Derivasjon: Potenser

\frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}

+ Når brukes denne regelen?

Denne regelen bruker vi når vi skal derivere en variabel som har en potens. Noen ganger må vi skrive uttrykket litt om for å finne potensen:

x^{\textcolor{red}{9}} \\
x^{\textcolor{red}{5/4}} \\
x = x^{\textcolor{red}{1}} \\
\sqrt{x} = x^{\textcolor{red}{1/2}} \\
\frac{1}{x^4} = x^{\textcolor{red}{-4}} \\
\frac{1}{x} = x^{\textcolor{red}{-1}}

+ Hvordan brukes denne regelen?

Først må vi finne potensen, n. Deretter bruker vi formelen direkte.

Husk potensreglene:

\begin{aligned}
x^0 & = 1 \\
x^{-n} & = \frac{1}{x^n} \\
\sqrt{x} & = x^{1/2}
\end{aligned}

+ Hvordan utledes denne regelen?

Hvis n = 2, sier regelen at:

\frac{d}{dx} x^2 = 2 x

Dette kan vi sjekke ved å bruke definisjonen av den deriverte:

\begin{aligned}
& f(x) = x^2 \\
& f’(x) = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{f(x + \triangle x) - f(x)}{\triangle x}\\
\Rightarrow \qquad & f’(x) = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{(x + \triangle x)^2 - x^2}{\triangle x}
\end{aligned}

Vi må bruke første kvadratsetning, (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, på parentesen:

\begin{aligned}
& f’(x) = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{x^2 + 2 x \triangle x + (\triangle x)^2 - x^2}{\triangle x} \\
\Rightarrow \quad & f’(x) = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{2 x \triangle x + (\triangle x)^2}{\triangle x} \\
\Rightarrow \quad & f’(x) = \lim_{\triangle x \to 0} (2 x + \triangle x) \\
\Rightarrow \quad & f’(x) = 2 x
\end{aligned}

Og, vips, fikk vi det samme som regelen vår påstod.

Hvis n er et større tall enn to, blir regningen litt mer komplisert, men prinsippet er akkurat det samme:

\begin{aligned}
& f(x) = x^n \\
& f’(x) = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{(x + \triangle x)^n - x^n}{\triangle x} \\
\Rightarrow \quad & f’(x) = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{x^n + nx^{n-1} \triangle x + O((\triangle x)^2) - x^n}{\triangle x} \\
\Rightarrow \quad & f’(x) = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{nx^{n-1} \triangle x + O((\triangle x)^2)}{\triangle x} \\
\Rightarrow \quad & f’(x) = \lim_{\triangle x \to 0} \left( nx^{n-1} + O(\triangle x) \right) \\
\Rightarrow \quad & f’(x) = n x^{n-1}
\end{aligned}

De store O’ene forteller noe om orden. O(△x) betyr ledd skal multipliseres med △x, og disse blir jo borte når △x går mot null.

Og, vips, har vi vist regelen.

+ Eksempel: Deriver x9

\frac{d}{dx} x^9

Her er n = 9 og vi bruker formelen direkte:

\frac{d}{dx} x^9 = 9 x^8

Og, vips, er vi ferdige!

+ Eksempel: Deriver x5/4

\frac{d}{dx}  x^{5/4}

Her er n = 5/4 og vi bruker formelen direkte:

\begin{aligned}
& \frac{d}{dx} x^{5/4} = \frac{5}{4} x^{5/4 - 1} \\
\Rightarrow \qquad & \frac{d}{dx} x^{5/4} = \frac{5}{4} x^{1/4}
\end{aligned}

Og, vips, er vi ferdige!

+ Eksempel: Deriver x

\frac{d}{dx} x

Siden x = x1, blir n = 1 og vi kan bruke formelen direkte:

\frac{d}{dx} x = 1 \cdot x^0 = 1 \cdot 1 = 1

Og, vips, er vi ferdige!

+ Eksempel: Deriver √x

\frac{d}{dx} \sqrt{x}

Siden √x = x1/2, blir n = 1/2 og vi kan bruke formelen direkte:

\frac{d}{dx} \sqrt{x} = \frac{d}{dx} x^{1/2} = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}}{2x}

Og, vips, er vi ferdige!

+ Eksempel: Deriver 1/x4

\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x^4} \right)

Siden 1/x4 = x-4, blir n = -4 og vi kan bruke formelen direkte:

\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x^4} \right) = \frac{d}{dx} x^{-4} = -4 x^{-5} = - \frac{4}{x^5}

Og, vips, er vi ferdige!

+ Eksempel: Deriver 1/x

\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x} \right)

Siden 1/x = x-1, blir n = -1 og vi kan bruke formelen direkte:

\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x} \right) = \frac{d}{dx} x^{-1} = (-1) \cdot x^{-2} = - \frac{1}{x^2}

Og, vips, er vi ferdige!

← Matematikk

↓ Oppgaver

→ Trigonometriske funksjoner