Absoluttverdien til determinanten gir oss arealet/volumet som kolonne-/radvektorene spenner ut.
Hvis A er en 2 x 2 matrise er | det(A) | = arealet kolonne-/radvektorene spenner ut.
Hvis A er en 3 x 3 matrise er | det(A) | = volumet kolonne-/radvektorene spenner ut.
\det(A) = \left| \begin{array}{cccc}
a_{11} &a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} &a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & & \vdots \\
a_{m1} &a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{array} \right|+ Eksempel 1: Finn arealet
Finn arealet som følgende vektorer utspenner:
a = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)\!\!, \;\;
b = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 0 \end{array} \right)Danner en matrise av de to vektorene:
A = \left( \begin{array}{cc}
1 & 3 \\ 2 & 0
\end{array} \right)Beregner determinanten:
\det(A) = \left| \begin{array}{cc}
1 & 3 \\ 2 & 0
\end{array} \right|
= 1 \cdot 0 - 2 \cdot 3 = -6Arealet kolonnevektorene spenner ut er absoluttverdien til determinanten:
\textnormal{Areal} = | \det(A) | = | -6 | = 6Sjekker:
Areal av parallellogram:
\textnormal{Areal} = \textnormal{grunnlinje} \cdot \textnormal{høyde} = 3 \cdot 2 = 6+ Eksempel 2: Finn arealet
Finn arealet som følgende vektorer utspenner:
a = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)\!\!, \;\;
b = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 4 \end{array} \right)Danner en matrise av de to vektorene:
A = \left( \begin{array}{cc}
1 & 2 \\ 2 & 4
\end{array} \right)Beregner determinanten:
\det(A) = \left| \begin{array}{cc}
1 & 2 \\ 2 & 4
\end{array} \right|
= 1 \cdot 4 - 2 \cdot 2 = 0Arealet kolonnevektorene spenner ut er absoluttverdien til determinanten:
\textnormal{Areal} = | \det(A) | = | 0 | = 0De to vektorene er parallelle og spenner derfor ikke ut noe areal.
Sjekker:
Vi kan multiplisere a med en skalar og få b:
\left( \begin{array}{c} 2 \\ 4 \end{array} \right)
= 2\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)
\qquad \Rightarrow \qquad
b = 2a+ Eksempel 3: Finn arealet når hjørnene er oppgitt
Finn arealet av et parallellogram med hjørner i (3,0), (0,2), (12,4) og (9,6).
Finner vektorene som utspenner parallellogrammet:
\begin{aligned}
a = & \left( \begin{array}{c} 0 - 3 \\ 2 - 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -3 \\ 2 \end{array} \right) \\
b = & \left( \begin{array}{c} 12 - 3 \\ 4 - 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 9 \\ 4 \end{array} \right)
\end{aligned}Danner en matrise av de to vektorene:
A = \left( \begin{array}{cc}
-3 & 9 \\ 2 & 4
\end{array} \right)Beregner determinanten:
\det(A) = \left| \begin{array}{cc}
-3 & 9 \\ 2 & 4
\end{array} \right|
= (-3) \cdot 4 - 2 \cdot 9 = -30Arealet kolonnevektorene spenner ut er absoluttverdien til determinanten:
\textnormal{Areal} = | \det(A) | = | -30 | = 30+ Eksempel 4: Finn volumet
Finn volumet som følgende vektorer utspenner:
a = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)\!\!, \;\;
b = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)\!\!, \;\;
c = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)Danner en matrise av de tre vektorene:
A = \left( \begin{array}{ccc}
3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2
\end{array} \right)Beregner determinanten:
\det(A) = \left| \begin{array}{ccc}
3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2
\end{array} \right|
= 3 \cdot \left| \begin{array}{cc}
1 & 0 \\ 0 & 2
\end{array} \right|
= 3 \cdot 1 \cdot 2 = 6Volumet kolonnevektorene spenner ut er absoluttverdien til determinanten:
\textnormal{Areal} = | \det(A) | = | 6 | = 6Sjekker:
Volum:
\textnormal{Volum} = \textnormal{grunnflate} \cdot \textnormal{høyde} = (3 \cdot 1) \cdot 2 = 6+ Eksempel 5: Finn volumet
Finn volumet som følgende vektorer utspenner:
a = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array} \right)\!\!, \;\;
b = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)\!\!, \;\;
c = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right)Danner en matrise av de tre vektorene:
A = \left( \begin{array}{ccc}
1 & 3 & -1 \\ 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 3
\end{array} \right)Beregner determinanten ved å bruke rad 3:
\det(A) = \left| \begin{array}{ccc}
1 & 3 & -1 \\ 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 3
\end{array} \right|
= 3 \cdot \left| \begin{array}{cc}
1 & 3 \\ 2 & 0
\end{array} \right|
= 3 \cdot (1 \cdot 0 - 3 \cdot 2) = -18Volumet kolonnevektorene spenner ut er absoluttverdien til determinanten:
\textnormal{Areal} = | \det(A) | = | -18 | = 18Sjekker:
a og b ligger i samme plan (z = 0) og danner en grunnflate:
Grunnflaten danner et parallellogram med areal:
\textnormal{Grunnflate} = \textnormal{grunnlinje} \cdot \textnormal{høyde} = 3 \cdot 2 = 6 a, b og c spenner ut et parallellepipedet:
Siden både a og b ligger i samme plan (z = 0), blir høyden til volumet lik flaten a og b spenner ut multiplisert med lengden c har i z-retning:
\textnormal{Volum} = \textnormal{grunnflate} \cdot \textnormal{høyde} = 6 \cdot 3 = 18