La $\vec{x}_{k+1} = A\vec{x}_k$ være et dynamisk system med en $n \times n$ overgangsmatrise $A$ med $n$ lineært uavhengige egenvektorer. Da er den generelle løsningen for tilstandsvektor $\vec{x}_k$ gitt ved
\vec{x}_k = c_1 \lambda_1^k \vec{v}_1 + c_2 \lambda_2^k \vec{v}_2 + \cdots + c_n \lambda_n^k \vec{v}_n- $c_i$ er konstanter som ofte bestemmes av startbetingelsen
- $\lambda_i$ er egenverdier (alle ligger mellom -1 og 1, og minst én av egenverdiene er nøyaktig 1)
- $\vec{v}_i$ er egenvektoren til $\lambda_i$.
+ Metode for å finne den generelle løsningen
+ Kort video
Steg 1: Sett opp overgangsmatrisen $A$:
- Første rad, første kolonne ($a_{11}$): Sannsynligheten for at hvis du har alternativ 1 så vil det bli alternativ 1 også ved neste iterasjon.
- Første rad, andre kolonne ($a_{21}$): Sannsynligheten for at hvis du har alternativ 1, så vil det bli alternativ 2 ved neste iterasjon.
- osv.
Eksempel hvis du har tre alternativer:
A = \left( \begin{array}{ccc}
\textcolor{red}{\textnormal{alt. 1}} \to \textnormal{alt. 1} &
\textcolor{blue}{\textnormal{alt. 2}} \to \textnormal{alt. 1} &
\textcolor{green}{\textnormal{alt. 3}} \to \textnormal{alt. 1} \\
\textcolor{red}{\textnormal{alt. 1}} \to \textnormal{alt. 2} &
\textcolor{blue}{\textnormal{alt. 2}} \to \textnormal{alt. 2} &
\textcolor{green}{\textnormal{alt. 3}} \to \textnormal{alt. 2} \\
\textcolor{red}{\textnormal{alt. 1}} \to \textnormal{alt. 3} &
\textcolor{blue}{\textnormal{alt. 2}} \to \textnormal{alt. 3} &
\textcolor{green}{\textnormal{alt. 3}} \to \textnormal{alt. 3} \\
\end{array} \right)Sjekk at alle elementene i $A$ er ikke-negative og at kolonnesummene er lik 1.
Steg 2: Finn egenverdiene $\lambda$ ved å løse den karakteristiske ligningen:
\det(A- \lambda I) = 0
Sjekk at:
- alle egenverdiene ligger mellom -1 og 1
- minst en egenverdi er nøyaktig lik 1
- summen av hoveddiagonalen i $A$ er lik summen av egenverdier
Steg 3: Finn egenvektorene $\vec{v}_i$ til hver egenverdi $\lambda_i$ ved å løse:
(A - \lambda_i I) \vec{v}_i = 0Sjekk at $A\vec{v}_i = \lambda_i \vec{v}_i$
Steg 4: Sett egenverdiene og egenvektorene inn i uttrykket for generell løsning:
\vec{x}_k = c_1 \lambda_1^k \vec{v}_1 + c_2 \lambda_2^k \vec{v}_2 + \cdots + c_n \lambda_n^k \vec{v}_nSteg 5: Bestem konstanten $c_i$ ved hjelp av kjent tilstand. Ofte ved start.
Sjekk at løsningen stemmer ved den kjente tilstanden.
Steg 6: La $k \to \infty$ hvis du vil finne likevektstilstanden
+ Eksempel 1: Vann-damp
Vann helles i et glass. I vannflaten vil molekylene enten fordampe eller kondensere. Hvert sekund kondenserer 20% av gassmolekylene og 10% av vannmolekyler fordamper. Ved start er det kun vannmolekyler på overflaten. Finn likevektssituasjonen.
+ Video
+ Steg 1: Finn overgangsmatrisen
Overgangsmatrisen finner vi ved å se på sannsynlighetene for hva som skjer i neste iterasjon:
A = \left( \begin{array}{cc}
\textnormal{damp} \to \textnormal{damp} & \textnormal{vann} \to \textnormal{damp} \\
\textnormal{damp} \to \textnormal{vann} & \textnormal{vann} \to \textnormal{vann}
\end{array} \right)
= \left( \begin{array}{cc} 0.8 & 0.1 \\ 0.2 & 0.9 \end{array} \right)Dersom $A$ er en gyldig overgangsmatrise:
- Alle elementene må være ikke-negative
- Summen av hver kolonne i $A$ må være 1:
\textnormal{Summen av 1. kolonne: } \quad 0.8 + 0.2 = 1 \\
\textnormal{Summen av 2. kolonne: } \quad 0.1 + 0.9 = 1Vips, har vi en gyldig overgansmatrise.
+ Steg 2: Finn egenverdiene
Finner alle egenverdiene $\lambda$ ved å løse den karakteristiske ligningen:
\begin{aligned}
& \det(A - \lambda I) = 0 \\
\Rightarrow \quad & \left| \begin{array}{cc} 0.8 - \lambda & 0.1 \\ 0.2 & 0.9 - \lambda \end{array} \right| = 0\\
\Rightarrow \quad & (0.8 - \lambda)(0.9 - \lambda) - 0.1 \cdot 0.2 = 0 \\
\Rightarrow \quad & 0.72 - 0.8\lambda - 0.9\lambda + \lambda^2 - 0.02 = 0 \\
\Rightarrow \quad & \lambda^2 - 1.7 \lambda + 0.7 = 0
\end{aligned}Bruker andregradsformelen:
\begin{aligned}
& \lambda = \frac{- (-1.7) \pm \sqrt{(-1.7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0.7}}{2 \cdot 1} \\
\Rightarrow \qquad
& \lambda = \frac{1.7 \pm \sqrt{0.09}}{2} \\
\Rightarrow \qquad
& \lambda = \frac{1.7 \pm 0.3}{2} \\
\Rightarrow \qquad
& \lambda_1 = \frac{1.7 + 0.3}{2} = 1, \quad \lambda_2 = \frac{1.7 - 0.3}{2} = 0.7
\end{aligned}Og, vips, har vi to egenverdier, $\lambda_1 = 1$ og $\lambda_2 = 0.7$. Begge ligger mellom -1 og 1 og minst én av dem er nøyaktig 1.
Sjekker at summen av hoveddiagonalen i $A$ er lik summen av egenverdier:
\begin{aligned}
& \textnormal{Summen av hoveddiagonalen i } A: \quad &&0.8 + 0.9 = 1.7 \\
& \textnormal{Summen av egenverdier for } A: &&\lambda_1 + \lambda_2 = 1 + 0.7 = 1.7
\end{aligned}ok
+ Steg 3a: Finn egenvektoren til $\lambda_1 = 1$
For å finne egenvektoren $\vec{v}_1$ til egenverdien $\lambda_1 = -1$ må vi løse:
(A - \lambda_1 I) \vec{v}_1 = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad
\left( \begin{array}{cc} 0.8-\lambda_1 & 0.1 \\ 0.2 & 0.9-\lambda_1 \end{array} \right)
\left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \end{array} \right) =
\left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right)Løser ved å bruke radoperasjoner på den utvidete matrisen:
\left( \begin{array}{cc|c} 0.8 - \lambda_1 & 0.1 & 0 \\ 0.2 & 0.9-\lambda_1 & 0 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{cc|c} 0.8 - 1 & 0.1 & 0 \\ 0.2 & 0.9 - 1& 0 \end{array} \right) \\
= \left( \begin{array}{cc|c} -0.2 & 0.1 & 0 \\ 0.2 & -0.1 & 0 \end{array} \right) \\
\overset{-5R_1 \to R_1}{\sim}
\left( \begin{array}{cc|c} 1 & -0.5 & 0 \\ 0.2 & 0.1 & 0 \end{array} \right) \\
\overset{R_2 - 0.2R_1 \to R_2}{\sim}
\left( \begin{array}{cc|c} 1 & -0.5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)Siden andre kolonne mangler ledende ener, lar vi $v_2$ være en fri variabel. Den første raden tilsvarer:
v_1 - 0.5v_2 = 0 \quad \Rightarrow \quad v_1 = 0.5v_2
Setter den frie variabelen lik $t$, dvs. $v_2 = t$:
\vec{v}_1 = \left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \end{array} \right) =
\left( \begin{array}{c} 0.5 \\ 1 \end{array} \right) tAlle verdier for $t$ gir gyldige egenvektorer. Vi kan for eksempel velge $t = 2$ for å slippe desimaltall:
\vec{v}_1 = \left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)Sjekker om $A\vec{v}_1 = \lambda_1 \vec{v}_1$ ved hjelp av matrisemultiplikasjon:
\begin{aligned}
& A\vec{v}_1 = \left( \begin{array}{cc} 0.8 & 0.1 \\ 0.2 & 0.9 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} 0.8 \cdot 1 + 0.1 \cdot 2 \\ 0.2 \cdot 1 + 0.9 \cdot 2 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right) \\
& \lambda_1 \vec{v}_1
= 1 \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)
\end{aligned}ok.
+ Steg 3b: Finn egenvektoren til $\lambda_2 = 0.7$
For å finne egenvektoren $\vec{v}_2$ til egenverdien $\lambda_2 = 0.7$ må vi løse:
(A - \lambda_2 I) \vec{v}_2 = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad
\left( \begin{array}{cc} 0.8-\lambda_2 & 0.1 \\ 0.2 & 0.9-\lambda_2 \end{array} \right)
\left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \end{array} \right) =
\left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right)Løser ved å bruke radoperasjoner på den utvidete matrisen:
\left( \begin{array}{cc|c} 0.8 - \lambda_2 & 0.1 & 0 \\ 0.2 & 0.9-\lambda_2 & 0 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{cc|c} 0.8 - 0.7 & 0.1 & 0 \\ 0.2 & 0.9-0.7 & 0 \end{array} \right) \\
= \left( \begin{array}{cc|c} 0.1 & 0.1 & 0 \\ 0.2 & 0.2 & 0 \end{array} \right) \\
\overset{10R_1 \to R_1}{\sim}
\left( \begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 0 \\ 0.2 & 0.2 & 0 \end{array} \right) \\
\overset{R_2 - 0.2R_1 \to R_2}{\sim}
\left( \begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)Vi fikk en nullrad akkurat som vi forventet da vi satte determinanten lik null. Siden andre kolonne mangler ledende ener, lar vi $v_2$ være en fri variabel. Den første raden tilsvarer:
v_1 + v_2 = 0 \quad \Rightarrow \quad v_1 = -v_2
Setter den frie variabelen lik $t$, dvs. $v_2 = t$:
\vec{v}_2 = \left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \end{array} \right) =
\left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \right) tAlle verdier for $t$ gir gyldige egenvektorer. Vi kan for eksempel velge $t = 1$. Og, vips, har vi en egenvektor for egenverdien $\lambda_2 = 0.7$:
\vec{v}_2 = \left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \right)Sjekker om $A\vec{v}_2 = \lambda_2 \vec{v}_2$ ved hjelp av matrisemultiplikasjon:
\begin{aligned}
& A\vec{v}_2 = \left( \begin{array}{cc} 0.8 & 0.1 \\ 0.2 & 0.9 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} 0.8 \cdot (-1) + 0.1 \cdot 1 \\ 0.2 \cdot (-1) + 0.9 \cdot 1 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} -0.7 \\ 0.7 \end{array} \right) \\
& \lambda_2 \vec{v}_2
= 0.7 \left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} -0.7 \\ 0.7 \end{array} \right)
\end{aligned}ok.
+ Steg 4: Generell løsning
Generell løsning:
\vec{x}_k = c_1 \textcolor{red}{\lambda_1}^k \textcolor{blue}{\vec{v}_1} + c_2 \textcolor{red}{\lambda_2}^k \textcolor{blue}{\vec{v}_2} + \cdots + c_n \textcolor{red}{\lambda_n}^k \textcolor{blue}{\vec{v}_n}som her blir:
\begin{aligned}
& \vec{x}_k
= c_1 \cdot \textcolor{red}{1}^k \cdot \textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)}
+ c_2 \cdot \textcolor{red}{0.7}^k \cdot \textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \right)} \\
\Rightarrow \quad
& \vec{x}_k
= c_1 \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)
+ c_2 \cdot 0.7^k \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \right)
\end{aligned}+ Steg 5: Bestem konstantene
For å bestemme konstantene, trenger vi en kjent tilstand. Siden vi har fått oppgitt at ved start er det kun vannmolekyler på grenseflaten, har vi:
\vec{x}_0 = \left( \begin{array}{c} \textnormal{damp} \\ \textnormal{vann} \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)Nå kan vi bestemme konstantene $c_1$ og $c_2$:
\begin{aligned}
& \vec{x}_0
= c_1 \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)
+ c_2 \cdot 0.7^0 \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \right) \\
\Rightarrow \quad
& \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)
= c_1 \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)
+ c_2 \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \right) \\
\Rightarrow \quad
& \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)
= \left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{array} \right)
\left(\begin{array}{c} c_1 \\ c_2 \end{array} \right)
\end{aligned}Løser ved å bruke radoperasjoner på den utvidete matrisen:
\left( \begin{array}{cc|c} 1 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{array} \right) \\
\overset{R_2 - 2R_1 \to R_2}{\sim}
\left( \begin{array}{cc|c} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \end{array} \right) \\
\overset{R_2/3 \to R_2}{\sim}
\left( \begin{array}{cc|c} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{3} \end{array} \right) \\
\overset{R_1 + R_2 \to R_1}{\sim}
\left( \begin{array}{cc|c} 1 & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & \frac{1}{3} \end{array} \right)som gir $c_1 = c_2 = \frac{1}{3}$. Dermed har vi:
\vec{x}_k
= \frac{1}{3} \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)
+ \frac{1}{3} \cdot 0.7^k \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \right)Sjekker når $k = 0$:
\vec{x}_0
= \frac{1}{3} \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)
+ \frac{1}{3} \cdot 0.7^0 \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \right)
= \frac{1}{3} \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)
+ \frac{1}{3} \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \right)
= \frac{1}{3} \left(\begin{array}{c} 1 - 1 \\ 2 + 1\end{array} \right)
= \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)
ok
+ Steg 6: Likevekt
Når vi vil finne likevektstilstanden, lar vi $k \to \infty$ in den generelle løsningen:
\vec{v}
= \lim_{k \to \infty} \vec{x}_k
= \lim_{k \to \infty} \left(\frac{1}{3} \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)
+ \frac{1}{3} \cdot 0.7^k \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \right) \right)
= \frac{1}{3} \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)siden $0.7^k$ går mot null når $k$ går mot $\infty$. Dermed er det likevekt når en tredjedel av molekylene er dampmolekyler og to tredjedeler er vannmolekyler.
+ Eksempel 2: Ja eller nei?
En mann skifter mening hver gang han stilles et spørsmål. Sier han ja, er det 90% sannsynlighet for at han sier nei neste gang. Og sier han nei, er det 90% sannsynlighet for at han sier ja neste gang. Han svarer ja på første spørsmål. Finn likevektssituasjonen.
+ Steg 1: Finn overgangsmatrisen
Overgangsmatrisen finner vi ved å se på sannsynlighetene for hva som skjer i neste iterasjon:
A = \left( \begin{array}{cc}
\textnormal{ja} \to \textnormal{ja} & \textnormal{nei} \to \textnormal{ja} \\
\textnormal{ja} \to \textnormal{nei} & \textnormal{nei} \to \textnormal{nei}
\end{array} \right)
= \left( \begin{array}{cc} 0.1 & 0.9 \\ 0.9 & 0.1 \end{array} \right)Dersom $A$ er en gyldig overgangsmatrise:
- Alle elementene må være ikke-negative og summen av hver kolonne må være 1.
- Summen av hver kolonne i $A$ må være 1:
\textnormal{Summen av 1. kolonne: } \quad 0.1 + 0.9 = 1 \\
\textnormal{Summen av 2. kolonne: } \quad 0.9 + 0.1 = 1Vips, har vi en gyldig overgangsmatrise
+ Steg 2: Finn egenverdiene
Finner alle egenverdiene $\lambda$ ved å løse den karakteristiske ligningen:
\begin{aligned}
& \det(A - \lambda I) = 0 \\
\Rightarrow \quad & \left| \begin{array}{cc} 0.1 - \lambda & 0.9 \\ 0.9 & 0.1 - \lambda \end{array} \right| \\
\Rightarrow \quad & (0.1 - \lambda)(0.1 - \lambda) - 0.9 \cdot 0.9 = 0 \\
\Rightarrow \quad & 0.01 - 0.1\lambda - 0.1\lambda + \lambda^2 - 0.81 = 0 \\
\Rightarrow \quad & \lambda^2 - 0.2 \lambda - 0.8 = 0
\end{aligned}Bruker andregradsformelen:
\begin{aligned}
& \lambda = \frac{- (-0.2) \pm \sqrt{(-0.2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-0.8)}}{2 \cdot 1} \\
\Rightarrow \qquad
& \lambda = \frac{0.2 \pm \sqrt{3.24}}{2} \\
\Rightarrow \qquad
& \lambda = \frac{0.2 \pm 1.8}{2} \\
\Rightarrow \qquad
& \lambda_1 = \frac{0.2 + 1.8}{2} = 1, \quad \lambda_2 = \frac{0.2 - 1.8}{2} = -0.8
\end{aligned}Og, vips, har vi to egenverdier, $\lambda_1 = 1$ og $\lambda_2 = -0.8$. Begge ligger mellom -1 og 1 og minst én av dem er nøyaktig 1.
Sjekker at summen av hoveddiagonalen i $A$ er lik summen av egenverdier:
\begin{aligned}
& \textnormal{Summen av hoveddiagonalen i } A: \quad &&0.1 + 0.1 = 0.2 \\
& \textnormal{Summen av egenverdier for } A: &&\lambda_1 + \lambda_2 = 1 - 0.8 = 0.2
\end{aligned}ok
+ Steg 3a: Finn egenvektoren til $\lambda_1 = 1$
For å finne egenvektoren $\vec{v}_1$ til egenverdien $\lambda_1 = -1$ må vi løse:
(A - \lambda_1 I) \vec{v}_1 = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad
\left( \begin{array}{cc} 0.1-\lambda_1 & 0.9 \\ 0.9 & 0.1-\lambda_1 \end{array} \right)
\left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \end{array} \right) =
\left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right)Løser ved å bruke radoperasjoner på den utvidete matrisen:
\left( \begin{array}{cc|c} 0.1 - \lambda_1 & 0.9 & 0 \\ 0.9 & 0.1-\lambda_1 & 0 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{cc|c} 0.1 - 1 & 0.9 & 0 \\ 0.9 & 0.1 - 1& 0 \end{array} \right) \\
= \left( \begin{array}{cc|c} -0.9 & 0.9 & 0 \\ 0.9 & -0.9 & 0 \end{array} \right) \\
\overset{-R_1/0.9 \to R_1}{\sim}
\left( \begin{array}{cc|c} 1 & -1 & 0 \\ 0.9 & -0.9 & 0 \end{array} \right) \\
\overset{R_2 - 0.9R_1 \to R_2}{\sim}
\left( \begin{array}{cc|c} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)Siden andre kolonne mangler ledende ener, lar vi $v_2$ være en fri variabel. Den første raden tilsvarer:
v_1 - v_2 = 0 \quad \Rightarrow \quad v_1 = v_2
Setter den frie variabelen lik $t$, dvs. $v_2 = t$:
\vec{v}_1 = \left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \end{array} \right) =
\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right) tAlle verdier for $t$ gir gyldige egenvektorer. Vi kan for eksempel velge $t = 1$ for å slippe desimaltall:
\vec{v}_1 = \left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)Sjekker om $A\vec{v}_1 = \lambda_1 \vec{v}_1$ ved hjelp av matrisemultiplikasjon:
\begin{aligned}
& A\vec{v}_1 = \left( \begin{array}{cc} 0.1 & 0.9 \\ 0.9 & 0.1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} 0.1 \cdot 1 + 0.9 \cdot 1 \\ 0.9 \cdot 1 + 0.1 \cdot 1 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right) \\
& \lambda_1 \vec{v}_1
= 1 \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)
\end{aligned}ok.
+ Steg 3b: Finn egenvektoren til $\lambda_2 = -0.8$
For å finne egenvektoren $\vec{v}_2$ til egenverdien $\lambda_2 = -0.8$ må vi løse:
(A - \lambda_2 I) \vec{v}_2 = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad
\left( \begin{array}{cc} 0.1-\lambda_2 & 0.9 \\ 0.9 & 0.1-\lambda_2 \end{array} \right)
\left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \end{array} \right) =
\left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right)Løser ved å bruke radoperasjoner på den utvidete matrisen:
\left( \begin{array}{cc|c} 0.1 - \lambda_2 & 0.9 & 0 \\ 0.9 & 0.1-\lambda_2 & 0 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{cc|c} 0.1 - (-0.8) & 0.9 & 0 \\ 0.9 & 0.1 - (-0.8)& 0 \end{array} \right) \\
= \left( \begin{array}{cc|c} 0.9 & 0.9 & 0 \\ 0.9 & 0.9 & 0 \end{array} \right) \\
\overset{R_1/0.9 \to R_1}{\sim}
\left( \begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 0 \\ 0.9 & 0.9 & 0 \end{array} \right) \\
\overset{R_2 - 0.9R_1 \to R_2}{\sim}
\left( \begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)Vi fikk en nullrad akkurat som vi forventet da vi satte determinanten lik null. Siden andre kolonne mangler ledende ener, lar vi $v_2$ være en fri variabel. Den første raden tilsvarer:
v_1 + v_2 = 0 \quad \Rightarrow \quad v_1 = -v_2
Setter den frie variabelen lik $t$, dvs. $v_2 = t$:
\vec{v}_2 = \left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \end{array} \right) =
\left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \right) tAlle verdier for $t$ gir gyldige egenvektorer. Vi kan for eksempel velge $t = 1$. Og, vips, har vi en egenvektor for egenverdien $\lambda_2 = -0.8$:
\vec{v}_2 = \left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \right)Sjekker om $A\vec{v}_2 = \lambda_2 \vec{v}_2$ ved hjelp av matrisemultiplikasjon:
\begin{aligned}
& A\vec{v}_2 = \left( \begin{array}{cc} 0.1 & 0.9 \\ 0.9 & 0.1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} 0.1 \cdot (-1) + 0.9 \cdot 1 \\ 0.9 \cdot (-1) + 0.1 \cdot 1 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} 0.8 \\ -0.8 \end{array} \right) \\
& \lambda_2 \vec{v}_2
= -0.8 \left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} 0.8 \\ -0.8 \end{array} \right)
\end{aligned}ok.
+ Steg 4: Generell løsning
Generell løsning:
\vec{x}_k = c_1 \lambda_1^k \vec{v}_1 + c_2 \lambda_2^k \vec{v}_2 + \cdots + c_n \lambda_n^k \vec{v}_nsom her blir:
\begin{aligned}
& \vec{x}_k
= c_1 \cdot 1^k \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)
+ c_2 \cdot (-0.8)^k \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \right) \\
\Rightarrow \quad
& \vec{x}_k
= c_1 \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)
+ c_2 \cdot (-0.8)^k \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \right)
\end{aligned}+ Steg 5: Bestem konstantene
For å bestemme konstantene, trenger vi en kjent tilstand. Her har vi fått oppgitt at mannen svarte ja på første spørsmål, har vi:
\vec{x}_0 = \left( \begin{array}{c} \textnormal{ja} \\ \textnormal{nei} \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right)Nå kan vi bestemme konstantene $c_1$ og $c_2$:
\begin{aligned}
& \vec{x}_0
= c_1 \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)
+ c_2 \cdot (-0.8)^0 \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \right) \\
\Rightarrow \quad
& \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right)
= c_1 \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)
+ c_2 \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \right) \\
\Rightarrow \quad
& \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right)
= \left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{array} \right)
\left(\begin{array}{c} c_1 \\ c_2 \end{array} \right)
\end{aligned}Løser ved å bruke radoperasjoner på den utvidete matrisen:
\left( \begin{array}{cc|c} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} \right) \\
\overset{R_2 - R_1 \to R_2}{\sim}
\left( \begin{array}{cc|c} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \end{array} \right) \\
\overset{R_2/2 \to R_2}{\sim}
\left( \begin{array}{cc|c} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -\frac{1}{2} \end{array} \right) \\
\overset{R_1 + R_2 \to R_1}{\sim}
\left( \begin{array}{cc|c} 1 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & -\frac{1}{2} \end{array} \right)som gir $c_1 = \frac{1}{2}$ og $c_2 = -\frac{1}{2}$. Dermed har vi:
\vec{x}_k
= \frac{1}{2} \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)
- \frac{1}{2} \cdot (-0.8)^k \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \right)Sjekker når $k = 0$:
\vec{x}_0
= \frac{1}{2} \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)
- \frac{1}{2} \cdot (-0.8)^0 \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \right)
= \left(\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{array} \right)
+ \left(\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \end{array} \right)
= \left(\begin{array}{c} \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\end{array} \right)
= \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right)
ok
+ Steg 6: Likevekt
Dersom du vil finne likevektstilstanden, lar du $k \to \infty$ in den generelle løsningen:
\vec{v}
= \lim_{k \to \infty} \vec{x}_k
= \lim_{k \to \infty} \left(\frac{1}{2} \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)
- \frac{1}{2} \cdot (-0.8)^k \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \right) \right)
= \frac{1}{2} \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)siden $(-0.8)^k$ går mot null når $k$ går mot $\infty$. Dermed er det 50% sjanse for at mannen vil svare ja, når han har fått mange nok spørsmål.
+ Eksempel 3: «Ja, kjære!»
En mann svarer alltid «Ja, kjære!» hvis hans første svar er «Ja, kjære!». Dersom han svarer nei på første spørsmål, fortsetter han med det. Finn likevektssituasjonen.
+ Steg 1: Finn overgangsmatrisen
Overgangsmatrisen finner vi ved å se på sannsynlighetene for hva som skjer i neste iterasjon:
A = \left( \begin{array}{cc}
\textnormal{ja} \to \textnormal{ja} & \textnormal{nei} \to \textnormal{ja} \\
\textnormal{ja} \to \textnormal{nei} & \textnormal{nei} \to \textnormal{nei}
\end{array} \right)
= \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)Dersom $A$ er en gyldig overgangsmatrise:
- Alle elementene må være ikke-negative og summen av hver kolonne må være 1.
- Summen av hver kolonne i $A$ må være 1:
\textnormal{Summen av 1. kolonne: } \quad 1 + 0 = 1 \\
\textnormal{Summen av 2. kolonne: } \quad 0 + 1 = 1Vips, har vi en gyldig overgangsmatrise
+ Steg 2: Finn egenverdiene
Finner alle egenverdiene $\lambda$ ved å løse den karakteristiske ligningen:
\begin{aligned}
& \det(A - \lambda I) = 0 \\
\Rightarrow \quad & \left| \begin{array}{cc} 1 - \lambda & 0 \\ 0 & 1 - \lambda \end{array} \right| \\
\Rightarrow \quad & (1 - \lambda)(1 - \lambda) - 0 \cdot 0 = 0 \\
\Rightarrow \quad & (1 - \lambda)^2 = 0 \\
\Rightarrow \quad & \lambda = 1
\end{aligned}Og, vips, har vi kun en egenverdi som opptrer to ganger, $\lambda_1 = \lambda_2 = 1$. Begge ligger mellom -1 og 1 og minst én av dem er nøyaktig 1.
Sjekker at summen av hoveddiagonalen i $A$ er lik summen av egenverdier:
\begin{aligned}
& \textnormal{Summen av hoveddiagonalen i } A: \quad && 1 + 1 = 2 \\
& \textnormal{Summen av egenverdier for } A: &&\lambda_1 + \lambda_2 = 1 + 1 = 2
\end{aligned}ok
+ Steg 3: Finn egenvektoren til $\lambda = 1$
For å finne egenvektoren $\vec{v}$ til egenverdien $\lambda = 1$ må vi løse:
(A - \lambda_1 I) \vec{v} = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad
\left( \begin{array}{cc} 1-\lambda & 0 \\ 0 & 1-\lambda \end{array} \right)
\left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \end{array} \right) =
\left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right)Løser ved å bruke radoperasjoner på den utvidete matrisen:
\left( \begin{array}{cc|c} 1 - \lambda & 0 & 0 \\ 0 & 1-\lambda_1 & 0 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{cc|c} 1 - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - 1& 0 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{cc|c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) Siden både første og andre kolonne mangler ledende ener, lar vi både $v_1$ og $v_2$ være frie variabler. Vi kan sette $v_1 = s$ og $v_2 = t$:
\vec{v}_1 = \left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \end{array} \right) =
\left( \begin{array}{c} s \\ t \end{array} \right) =
\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) s + \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right) tAlle verdier for $s$ og $t$ gir gyldige egenvektorer. Vi får to egenvektorer for $\lambda = 1$:
\vec{v}_1 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right), \quad
\vec{v}_2 = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)Sjekker om $A\vec{v}_1 = \lambda \vec{v}_1$ og $A\vec{v}_2 = \lambda \vec{v}_2$ ved hjelp av matrisemultiplikasjon:
\begin{aligned}
& A\vec{v}_1 = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right)
= \lambda \vec{v}_1 \\
& A\vec{v}_2 = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 \\ 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)
= \lambda \vec{v}_2
\end{aligned}ok.
+ Steg 4: Generell løsning
Generell løsning:
\vec{x}_k = c_1 \lambda_1^k \vec{v}_1 + c_2 \lambda_2^k \vec{v}_2 + \cdots + c_n \lambda_n^k \vec{v}_nsom her blir:
\begin{aligned}
& \vec{x}_k
= c_1 \cdot 1^k \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right)
+ c_2 \cdot 1^k \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right) \\
\Rightarrow \quad
& \vec{x}_k
= c_1 \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right)
+ c_2 \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)
\end{aligned}+ Steg 5: Bestem konstantene
For å bestemme konstantene, trenger vi en kjent tilstand. Hvis han svarte ja på første spørsmål, har vi:
\vec{x}_0 = \left( \begin{array}{c} \textnormal{ja} \\ \textnormal{nei} \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right)Nå kan vi bestemme konstantene $c_1$ og $c_2$:
\begin{aligned}
& \vec{x}_0
= c_1 \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right)
+ c_2 \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right) \\
\Rightarrow \quad
& \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right)
= c_1 \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right)
+ c_2 \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right) \\
\Rightarrow \quad
& \left\{ \begin{array}{l} 1 = c_1 \\ 0 = c_2 \end{array} \right. \\
\Rightarrow \quad & \vec{x}_k
= \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right)
\end{aligned}dvs. at mannen svarer «Ja, kjære!» på alle senere spørsmål.
Hvis mannen svarte «nei» på første spørsmål, blir $c_1 = 0$ og $c_2 = 1$. Da svarer mannen nei på alle senere spørsmål.