Tre typer radoperasjoner:
1. To rader bytter plass, Ri ↔ Rj:
⇒ det(A) skifter fortegn
2. Multipliser en rad med en konstant ulik null, cRi → Ri:
⇒ det(A) multipliseres med konstanten
3. Adder en rad med multiplum av annen rad, Ri + cRj → Ri:
⇒ det(A) er uendret
+ 1. To rader bytter plass
Gitt:
A = \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{array} \right)Vi kan regne ut determinanten:
\det(A) = \left| \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{array} \right| = 2 \cdot 0 - 3 \cdot 2 = -6Hvis radene bytter plass, R1 ↔ R2, skifter determinanten fortegn:
\left| \begin{array}{cc} 3 & 0 \\ 1 & 2 \end{array} \right| = 3 \cdot 2 - 1 \cdot 0 = 6 = -\det(A)Hvis vi lar radene utspenne et areal og radene bytter plass, går vi fra et høyrehåndssystem til et venstrehåndssystem, men arealet er det samme:
+ 2. Multipliser rad med konstant ulik null
Gitt:
A = \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{array} \right)Vi kan regne ut determinanten:
\det(A) = \left| \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{array} \right| = 2 \cdot 0 - 3 \cdot 2 = -6Hvis vi multipliserer en av radene med en konstant, multipliseres determinanten med konstanten. Eksempler:
\begin{aligned}
\textcolor{red}{3}R_1 \to R_1: \quad & \left| \begin{array}{cc} 3 & 6 \\ 3 & 0 \end{array} \right| = 3 \cdot 0 - 6 \cdot 3 = -18 = \textcolor{red}{3} \det(A) \\
\textcolor{red}{-4}R_1 \to R_1: \quad & \left| \begin{array}{cc} -4 & -8 \\ 3 & 0 \end{array} \right| = (-4) \cdot 0 - (-8) \cdot 3 = -24 = \textcolor{red}{-4} \det(A) \\
\textcolor{red}{2}R_2 \to R_2: \quad & \left| \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 6 & 0 \end{array} \right| = 1 \cdot 0 - 6 \cdot 2 = -12 = \textcolor{red}{2} \det(A)
\end{aligned}Hvis vi lar radene utspenne et areal og en av radene for eksempel multipliseres med 2, blir det nye arealet dobbelt så stort:
+ 3. Adder et multiplum av en rad til en annen rad
Gitt:
A = \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{array} \right)Vi kan regne ut determinanten:
\det(A) = \left| \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{array} \right| = 2 \cdot 0 - 3 \cdot 2 = -6Hvis vi adderer et multiplum av en rad til en annen rad, er determinanten uendret. Eksempler:
R_1 + 2R_2 \to R_1: \quad \left| \begin{array}{cc} 7 & 2 \\ 3 & 0 \end{array} \right| = 7 \cdot 0 - 3 \cdot 2 = -6 = \det(A) \\
R_2 + 3R_1 \to R_2: \quad \left| \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 6 & 6 \end{array} \right| = 1 \cdot 6 - 2 \cdot 6 = -6 = \det(A) \\Vi kan la radene i A utspenne et areal:
Og hvis vi endrer en rad ved å legge til et multiplum av annen rad, blir parallellogrammet litt forvridd, men arealet er uendret:
+ Eksempel: Bruk radoperasjoner for å finne determinanten til en matrise
Gitt:
A = \left( \begin{array}{ccc} 3 & 8 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 0 \end{array} \right)Hvis vi bruker radoperasjoner til vi har en triangulær matrise, kan vi regne ut determinanten:
\begin{aligned}
\det(A) & = \left| \begin{array}{cc} 3 & 8 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 0 \end{array} \right| \\
R_1 \leftrightarrow R_2: \quad
\det(A) & = \textcolor{red}{-} \left| \begin{array}{cc} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 8 & 1 \\ 2 & 5 & 0 \end{array} \right| &\textnormal{(fortegn)} \\
\begin{array} {c}R_2 - 3R_1 \to R_2 \\ R_3 - 2R_1 \to R_2 \end{array} : \quad
\det(A) & = - \left| \begin{array}{cc} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & -8 \\ 0 & 1 & -6 \end{array} \right| &\textnormal{(uendret)} \\
\textcolor{red}{\frac{1}{2}} R_2\to R_2: \quad
\det(A) & = - \textcolor{red}{2} \left| \begin{array}{cc} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -4 \\ 0 & 1 & -6 \end{array} \right| &\textnormal{(faktor)} \\
R_3 - 2R_1 \to R_3 : \quad
\det(A) & = - 2 \underbrace{ \left| \begin{array}{cc} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -4 \\ 0 & 0 & -2 \end{array} \right|}_{\textnormal{triangulær}} &\textnormal{(uendret)} \\
\end{aligned}Determinanten til en triangulær matrise, er produktet av hoveddiagonalen:
\det(A) = -2 \cdot \underbrace{1 \cdot 1 \cdot (-2)}_{\textnormal{hoveddiagonalen}} = 4