):
\begin{aligned}
f(x) & = \sqrt{x} & \quad \Rightarrow \quad f(9) = & \sqrt{9} = 3 \\
f’(x) & = \frac{1}{2\sqrt{x}} & \quad \Rightarrow \quad f’(9) = & \frac{1}{2\sqrt{9}} = \frac{1}{6}
\end{aligned}
Bruk derivasjon av potenser for å derivere kvadratroten.
Setter inn i formelen for lineær tilnærming:
\sqrt{x} \approx \frac{1}{6} (x - 9) + 3 Nå kan vi sette x = 12 for å få en tilnærmet verdi til kvadratroten av 12:
\sqrt{12} \approx \frac{1}{6} (12 - 9) + 3 = 3.5 Det eksakte svaret er 3.46410…
Hvis vi hadde satt x0 = 16, ville vi fått:
\begin{aligned}
\sqrt{x} & \approx \frac{1}{8} (x - 16) + 4 \\
\Rightarrow \quad \sqrt{12} & \approx \frac{1}{8}(12-16) + 4 = 3.5
\end{aligned}som tilfeldigvis er samme svar.
Video: Under produksjon
Bruk lineær tilnærming for små $x$-verdier for å finne en tilnærmet verdi for e0.5.
Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
Lineær tilnærming gir 1.5 dersom du velger f(x) = ex og finner en tilnærming rundt x0 = 0.
Hint 1: Bruk formelen for lineær tilnærming:
f(x) \approx f’(x_0)(x - x_0) + f’(x_0)
Hint 2: Sett x0 = 0.
Løsning:
Vi bruker formelen for lineær tilnærming:
f(x) \approx f’(x_0) (x - x_0) + f(x_0)
når
f(x) = e^x
Vi må nå velge et tall nær 0.5. Her er null et bra alternativ fordi e0 = 1, men vi kan egentlig velge det vi ønsker. Hvis vi velger null, setter vi x0 = 0:
f(x) \approx f’(0) (x - 0) + f(0)
Finner f(0) og f’(0):
\begin{aligned}
f(x) & = e^x & \quad \Rightarrow \quad f(0) = & e^0 = 1 \\
f’(x) & = e^x & \quad \Rightarrow \quad f’(0) = & e^0 = 1
\end{aligned}
Setter inn i formelen for lineær tilnærming:
\begin{aligned}
e^x & \approx 1(x - 0) + 1\\
\Rightarrow \quad e^x & \approx x + 1
\end{aligned}Nå kan vi sette x = 0.5 for å få en tilnærmet verdi til e0.5:
e^{0.5} \approx 0.5 + 1 = 1.5Det eksakte svaret er 1.64872…
Video: Under produksjon
Bruk lineær tilnærming for små $x$-verdier for å finne en tilnærmet verdi for sin(0.1) og sin(1). Og gjør en kort vurdering av nøyaktigheten.
Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
Lineær tilnærming for sin(0.1) gir 0.1 og for sin(1) gir 1 dersom du velger f(x) = sin(x) og finner en tilnærming rundt x0 = 0. Jo lengre vekk fra x = x0, jo mer unøyaktig blir de tilnærmede verdiene.
Hint 1: Bruk formelen for lineær tilnærming:
f(x) \approx f’(x_0)(x - x_0) + f’(x_0)
Hint 2: Sett x0 = 0.
Løsning:
Vi bruker formelen for lineær tilnærming:
f(x) \approx f’(x_0) (x - x_0) + f(x_0)
når
f(x) = \sin(x)
Vi må nå velge et tall nær 0.1 og 1. Her er null et bra alternativ, men vi kan egentlig velge det vi ønsker. Og vi kan også velge to forskjellige verdier. Hvis vi velger null, setter vi x0 = 0:
f(x) \approx f’(0) (x - 0) + f(0)
Finner f(0) og f’(0):
\begin{aligned}
f(x) & = \sin(x) & \quad \Rightarrow \quad f(0) = & \sin(0) = 0 \\
f’(x) & = \cos(x) & \quad \Rightarrow \quad f’(0) = & \cos(0) = 1
\end{aligned}
Setter inn i formelen for lineær tilnærming:
\begin{aligned}
\sin(x) & \approx 1(x - 0) + 0 \\
\Rightarrow \quad \sin(x) & \approx x
\end{aligned}Nå kan vi sette x = 0.1 eller 1 for å få tilnærmete verdier:
\sin(0.1) \approx 0.1 \\ \sin(1) \approx 1
De eksakte verdiene er 0.099833… og 0.84147… . Jo lengre vekk fra x0 = 0, jo mer unøyaktig blir de tilnærmede verdiene.
Video: Under produksjon
Finn en lineær tilnærming rundt x = 1 for arealet til et rektangel med sidekanter 0.4x og x. Bruk tilnærmingen til å finne tilnærmede verdier for x = 1.1 og x = 5. Og gjør en kort vurdering av nøyaktigheten.
Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
Lineær tilnærming for 1.1 gir 0.48 og for 5 gir 3.6. Jo lengre vekk fra x = 1, jo mer unøyaktig blir de tilnærmede verdiene.
Hint 1: Bruk formelen for lineær tilnærming:
f(x) \approx f’(x_0)(x - x_0) + f’(x_0)
Hint 2: Sett f(x) = 0.4x2 og x0 = 1.
Løsning:
Vi bruker formelen for lineær tilnærming:
f(x) \approx f’(x_0) (x - x_0) + f(x_0)
når f(x) er arealet til et rektangel med sidekanter 0.4x og x:
\begin{aligned}
f(x) &= 0.4x \cdot x \\
\Rightarrow \quad f(x) &= 0.4x^2
\end{aligned}I oppgaven står det at vi skal sette vi x0 = 1:
f(x) \approx f’(1) (x - 1) + f(1)
Finner f(1) og f’(1):
\begin{aligned}
f(x) & = 0.4x^2 & \quad \Rightarrow \quad f(1) = & 0.4 \\
f’(x) & = 0.8x & \quad \Rightarrow \quad f’(1) = & 0.8
\end{aligned}
Setter inn i formelen for lineær tilnærming:
f(x) \approx 0.8(x - 1) + 0.4
Nå kan vi sette x = 1.1 eller 5 for å få tilnærmete verdier:
f(1.1) \approx 0.8(1.1 - 1) + 0.4 = 0.48 \\ f(5) \approx 0.8(5 - 1) + 0.4 = 3.6
De eksakte verdiene er 0.484 og 10. Jo lengre vekk fra x0 = 1, jo mer unøyaktig blir de tilnærmede verdiene.
PS: Siden vi har det eksakte uttrykket, 0.4x2, bruker vi selvsagt det i stedet for en tilnærming, men det er ikke alltid vi klarer å regne ut eller har det eksakte uttrykket.
Video: Under produksjon