Vi kan bruke radoperasjoner for å løse et ligningssett med m ligninger og n ukjente:
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots a_{1n}x_n = b_1 \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots a_{2n}x_n = b_2 \\
\vdots \\
a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots a_{mn}x_n = b_mFremgangsmåte
Steg 1: Start med den utvidete matrisen
Eksempel (⁕ = vilkårlig tall)
\left( \begin{array}{ccc|c}
a_{11} & a_{12} & a_{1n} & b_1 \\
a_{21} & a_{22} & a_{2n} & b_2 \\
a_{31} & a_{32} & a_{3n} & b_3 \\
\end{array} \right) Steg 2: Bruk Gauss eliminasjon til matrisen er på trappeform
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & * & * & * \\
0 & 1 & * & * \\
0 & 0 & 1 & *
\end{array} \right) To muligheter:
Steg 3a: Bruk Gauss-Jordan eliminasjonen til matrisen er på redusert trappeform:
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 0 & * \\
0 & 1 & 0 & * \\
0 & 0 & 1 & *
\end{array} \right) Steg 3b: Bruk tilbakesubstitusjon, dvs. begynn nedenfra og finn den siste variabelen slik at du kan bruke den til å finne den nest-siste
Steg 4: Sjekk løsningen
+ Kort video
+ Eksempel 1: To ligninger og én løsning
Gitt et ligningssett med to ligninger og to ukjente:
\begin{aligned}
x + 2y & = 7 \\ 3x + 4y &= 17
\end{aligned} \\Steg 1: Start med den utvidete matrisen:
\left(\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 7 \\ 3 & 4 & 17 \end{array} \right)Steg 2: Bruk Gauss eliminasjon til matrisen er på trappeform:
\left(\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 7 \\ 3 & 4 & 17 \end{array} \right)
\overset{R_2 - 3R_1 \to R_2}{\sim}
\left(\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 7 \\ 0 & -2 & -4 \end{array} \right)
\overset{-R_2/2 \to R_2}{\sim}
\left(\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 7 \\ 0 & 1 & 2 \end{array} \right)Steg 3a: Vi kan bruke Gauss-Jordan eliminasjon til matrisen er på redusert trappeform:
\left(\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 7 \\ 0 & 1 & 2 \end{array} \right)
\overset{R_1 + 2R_2 \to R_1}{\sim}
\left(\begin{array}{cc|c} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \end{array} \right)Dette tilsvarer følgende ligningssett:
\begin{aligned}
x &= 3 \\ y &= 2
\end{aligned}Steg 3b: Alternativt kan vi bruke tilbakesubstitusjon. Matrisen på trappeform tilsvarer følgende lignignssett:
\begin{aligned}
x + 2y &= 7 \\ y &= 2
\end{aligned}Nå begynner vi nederst og finner at $y = 2$. Det bruker vi i den andre ligningen for å finne $x$:
x = 7 - 2y = 7 - 2 \cdot 2 = 3
Steg 4: Sjekk svaret:
\begin{array}{rccll}
x + 2y &=& 3 + 2 \cdot 2 &= 7 &\qquad \textnormal{ok} \\
3x + 4y &=& 3 \cdot 3 + 4 \cdot 2 &= 17 &\qquad \textnormal{ok}
\end{array}Og vips har vi løst ligningssettet.
+ Eksempel 2: To ligninger og én løsning
Gitt et ligningssett med to ligninger og to ukjente:
\begin{aligned}
x - 6y & = 120 \\ x - 3y &= 150
\end{aligned} \\Steg 1: Start med den utvidete matrisen:
\left(\begin{array}{cc|c} 1 & -6 & 120 \\ 1 & -3 & 150 \end{array} \right)Steg 2: Bruk Gauss eliminasjon til matrisen er på trappeform:
\left(\begin{array}{cc|c} 1 & -6 & 120 \\ 1 & -3 & 150 \end{array} \right)
\overset{R_2 - R_1 \to R_2}{\sim}
\left(\begin{array}{cc|c} 1 & -6 & 120 \\ 0 & 3 & 30 \end{array} \right)
\overset{R_2/3 \to R_2}{\sim}
\left(\begin{array}{cc|c} 1 & -6 & 120 \\ 0 & 1 & 10 \end{array} \right)Steg 3a: Vi kan bruke Gauss-Jordan eliminasjon til matrisen er på redusert trappeform:
\left(\begin{array}{cc|c} 1 & -6 & 120 \\ 0 & 1 & 10 \end{array} \right)
\overset{R_1 + 6R_2 \to R_1}{\sim}
\left(\begin{array}{cc|c} 1 & 0 & 180 \\ 0 & 1 & 10 \end{array} \right)Dette tilsvarer følgende ligningssett:
\begin{aligned}
x &= 180 \\ y &= 10
\end{aligned}Steg 3b: Alternativt kan vi bruke tilbakesubstitusjon. Matrisen på trappeform tilsvarer følgende lignignssett:
\begin{aligned}
x - 6y &= 120 \\ y &= 10
\end{aligned}Nå begynner vi nederst og finner at $y = 10$. Det bruker vi i den andre ligningen for å finne $x$:
x = 120 + 6y = 120 + 6 \cdot 10 = 180
Steg 4: Sjekk svaret:
x - 6y = 180 - 6 \cdot 10 = 120 \qquad \textnormal{ok} \\
x - 3y = 180 - 3 \cdot 10 = 150 \qquad \textnormal{ok}Og vips har vi løst ligningssettet.
+ Eksempel 3: Tre ligninger og én løsning
Gitt et ligningssett med tre ligninger og tre ukjente:
\begin{array}{rcrcrl}
3x &&&&& = 30 \\
x & + & 2y &&& = 18 \\
&& y &-& 2z & = 2
\end{array} Steg 1: Start med den utvidete matrisen:
\left( \begin{array}{ccc|c}
3 & 0 & 0 & 30 \\ 1 & 2 & 0 & 18 \\ 0 & 1 & -2 & 2
\end{array} \right)Steg 2: Bruk Gauss eliminasjon til matrisen er på trappeform:
\begin{aligned}
\left( \begin{array}{ccc|c}
3 & 0 & 0 & 30 \\ 1 & 2 & 0 & 18 \\ 0 & 1 & -2 & 2
\end{array} \right)
& \overset{R_1/3 \to R_1}{\sim}
\left( \begin{array}{ccc|c}
\textcolor{red}{1} & 0 & 0 & 10 \\ 1 & 2 & 0 & 18 \\ 0 & 1 & -2 & 2
\end{array} \right) \\
& \overset{R_2 - R_1 \to R_2}{\sim}
\left( \begin{array}{ccc|c}
\textcolor{red}{1} & 0 & 0 & 10 \\ \textcolor{blue}{0} & 2 & 0 & 8 \\ \textcolor{blue}{0} & 1 & -2 & 2
\end{array} \right) \\
& \overset{R_2/2 \to R_2}{\sim}
\left( \begin{array}{ccc|c}
\textcolor{red}{1} & 0 & 0 & 10 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & 0 & 4 \\ \textcolor{blue}{0} & 1 & -2 & 2
\end{array} \right) \\
& \overset{R_3 - R_2 \to R_3}{\sim}
\left( \begin{array}{ccc|c}
\textcolor{red}{1} & 0 & 0 & 10 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & 0 & 4 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & -2 & -2
\end{array} \right) \\
& \overset{-R_3/2 \to R_3}{\sim}
\left( \begin{array}{ccc|c}
\textcolor{red}{1} & 0 & 0 & 10 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & 0 & 4 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & 1
\end{array} \right)
\end{aligned}Steg 3: Siden matrisen nå er på redusert trappeform, trenger vi ikke Gauss-Jordan eliminasjon eller tilbakesubstitusjon. Matrisen tilsvarer ligningssettet:
\begin{aligned} x & = 10 \\ y & = 4 \\ z & = 1 \end{aligned}Steg 4: Sjekk svaret:
\begin{array}{rcrcrccll}
3x &&&&& = & 3 \cdot 10 & = 30 & \textnormal{ok} \\
x & + & 2y &&& = & 10 + 2 \cdot 4 & = 18 & \textnormal{ok} \\
&& y &-& 2z & = & 4 - 2 \cdot 1 & = 2 & \textnormal{ok}
\end{array} Og vips har vi løst ligningssettet.
+ Eksempel 4: Tre ligninger og én løsning
Gitt et ligningssett med tre ligninger og tre ukjente:
\begin{array}{rcrcrl}
4x & - & 3y & + & z & = -8 \\
-2x & + & y & - & 3z & = -4 \\
x & - & y & + & 2z & = 3
\end{array} Steg 1: Start med den utvidete matrisen:
\left( \begin{array}{rrr|r}
4 & -3 & 1 & -8 \\ -2 & 1 & -3 & -4 \\ 1 & - 1 & 2 & 3
\end{array} \right)Steg 2: Bruk Gauss eliminasjon til matrisen er på trappeform:
\begin{aligned}
\left( \begin{array}{rrr|r}
4 & -3 & 1 & -8 \\ -2 & 1 & -3 & -4 \\ 1 & - 1 & 2 & 3
\end{array} \right)
& \overset{R_1 \leftrightarrow R_3}{\sim}
\left( \begin{array}{rrr|r}
\textcolor{red}{1} & - 1 & 2 & 3 \\ -2 & 1 & -3 & -4 \\ 4 & -3 & 1 & -8
\end{array} \right) \\
& \overset{R_2 + 2R_1 \to R_2}{\underset{R_3 - 4R_1 \to R_3}{\sim}}
\left( \begin{array}{ccc|c}
\textcolor{red}{1} & -1 & 2 & 3 \\ \textcolor{blue}{0} & -1 & 1 & 2 \\ \textcolor{blue}{0} & 1 & -7 & -20
\end{array} \right) \\
& \overset{-R_2 \to R_2}{\sim}
\left( \begin{array}{ccc|c}
\textcolor{red}{1} & -1 & 2 & 3 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & -1 & -2 \\ \textcolor{blue}{0} & 1 & -7 & -20
\end{array} \right) \\
& \overset{R_3 - R_2 \to R_3}{\sim}
\left( \begin{array}{ccc|c}
\textcolor{red}{1} & -1 & 2 & 3 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & -1 & -2 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & -6 & -18
\end{array} \right) \\
& \overset{-R_3/6 \to R_3}{\sim}
\left( \begin{array}{ccc|c}
\textcolor{red}{1} & -1 & 2 & 3 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & -1 & -2 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & 3
\end{array} \right)
\end{aligned}Steg 3a: Vi kan bruke Gauss-Jordan eliminasjon til matrisen er på redusert trappeform:
\begin{aligned}
\left( \begin{array}{ccc|c}
\textcolor{red}{1} & -1 & 2 & 3 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & -1 & -2 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & 3
\end{array} \right)
&\overset{R_1 - 2R_3 \to R_1}{\underset{R_2 + R_3 \to R_2}{\sim}}
\left( \begin{array}{ccc|c}
\textcolor{red}{1} & -1 & \textcolor{blue}{0} & -3 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & \textcolor{blue}{0} & 1 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & 3
\end{array} \right) \\
& \overset{R_1 + R_2\leftrightarrow R_1}{\sim}
\left( \begin{array}{ccc|c}
\textcolor{red}{1} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & -2 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & \textcolor{blue}{0} & 1 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & 3
\end{array} \right) \\
\end{aligned}Dette tilsvarer følgende ligningssett:
\begin{aligned} x & = -2 \\ y & = 1 \\ z & = 3 \end{aligned}Steg 3b: Alternativt kan vi bruke tilbakesubstitusjon. Matrisen på trappeform tilsvarer følgende lignignssett:
\begin{aligned}
x - y + 2z & = 3 \\ y - z & = -2 \\ z &= 3
\end{aligned}Nå begynner vi nederst og finner at $z$ = 3. Det bruker vi i den nest-nederste ligningen for å finne $y$:
y = -2 + z = -2 + 3 = 1
Nå som vi har både $y$ og $z$, kan vi bruke det i den øverste ligningen for å finne $x$:
x = 3 + y - 2z = 3 + 1 - 2 \cdot 3 = -2
Steg 4: Sjekk svaret:
\begin{array}{rcrcrccll}
4x & - & 3y & + & z & = & 4 \cdot (-2) - 3 \cdot 1 + 3 & = -8 & \textnormal{ok} \\
-2x & + & y & - & 3z & = & -2 \cdot (-2) + 1 - 3 \cdot 3 & = -4 & \textnormal{ok} \\
x & - & y & + & 2z & = & (-2) - 1 + 2 \cdot 3 &= 3 & \textnormal{ok}
\end{array} Og vips har vi løst ligningssettet.
+ Eksempel 5: Tre ligninger og uendelig mange løsninger
Gitt et ligningssett med tre ligninger og tre ukjente:
\begin{array}{rcrcrl}
4x & - & 3y & + & z & = -8 \\
-2x & + & y & - & 3z & = -4 \\
x & - & y & - & z & = -6
\end{array} Steg 1: Start med den utvidete matrisen:
\left( \begin{array}{rrr|r}
4 & -3 & 1 & -8 \\ -2 & 1 & -3 & -4 \\ 1 & - 1 & -1 & -6
\end{array} \right)Steg 2: Bruk Gauss eliminasjon til matrisen er på trappeform:
\begin{aligned}
\left( \begin{array}{rrr|r}
4 & -3 & 1 & -8 \\ -2 & 1 & -3 & -4 \\ 1 & - 1 & -1 & -6
\end{array} \right)
& \overset{R_1 \leftrightarrow R_3}{\sim}
\left( \begin{array}{rrr|r}
\textcolor{red}{1} & -1 & -1 & -6 \\ -2 & 1 & -3 & -4 \\ 4 & -3 & 1 & -8
\end{array} \right) \\
& \overset{R_2 + 2R_1 \to R_2}{\underset{R_3 - 4R_1 \to R_3}{\sim}}
\left( \begin{array}{ccc|c}
\textcolor{red}{1} & -1 & -1 & -6 \\ \textcolor{blue}{0} & -1 & -5 & -16 \\ \textcolor{blue}{0} & 1 & 5 & 16
\end{array} \right) \\
& \overset{-R_2 \to R_2}{\sim}
\left( \begin{array}{ccc|c}
\textcolor{red}{1} & -1 & -1 & -6 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & 5 & 16 \\ \textcolor{blue}{0} & 1 & 5 & 16
\end{array} \right) \\
& \overset{R_3 - R_2 \to R_3}{\sim}
\left( \begin{array}{ccc|c}
\textcolor{red}{1} & -1 & -1 & -6 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & 5 & 16 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0}
\end{array} \right)
\end{aligned}Siden vi fikk en nullrad, vet vi at radene var lineært avhengige. Vi har derfor kun to uavhengige ligninger og uendelig mange løsninger.
Steg 3a: Vi kan bruke Gauss-Jordan eliminasjon til matrisen er på redusert trappeform:
\begin{aligned}
\left( \begin{array}{ccc|c}
\textcolor{red}{1} & -1 & -1 & -6 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & 5 & 16 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0}
\end{array} \right)
&\overset{R_1 + R_2 \to R_1}{\sim}
\left( \begin{array}{ccc|c}
\textcolor{red}{1} & \textcolor{blue}{0} & 4 & 10 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & 5 & 16 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0}
\end{array} \right) \\
\end{aligned}Dette tilsvarer følgende ligningssett:
\begin{array}{rccl}
\begin{aligned} x + 4z & = 10 \\ y + 5z & = 16 \end{aligned}
& \Rightarrow &
\begin{aligned} x & = 10 - 4z \\ y & = 16 - 5z \end{aligned}
\end{array}Her er $z$ en fri variabel og de to andre ledende variabler som er uttrykt ved $z$. Vi har uendelig mange løsninger fordi hvert valg av $z$ gir en ny løsning. Vi kan skrive løsningen på vektorform:
\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right)
= \left(\begin{array}{c} 10 \\ 16 \\ 0 \end{array}\right)
+ \left(\begin{array}{c} -4 \\ -5 \\ 1 \end{array}\right) zSteg 3b: Alternativt kan vi bruke tilbakesubstitusjon. Matrisen på trappeform tilsvarer følgende lignignssett:
\begin{aligned}
x - y - z & = -6 \\ y + 5z & = 16 \\ 0 &= 0
\end{aligned}Nå begynner vi nederst og finner at vi har en fri variabel. Det bruker vi i den nest-nederste ligningen for å finne $y$:
y = 16 - 5z
Nå som vi har et uttrykk for $y$, kan vi bruke det i den øverste ligningen for å finne et uttrykk for $x$:
x = -6 + y + z = -6 + (16 - 5z) + z = 10 - 4z
Her er $z$ en fri variabel og de to andre ledende variabler som er uttrykt ved $z$. Vi har uendelig mange løsninger fordi hvert valg av $z$ gir en ny løsning.
Steg 4: Sjekk svaret:
\begin{array}{rcrcrccll}
4x & - & 3y & + & z & = & 4(10-4z) - 3(16-5z) + z & = -8 & \textnormal{ok} \\
-2x & + & y & - & 3z & = &-2(10-4z) + (16-5z) - 3z & = -4 & \textnormal{ok} \\
x & - & y & - & z & = & (10-4z) - (16-5z) - z & = -6 & \textnormal{ok}
\end{array} Og vips har vi løst ligningssettet.
+ Eksempel 6: Tre ligninger og ingen løsning
Gitt et ligningssett med tre ligninger og tre ukjente:
\begin{array}{rcrcrl}
4x & - & 3y & + & z & = -8 \\
-2x & + & y & - & 3z & = -2 \\
x & - & y & - & z & = -6
\end{array} Steg 1: Start med den utvidete matrisen:
\left( \begin{array}{rrr|r}
4 & -3 & 1 & -8 \\ -2 & 1 & -3 & -2 \\ 1 & - 1 & -1 & -6
\end{array} \right)Steg 2: Bruk Gauss eliminasjon til matrisen er på trappeform:
\begin{aligned}
\left( \begin{array}{rrr|r}
4 & -3 & 1 & -8 \\ -2 & 1 & -3 & -2 \\ 1 & - 1 & -1 & -6
\end{array} \right)
& \overset{R_1 \leftrightarrow R_3}{\sim}
\left( \begin{array}{rrr|r}
\textcolor{red}{1} & -1 & -1 & -6 \\ -2 & 1 & -3 & -2 \\ 4 & -3 & 1 & -8
\end{array} \right) \\
& \overset{R_2 + 2R_1 \to R_2}{\underset{R_3 - 4R_1 \to R_3}{\sim}}
\left( \begin{array}{ccc|c}
\textcolor{red}{1} & -1 & -1 & -6 \\ \textcolor{blue}{0} & -1 & -5 & -14 \\ \textcolor{blue}{0} & 1 & 5 & 16
\end{array} \right) \\
& \overset{-R_2 \to R_2}{\sim}
\left( \begin{array}{ccc|c}
\textcolor{red}{1} & -1 & -1 & -6 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & 5 & 14 \\ \textcolor{blue}{0} & 1 & 5 & 16
\end{array} \right) \\
& \overset{R_3 - R_2 \to R_3}{\sim}
\left( \begin{array}{ccc|c}
\textcolor{red}{1} & -1 & -1 & -6 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & 5 & 14 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & -2
\end{array} \right)
\end{aligned}Siden vi fikk en nullrad, vet vi at radene var lineært avhengige. Vi har derfor kun to uavhengige ligninger og uendelig mange løsninger.
Dette tilsvarer følgende ligningssett:
\begin{array}{rcrcrl}
x & - & y & - & z & = -6 \\
& & y & + & 5z & = 14 \\
& & & & 0 & = -2
\end{array} Ligningssettet er umulig å tilfredsstille og har ingen løsning.