Delbrøkoppspaltning bruker vi når vi vil integrere et polynom delt på et annet polynom:
\int \frac{Q(x)}{P(x)} dxDersom $P(x)$ har $n$ ulike røtter, og $Q(x)$ har lavere grad enn $P(x)$, kan vi skrive brøken på formen:
\frac{Q(x)}{P(x)} = \frac{Q(x)}{(x-x_1)(x-x_2) \cdots (x-x_n)} = \frac{A_1}{x-x_1} + \frac{A_2}{x-x_2} + \cdots + \frac{A_3}{x-x_n}+ Fremgangsmåte
Her er stegene for å integrere et polynom delt på et annet polynom:
\int \frac{Q(x)}{P(x)} dxSteg 1: Hvis telleren er et polynom av høyere grad enn polynomet i nevneren, bruk polynomdivisjon.
Steg 2: Faktoriser nevneren
– Sett $P(x) = 0$ og finn alle røttene. Da blir $P(x) = a(x-x_1)(x-x_2) \cdots (x-x_n)$ der $x_1, x_2, \cdots x_n$ er røttene.
Steg 3: Del opp brøken
Dersom nevneren kun har ulike røtter:
\frac{Q(x)}{(\textcolor{red}{x-2})(\textcolor{blue}{x+3})} = \frac{A}{\textcolor{red}{x-2}} + \frac{B}{\textcolor{blue}{x+3}} \\
\frac{Q(x)}{(\textcolor{red}{x-2})(\textcolor{blue}{x+3})(\textcolor{green}{x-1})} = \frac{A}{\textcolor{red}{x-2}} + \frac{B}{\textcolor{blue}{x+3}} + \frac{C}{\textcolor{green}{x-1}}Dersom nevneren har like røtter:
\frac{Q(x)}{(x-2) \textcolor{red}{(x+3)^2}} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{\textcolor{red}{x+3}} + \frac{C}{\textcolor{red}{(x+3)^2}} \\
\frac{Q(x)}{(x-2) \textcolor{red}{(x+3)^3}} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{\textcolor{red}{x+3}} + \frac{C}{\textcolor{red}{(x+3)^2}} + \frac{D}{\textcolor{red}{(x+3)^3}}Dersom nevneren har faktorer av andre grad:
\frac{Q(x)}{(x-2)(\textcolor{red}{x^2+3})} = \frac{A}{x-2} + \frac{Bx + C}{\textcolor{red}{x^2+3}} \\
\frac{Q(x)}{(\textcolor{blue}{x^2 + x + 1})(\textcolor{red}{x^2+3})} = \frac{Ax + B}{\textcolor{blue}{x^2 + x + 1}} + \frac{Cx + D}{\textcolor{red}{x^2+3}}Steg 4: Bestem konstantene
– Multipliser begge sider med $P(x)$ (den største nevneren)
– Velg smarte verdier for $x$ ELLER sorter leddene
Steg 5: Integrer
– Ofte må du bruke substitusjon kombinert med logartimer eller tangens invers:
\int \frac{1}{x}dx = \ln x + C, \qquad \int \frac{1}{x^2 + 1}dx = \tan^{-1} x + COg, vips, har vi vi formelen for delvis integrasjon!
+ Eksempel med to ulike røtter: $\int \frac{5x+11}{x^2 + 5x + 6} dx$
\int \frac{5x+11}{x^2 + 5x + 6} dx+ Steg 1: Polynomdivisjon
Polynomet i telleren har lavere grad enn polynomet i nevneren (teller har grad 1 og nevner grad 2). Derfor trenger vi ikke polynomdivisjon her.
+ Steg 2: Faktoriser
Vi prøver å faktorisere nevneren ved å sette den lik null og bruke andregradsformelen:
\begin{aligned}
& x^2 + \textcolor{blue}{5}x + \textcolor{green}{6} = 0 \\
\Rightarrow \quad & x = \frac{-\textcolor{blue}{5} \pm \sqrt{\textcolor{blue}{5}^2 - 4 \cdot \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{green}{6}}}{2 \cdot \textcolor{red}{1}} \\
\Rightarrow \quad & x = \frac{-5 \pm 1}{2} \\
\Rightarrow \quad & x_1 = \frac{-5-1}{2} = \textcolor{red}{-3} \; \textnormal{ og } \; x_1 = \frac{-5+1}{2} = \textcolor{blue}{-2}
\end{aligned}Nevneren har to røtter og kan derfor skrives på formen $(x-x_1)(x-x_2)$:
x^2 + 5x + 6 = \Big(x-(\textcolor{red}{-3})\Big) \Big(x - (\textcolor{blue}{-2})\Big) = (x + 3)(x+2)
+ Steg 3: Del opp brøken
Siden nevneren har to ulike røtter, vet vi at vi kan dele opp brøken:
\frac{5x + 11}{x^2 + 5x + 6} = \frac{A}{x+3} + \frac{B}{x+2}+ Steg 4 alternativ 1: Bestem konstantene ved å velge smarte $x$-verdier
For å bestemme $A$ og $B$, multipliserer vi først begge sider med $x^2 + 5x + 6 = (x+3)(x+2)$:
\begin{aligned}
\frac{5x + 11}{x^2 + 5x + 6} &= \frac{A}{x+3} + \frac{B}{x+2} \quad | \cdot (x+2)(x+3) \\
\Rightarrow \qquad 5x + 11 & = A(x+2) + B(x+3)
\end{aligned}Ligningen må stemme for alle $x$-verdier. Når vi velger noen $x$-verdier smart, kan vi enkelt finne konstantene:
x=\textcolor{red}{-2} \textnormal{ gir: } \quad 5 \cdot (\textcolor{red}{-2}) + 11 = B (\textcolor{red}{-2} + 3) \\
x=\textcolor{red}{-3} \textnormal{ gir: } \quad 5 \cdot (\textcolor{red}{-3}) + 11 = A (\textcolor{red}{-3} + 2)
som gir:
\begin{aligned}
1 &= B \quad \Rightarrow \; B = 1 \\
-4 &= -A \; \Rightarrow \; A = 4
\end{aligned}+ Steg 4 alternativ 2: Bestem konstantene ved å sortere leddene
For å bestemme $A$ og $B$, multipliserer vi først begge sider med $x^2 + 5x + 6 = (x+3)(x+2)$:
\begin{aligned}
\frac{5x + 11}{x^2 + 5x + 6} &= \frac{A}{x+3} + \frac{B}{x+2} \quad | \cdot (x+2)(x+3) \\
\Rightarrow \qquad 5x + 11 & = A(x+2) + B(x+3) \\
\Rightarrow \qquad \textcolor{red}{5}x + \textcolor{blue}{11} & = \textcolor{red}{A}x + \textcolor{blue}{2A} + \textcolor{red}{B}x + \textcolor{blue}{3B}
\end{aligned}Uavhengig av $x$-verdi, må det være balanse i alle ledd uten $x$, og i alle ledd med $x$.
\begin{aligned}
\textnormal{Ledd \textcolor{blue}{uten $x$}:} & \quad
\textcolor{blue}{11} = \textcolor{blue}{2A} + \textcolor{blue}{3B} \\
\textnormal{Ledd \textcolor{red}{med $x$}:} & \quad
\textcolor{red}{5} = \textcolor{red}{A} + \textcolor{red}{B}
\end{aligned}Nå har vi to ligninger med to ukjente. Den kan du løse på akkurat den måten du liker best.
Innsetningsmetoden:
Vi kan f.eks. bruke den andre ligning til å finne et uttrykk for $B$:
B = 5 - A
og sette det inn i den første ligningen:
\begin{aligned}
& 11 = 2A + 3 (5-A) \\
\Rightarrow \quad & -4 = -A \\
\Rightarrow \quad & A = 4
\end{aligned}Resultatet kan vi bruke til å finne $B$:
B = 5 - A = 1
Legge sammen ligninger:
Vi kan f.eks. multiplisere den andre ligningen med $-2$ og legge dem sammen for å bli kvitt $A$:
\begin{array}{rcll}
11 &=& 2A + 3B & \\
+ \; \quad 5 &=& A + B & | \cdot (-2) \\ \hline
\Rightarrow \quad1 &=& B
\end{array} Nå kan vi enten bruke $B=1$ i en av ligningene og finne $A$. Eller vi kan f.eks. Multiplisere andre ligning med $-3$ og legge dem sammen for å bli kvitt $B$:
\begin{array}{rrcll}
& 11 &=& 2A + 3B & \\
+ \; & \; 5 &=& A + B & | \cdot (-3) \\ \hline
\Rightarrow & -4 &=& -A \\
\Rightarrow & 4 &=& A
\end{array} + Steg 5: Integrer
Delbrøkoppspalting ga oss:
\frac{5x + 11}{x^2 + 5x + 6} = \frac{4}{x+3} + \frac{1}{x+2}Nå er vi klare til å integrere:
\int \frac{5x + 11}{x^2 + 5x + 6} dx = \int \frac{4}{x+3} dx + \int \frac{1}{x+2} dxHer kan vi bruke $\ln(x)$ i begge ledd (se gjerne grundig forklaring her):
\int \frac{5x + 11}{x^2 + 5x + 6} dx = 4 \ln|x+3| + \ln |x+2| + COg, vips, er vi ferdige.
+ Eksempel med to ulike røtter: $\int \frac{x+8}{x^2 + x – 6} dx$
\int \frac{x+8}{x^2 + x - 6} dx+ Steg 1: Polynomdivisjon
Polynomet i telleren har lavere grad enn polynomet i nevneren (teller har grad 1 og nevner grad 2). Derfor trenger vi ikke polynomdivisjon her.
+ Steg 2: Faktoriser
Vi prøver å faktorisere nevneren ved å sette den lik null og bruke andregradsformelen:
\begin{aligned}
& x^2 + x - 6 = 0 \\
\Rightarrow \quad & x = \frac{-\textcolor{blue}{1} \pm \sqrt{\textcolor{blue}{1}^2 - 4 \cdot \textcolor{red}{1} \cdot (\textcolor{green}{-6})}}{2 \cdot \textcolor{red}{1}} \\
\Rightarrow \quad & x = \frac{-1 \pm 5}{2} \\
\Rightarrow \quad & x_1 = \frac{-1-5}{2} = \textcolor{red}{-3} \; \textnormal{ og } \; x_1 = \frac{-1+5}{2} = \textcolor{blue}{2}
\end{aligned}Nevneren har to røtter og kan derfor skrives på formen $(x-x_1)(x-x_2)$:
x^2 + x - 6 = \Big(x-(\textcolor{red}{-3})\Big) \Big(x - \textcolor{blue}{2}\Big) = (x + 3)(x-2)
+ Steg 3: Del opp brøken
Siden nevneren har to ulike røtter, vet vi at vi kan dele opp brøken:
\frac{x + 8}{x^2 + x - 6} = \frac{A}{x+3} + \frac{B}{x-2}+ Steg 4 alternativ 1: Bestem konstantene ved å velge smarte $x$-verdier
For å bestemme $A$ og $B$, multipliserer vi først begge sider med $x^2 + x – 6 = (x+3)(x-2)$:
\begin{aligned}
\frac{x + 8}{x^2 + x - 6} &= \frac{A}{x+3} + \frac{B}{x-2} \quad | \cdot (x+3)(x-2) \\
\Rightarrow \qquad x + 8 & = A(x-2) + B(x+3)
\end{aligned}Ligningen må stemme for alle $x$-verdier. Når vi velger noen $x$-verdier smart, kan vi enkelt finne konstantene:
\begin{aligned}
x=\textcolor{red}{2} \textnormal{ gir: } \quad & \textcolor{red}{2} + 8 = B (\textcolor{red}{2} + 3) \\
x=\textcolor{red}{-3} \textnormal{ gir: } \quad & (\textcolor{red}{-3}) + 8 = A (\textcolor{red}{-3} - 2)
\end{aligned}
som gir:
\begin{aligned}
10 &= 5B \quad \Rightarrow \; B = 2 \\
5 &= -5A \; \Rightarrow \; A = 1
\end{aligned}+ Steg 4 alternativ 2: Bestem konstantene ved å sortere leddene
For å bestemme $A$ og $B$, multipliserer vi først begge sider med $x^2 + x – 6 = (x+3)(x-2)$:
\begin{aligned}
\frac{x + 8}{x^2 + x - 6} &= \frac{A}{x+3} + \frac{B}{x-2} \quad | \cdot (x+3)(x-2) \\
\Rightarrow \qquad x + 8 & = A(x-2) + B(x+3) \\
\Rightarrow \qquad \textcolor{red}{1}x + \textcolor{blue}{8} & = \textcolor{red}{A}x - \textcolor{blue}{2A} + \textcolor{red}{B}x + \textcolor{blue}{3B}
\end{aligned}Uavhengig av $x$-verdi, må det være balanse i alle ledd uten $x$, og i alle ledd med $x$.
\begin{aligned}
\textnormal{Ledd \textcolor{blue}{uten $x$}:} & \quad
\textcolor{blue}{8} = \textcolor{blue}{-2A} + \textcolor{blue}{3B} \\
\textnormal{Ledd \textcolor{red}{med $x$}:} & \quad
\textcolor{red}{1} = \textcolor{red}{A} + \textcolor{red}{B}
\end{aligned}Nå har vi to ligninger med to ukjente. Den kan du løse på akkurat den måten du liker best.
Innsetningsmetoden:
Vi kan f.eks. bruke den andre ligning til å finne et uttrykk for $B$:
B = 1 - A
og sette det inn i den første ligningen:
\begin{aligned}
& 8 = -2A + 3 (1-A) \\
\Rightarrow \quad & 8 = -2A + 3 - 3A \\
\Rightarrow \quad & 5 = -5A \\
\Rightarrow \quad & A = -1
\end{aligned}Resultatet kan vi bruke til å finne $B$:
B = 1 - A = 1 - (-1) = 2
Legge sammen ligninger:
Vi kan f.eks. multiplisere den andre ligningen med $2$ og legge dem sammen for å bli kvitt $A$:
\begin{array}{rcll}
8 &=& -2A + 3B & \\
+ \; \quad 1 &=& A + B & | \cdot 2 \\ \hline
\Rightarrow \quad 10 &=& 5B \\
\Rightarrow \quad 2 &=& B
\end{array} Nå kan vi enten bruke $B=2$ i en av ligningene og finne $A$. Eller vi kan f.eks. Multiplisere andre ligning med $-3$ og legge dem sammen for å bli kvitt $B$:
\begin{array}{rrcll}
& 8 &=& -2A + 3B & \\
+ \; & \; 1 &=& A + B & | \cdot (-3) \\ \hline
\Rightarrow & 5 &=& -5A \\
\Rightarrow & -1 &=& A
\end{array} + Steg 5: Integrer
Delbrøkoppspalting ga oss:
\frac{x + 8}{x^2 + x - 6} = - \frac{1}{x+3} + \frac{2}{x-2}Nå er vi klare til å integrere:
\int \frac{x + 8}{x^2 + x - 6} dx = - \int \frac{1}{x+3} dx + \int \frac{2}{x-2} dxHer kan vi bruke $\ln(x)$ i begge ledd (se gjerne grundig forklaring her):
\int \frac{x + 8}{x^2 + x - 6} dx = - \ln|x+3| + 2\ln |x-2| + COg, vips, er vi ferdige.
+ Eksempel med tre ulike røtter: $\int \frac{9x^2 + 8x – 10}{x^3 – x^2 – 2x} dx$
\int \frac{9x^2 + 8x - 10}{x^3 - x^2 - 2x} \; dx+ Steg 1: Polynomdivisjon
Polynomet i telleren har lavere grad enn polynomet i nevneren (teller har grad 2 og nevner grad 3). Derfor trenger vi ikke polynomdivisjon her.
+ Steg 2: Faktoriser
Først ser vi at alle ledd i nevneren inneholder en $x$:
x^3 - x^2 - 2x = x(x^2 - x - 2)
Vi prøver å faktorisere $x^2 – x – 2$ ved å sette den lik null og bruke andregradsformelen:
\begin{aligned}
& x^2 \textcolor{blue}{-} x \textcolor{green}{- 2} = 0 \\
\Rightarrow \quad & x = \frac{-(\textcolor{blue}{-1}) \pm \sqrt{(\textcolor{blue}{-1})^2 - 4 \cdot \textcolor{red}{1} \cdot (\textcolor{green}{-2})}}{2 \cdot \textcolor{red}{1}} \\
\Rightarrow \quad & x = \frac{1 \pm 3}{2} \\
\Rightarrow \quad & x_1 = \frac{1-3}{2} = \textcolor{red}{-1} \; \textnormal{ og } \; x_1 = \frac{1+3}{2} = \textcolor{blue}{2}
\end{aligned}Nevneren har to røtter og kan derfor skrives på formen $(x-x_1)(x-x_2)$:
\begin{aligned}
x^2 - x - 2 & = \Big(x-(\textcolor{red}{-1})\Big) \Big(x - \textcolor{blue}{2}\Big) = (x + 1)(x-2) \\
\Rightarrow \qquad x^3 - x^2 - 2x & = x(x+1)(x-2)
\end{aligned}
+ Steg 3: Del opp brøken
Siden nevneren har to ulike røtter, vet vi at vi kan dele opp brøken:
\frac{9x^2 + 8x - 10}{x^3 - x^2 - 2x} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{x-2}+ Steg 4 alternativ 1: Bestem konstantene ved å velge smarte $x$-verdier
For å bestemme $A$, $B$ og $C$, multipliserer vi først begge sider med $x^3 – x^2 – 2x = x(x+1)(x-2)$:
\begin{aligned}
\frac{9x^2 + 8x - 10}{x^3 - x^2 - 2x} &= \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{x-2} \quad | \cdot x(x+1)(x-2) \\
\Rightarrow \qquad 9x^2 + 8x - 10 & = A(x+1)(x-2) + Bx(x-2) + Cx(x+1)
\end{aligned}Ligningen må stemme for alle $x$-verdier. Når vi velger noen $x$-verdier smart, kan vi enkelt finne konstantene:
\begin{aligned}
x= \textcolor{red}{0} \textnormal{ gir: } \quad & 9 \cdot \textcolor{red}{0}^2 + 8 \cdot \textcolor{red}{0} - 10 = A (\textcolor{red}{0} + 1) (\textcolor{red}{0} - 2) \\
x=\textcolor{red}{-1} \textnormal{ gir: } \quad & 9 \cdot (\textcolor{red}{-1})^2 + 8 \cdot (\textcolor{red}{-1}) - 10 = B (\textcolor{red}{-1}) (\textcolor{red}{-1} - 2) \\
x=\textcolor{red}{2} \textnormal{ gir: } \quad & 9 \cdot \textcolor{red}{2}^2 + 8 \cdot \textcolor{red}{2} - 10 = C \cdot \textcolor{red}{2} (\textcolor{red}{2} + 1)
\end{aligned}
som gir:
\begin{aligned}
-10 = -2A& \quad \Rightarrow \quad A = 5 \\
-9 = 3B & \quad \Rightarrow \quad B = -3 \\
42 = 6C & \quad \Rightarrow \quad C = 7
\end{aligned}+ Steg 4 alternativ 2: Bestem konstantene ved å sortere leddene
For å bestemme $A$, $B$ og $C$, multipliserer vi først begge sider med $x^3 – x^2 – 2x = x(x+1)(x-2)$:
\begin{aligned}
\frac{9x^2 + 8x - 10}{x^3 - x^2 - 2x} &= \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{x-2} \quad | \cdot x(x+1)(x-2) \\
\Rightarrow \qquad 9x^2 + 8x - 10 & = A(x+1)(x-2) + Bx(x-2) + Cx(x+1) \\
\Rightarrow \qquad 9x^2 + 8x - 10 & = A(x^2 - x - 2) + B(x^2-2x) + C(x^2+x) \\
\Rightarrow \qquad \textcolor{red}{9}x^2 + \textcolor{blue}{8}x \textcolor{green}{-10}& = \textcolor{red}{A} x^2 \textcolor{blue}{-A}x \textcolor{green}{- 2A} + \textcolor{red}{B}x^2 \textcolor{blue}{- 2B}x + \textcolor{red}{C}x^2 + \textcolor{blue}{C}x
\end{aligned}Uavhengig av $x$-verdi, må det være balanse i alle ledd uten $x$, i alle ledd med $x$ og i alle ledd med $x^2$:
\begin{aligned}
\textnormal{Ledd \textcolor{green}{uten $x$}:} & \quad
\textcolor{green}{-10} = \textcolor{green}{-2A} \\
\textnormal{Ledd \textcolor{blue}{med $x$}:} & \quad
\textcolor{blue}{8} = \textcolor{blue}{-A} \textcolor{blue}{-2B} + \textcolor{blue}{C} \\
\textnormal{Ledd \textcolor{red}{med $x^2$}:} & \quad
\textcolor{red}{9} = \textcolor{red}{A} + \textcolor{red}{B} + \textcolor{red}{C}
\end{aligned}Nå har vi tre ligninger med tre ukjente. Det kan du løse akkurat som du vil, men den første ligningen gir enkelt verdien for $A$:
A = 5
som vi kan sette inn i de to andre ligningene:
\begin{array}{rcl} 8 &=& -5 - 2B + C \\ 9 &=& 5 + B + C \end{array}
\quad \Rightarrow \quad
\begin{array}{rcl} 13 &=& - 2B + C \\ 4 &=& B + C \end{array} Nå har vi to ligninger med to ukjente.
Innsetningsmetoden:
Vi kan f.eks. bruke den siste ligning til å finne et uttrykk for $C$:
C = 4 - B
og sette det inn i den andre ligningen:
\begin{aligned}
& 13 = -2B + (4 - B) \\
\Rightarrow \quad & 13 = -2B + 4 - B \\
\Rightarrow \quad & 9 = -3B \\
\Rightarrow \quad & -3 = B
\end{aligned}Resultatet kan vi bruke til å finne $C$:
C = 4 - B = 4 - (-3) = 7
Legge sammen ligninger:
Vi kan f.eks. multiplisere den siste ligningen med $2$ og legge dem sammen for å bli kvitt $B$:
\begin{array}{rcll}
13 &=& -2B + C & \\
+ \; \quad 4 &=& B + C & | \cdot 2 \\ \hline
\Rightarrow \quad 21 &=& 3C \\
\Rightarrow \quad 7 &=& C
\end{array} Nå kan vi enten bruke $C=7$ i en av ligningene og finne $B$. Eller vi kan f.eks. multiplisere en av ligningene med $-1$ og legge dem sammen for å bli kvitt $C$:
\begin{array}{rrcll}
& 13 &=& -2B + C & \ \cdot (-1) \\
+ \; & \; 4 &=& B + C & \\ \hline
\Rightarrow & -9 &=& 3B \\
\Rightarrow & -3 &=& B
\end{array} + Steg 5: Integrer
Delbrøkoppspalting ga oss:
\frac{9x^2 + 8x - 10}{x^3 - x^2 - 2x} = \frac{5}{x} - \frac{3}{x+1} + \frac{7}{x-2} Nå er vi klare til å integrere:
\int \frac{9x^2 + 8x - 10}{x^3 - x^2 - 2x} dx = \int \frac{5}{x} \; dx - \int \frac{3}{x+1} dx + \int \frac{7}{x-2} dxHer kan vi bruke $\ln(x)$ i begge ledd (se gjerne grundig forklaring her):
\int \frac{9x^2 + 8x - 10}{x^3 - x^2 - 2x} dx = 5 \ln |x| - 3 \ln|x+1| + 7\ln |x-2| + COg, vips, er vi ferdige.
+ Eksempel med to like røtter: $\int \frac{2x^2 + 6x – 4}{x^3 – x^2} dx$
\int \frac{2x^2 + 6x - 4}{x^3 - x^2} \; dx+ Steg 1: Polynomdivisjon
Polynomet i telleren har lavere grad enn polynomet i nevneren (teller har grad 2 og nevner grad 3). Derfor trenger vi ikke polynomdivisjon her.
+ Steg 2: Faktoriser
Først ser vi at alle ledd i nevneren inneholder en $x^2$:
x^3 - x^2 = x^2(x - 1)
Og dermed har vi faktorisert nevneren.
+ Steg 3: Del opp brøken
Siden nevneren har to like røtter, må vi dele opp brøken slik:
\frac{2x^2 + 6x - 4}{x^3 - x^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x-1}+ Steg 4 alternativ 1: Bestem konstantene ved å velge smarte $x$-verdier
For å bestemme $A$, $B$ og $C$, multipliserer vi først begge sider med $x^3 – x^2 = x^2(x-1)$:
\begin{aligned}
\frac{2x^2 + 6x - 4}{x^3 - x^2} &= \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x-1} \quad | \cdot x^2(x-1) \\
\Rightarrow \qquad 2x^2 + 6x - 4 & = Ax(x-1)+ B(x-1) + Cx^2
\end{aligned}Ligningen må stemme for alle $x$-verdier. Når vi velger noen $x$-verdier smart, kan vi enkelt finne to av konstantene:
\begin{aligned}
x= \textcolor{red}{0} \textnormal{ gir: } \quad & 2 \cdot \textcolor{red}{0}^2 + 6 \cdot \textcolor{red}{0} - 4 = B (\textcolor{red}{0} - 1) \\
x=\textcolor{red}{1} \textnormal{ gir: } \quad & 2 \cdot \textcolor{red}{1}^2 + 6 \cdot \textcolor{red}{1} - 4 = C \cdot \textcolor{red}{1}^2
\end{aligned}
som gir:
\begin{aligned}
-4 = -B& \quad \Rightarrow \quad B = 4 \\
4 = C & \quad \Rightarrow \quad C = 4
\end{aligned}Uansett hvilken $x$-verdi vi velger, kan vi ikke velge en så smart $x$-verdi at både $B$ og $C$ må multipliseres med null. Men ligningen må jo gjelde for alle $x$-verdier, så vi kan velge en tilfeldig $x$-verdi, f.eks. 2.
\begin{aligned}
x= \textcolor{red}{2} \textnormal{ gir: } \quad & 2 \cdot \textcolor{red}{2}^2 + 6 \cdot \textcolor{red}{2} - 4 = A \cdot \textcolor{red}{2} (\textcolor{red}{2}-1)+ B(\textcolor{red}{2}-1) + C\cdot \textcolor{red}{2}^2 \\
\Rightarrow \qquad & 16 = 2A + B + 4C
\end{aligned}
Siden vi vet at $B = 4$ og $C = 4$, kan vi bruke det:
16 = 2A + 4 + 4 \cdot 4 \quad \Rightarrow \quad 16 - 20 = 2A \quad \Rightarrow \quad A = -2
+ Steg 4 alternativ 2: Bestem konstantene ved å sortere leddene
For å bestemme $A$, $B$ og $C$, multipliserer vi først begge sider med $x^3 – x^2 = x^2(x-1)$:
\begin{aligned}
\frac{2x^2 + 6x - 4}{x^3 - x^2} &= \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x-1} \quad | \cdot x^2(x-1) \\
\Rightarrow \qquad 2x^2 + 6x - 4 & = Ax(x-1)+ B(x-1) + Cx^2 \\
\Rightarrow \qquad \textcolor{red}{2}x^2 + \textcolor{blue}{6}x \textcolor{green}{- 4} & = \textcolor{red}{A}x^2 \textcolor{blue}{- A}x + \textcolor{blue}{B}x \textcolor{green}{- B} + \textcolor{red}{ C}x^2
\end{aligned}Uavhengig av $x$-verdi, må det være balanse i alle ledd uten $x$, i alle ledd med $x$ og i alle ledd med $x^2$:
\begin{aligned}
\textnormal{Ledd \textcolor{green}{uten $x$}:} & \quad
\textcolor{green}{-4} = \textcolor{green}{-B} \\
\textnormal{Ledd \textcolor{blue}{med $x$}:} & \quad
\textcolor{blue}{6} = \textcolor{blue}{-A} + \textcolor{blue}{B} \\
\textnormal{Ledd \textcolor{red}{med $x^2$}:} & \quad
\textcolor{red}{2} = \textcolor{red}{A} + \textcolor{red}{C}
\end{aligned}Nå har vi tre ligninger med tre ukjente. Det kan du løse akkurat som du vil, men den første ligningen gir enkelt verdien for $A$:
B = 4
som vi kan sette inn i ligning nummer to:
6 = -A + 4 \quad \Rightarrow \quad A = -2
som vi kan sette inn i ligning nummer tre:
2 = (-2) + C \quad \Rightarrow \quad C = 4
+ Steg 5: Integrer
Delbrøkoppspalting ga oss:
\frac{2x^2 + 6x - 4}{x^3 - x^2} = - \frac{2}{x} + \frac{4}{x^2} + \frac{4}{x-1} Nå er vi klare til å integrere:
\int \frac{2x^2 + 6x - 4}{x^3 - x^2} dx = - \int \frac{2}{x} \; dx + \int \frac{4}{x^2} \; dx + \int \frac{4}{x-1} dxHer kan vi bruke $\ln(x)$ i første og siste ledd (se gjerne grundig forklaring her). I det midterste kan vi sette $\frac{1}{x^2} = x^{-2}$ og integrere derfra:
\int \frac{2x^2 + 6x - 4}{x^3 - x^2} dx = - 2 \ln |x| - \frac{4}{x} + 4 \ln|x-1| + COg, vips, er vi ferdige.
+ Eksempel med en faktor av 2. orden: $\int \frac{x^2 – 4x + 3}{x^3 + x} dx$
\int \frac{x^2 - 4x + 3}{x^3 + x} \; dx+ Steg 1: Polynomdivisjon
Polynomet i telleren har lavere grad enn polynomet i nevneren (teller har grad 2 og nevner grad 3). Derfor trenger vi ikke polynomdivisjon her.
+ Steg 2: Faktoriser
Først ser vi at alle ledd i nevneren inneholder en $x$:
x^3 + x = x(x^2 + 1)
Og dermed har vi faktorisert nevneren så langt vi kan uten å innføre komplekse tall.
+ Steg 3: Del opp brøken
Siden den ene faktoren er et andregradspolynom, må vi dele opp brøken slik:
\frac{x^2 - 4x + 3}{x^3 + x} = \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1}+ Steg 4 alternativ 1: Bestem konstantene ved å velge smarte $x$-verdier
For å bestemme $A$, $B$ og $C$, multipliserer vi først begge sider med $x^3 + x = x(x^2+1)$:
\begin{aligned}
\frac{x^2 - 4x + 3}{x^3 + x} &= \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1} \quad | \cdot x(x^2+1) \\
\Rightarrow \qquad x^2 - 4x + 3 & = A(x^2+1)+ (Bx + C) x
\end{aligned}Ligningen må stemme for alle $x$-verdier. Når vi velger $x = 0$, kan vi enkelt finne $A$:
\begin{aligned}
x= \textcolor{red}{0} \textnormal{ gir: } \quad & \textcolor{red}{0}^2 - 4 \cdot \textcolor{red}{0} + 3 = A (\textcolor{red}{0}^2 + 1) \\
\Rightarrow \qquad & 3 = A
\end{aligned}
Uansett hvilken $x$-verdi vi velger, kan vi ikke velge en så smart $x$-verdi at vi får en ligning med kun $B$ eller kun $C$. Men ligningen må jo gjelde for alle $x$-verdier, så vi kan velge to tilfeldige $x$-verdier, f.eks. 1 og 2:
\begin{aligned}
x= \textcolor{red}{1} \textnormal{ gir: } \quad & \textcolor{red}{1}^2 - 4 \cdot \textcolor{red}{1} + 3 = A (\textcolor{red}{1}^2 + 1) + (B \cdot \textcolor{red}{1} + C) \cdot \textcolor{red}{1} \\
x= \textcolor{red}{2} \textnormal{ gir: } \quad & \textcolor{red}{2}^2 - 4 \cdot \textcolor{red}{2} + 3 = A (\textcolor{red}{2}^2 + 1) + (B \cdot \textcolor{red}{2} + C) \cdot \textcolor{red}{2}
\end{aligned}
som gir et ligningssystem med to ligninger:
\begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
0 & = 3 \cdot 2 + B + C \\
-1 & = 3 \cdot 5 + 4B + 2C
\end{aligned} \right. \\
\Rightarrow \quad & \left\{ \begin{aligned}
-6 & = B + C \qquad \quad | \cdot (-1) \\
-16 & = 4B + 2C \qquad | \cdot \frac{1}{2}
\end{aligned} \right. \\
\Rightarrow \quad & \left\{ \begin{aligned}
6 & = -B - C \\
-8 & = 2B + C
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}Legger vi sammen de to ligningene, får vi:
-2 = B
Nå som vi har $B$, kan vi sette inn i en av de to andre ligningene for å få $C = -4$
+ Steg 4 alternativ 2: Bestem konstantene ved å sortere leddene
For å bestemme $A$, $B$ og $C$, multipliserer vi først begge sider med $x^3 + x = x(x^2+1)$:
\begin{aligned}
\frac{x^2 - 4x + 3}{x^3 + x} &= \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^2+1} \quad | \cdot x(x^2+1) \\
\Rightarrow \qquad x^2 - 4x + 3 & = A(x^2+1)+ (Bx + C)x \\
\Rightarrow \qquad \textcolor{red}{1}x^2 \textcolor{blue}{-4}x + \textcolor{green}{3} & = \textcolor{red}{A}x^2 + \textcolor{green}{A} + \textcolor{red}{B}x^2 + \textcolor{blue}{C}x
\end{aligned}Uavhengig av $x$-verdi, må det være balanse i alle ledd uten $x$, i alle ledd med $x$ og i alle ledd med $x^2$:
\begin{aligned}
\textnormal{Ledd \textcolor{green}{uten $x$}:} & \; \qquad
\textcolor{green}{3} = \textcolor{green}{A} \\
\textnormal{Ledd \textcolor{blue}{med $x$}:} & \quad
\textcolor{blue}{-4} = \textcolor{blue}{C} \\
\textnormal{Ledd \textcolor{red}{med $x^2$}:} & \; \qquad
\textcolor{red}{1} = \textcolor{red}{A} + \textcolor{red}{B}
\end{aligned}Nå har vi tre enkle ligninger med tre ukjente. De to første gir verdiene for $A$ og $C$, og den siste kan vi bruke til å finne verdien til $B$:
B = 1 - A = 1 - 3 = -2
+ Steg 5: Integrer
Delbrøkoppspalting ga oss:
\frac{x^2 - 4x + 3}{x^3 + x} = \frac{3}{x} + \frac{-2x - 4}{x^2 + 1}Nå er vi klare til å integrere:
\int \frac{x^2 - 4x + 3}{x^3 + x} dx = \int \frac{3}{x} \; dx + \int \frac{-2x - 4}{x^2 + 1} \; dxHer kan vi bruke $\ln(x)$ i første ledd. Det andre leddet kan vi dele opp slik at vi bruker substitusjon ($u = x^2 + 1$) og tangens invers substitusjon:
\begin{aligned}
\int \frac{x^2 - 4x + 3}{x^3 + x} dx & = \int \frac{3}{x} dx - \int \frac{2x}{x^2 + 1} dx - 4 \int \frac{1}{x^2 + 1}dx \\
\Rightarrow \quad \int \frac{x^2 - 4x + 3}{x^3 + x} dx & = 3 \ln |x| - \ln |x^2 + 1| - 4 \tan^{-1}x + C
\end{aligned}Og, vips, er vi ferdige.