\int f(u(x)) u’(x) dx = \int f(u) du
+ Når bruker vi substitusjon?
Substitusjon brukes gjerne når det som skal integreres, blir enklere når vi bytter ut deler av uttrykket med en $\textcolor{red}{u(x)}$, og noe som ligner på dens deriverte, $\textcolor{blue}{u’(x)}$, også er i uttrykket. Eksempler:
\int (\textcolor{red}{x + 2})^8 dx \\
\int \textcolor{blue}{2x} \sin(\textcolor{red}{x^2 + 4}) dx \\
\int \textcolor{blue}{2} e^{\textcolor{red}{2x + 4}} dx \\
\int \textcolor{blue}{3x^2} \sqrt{\textcolor{red}{x^3 + 2}} dx \\
\int (\textcolor{blue}{6x^2 + 2x})(\textcolor{red}{2x^3 + x^2})^4 dx \\
\int \frac{\textcolor{blue}{2x + 1}}{\textcolor{red}{x^2 + x + 1}} dx \\
\int \textcolor{blue}{\frac{1}{x}} \cdot \textcolor{red}{\ln(x)} dxEn variant av substitusjon er trigonometrisk substitusjon.
+ Hvordan brukes substitusjon?
Først velger vi noe vi vil substituere. Ofte er det et uttrykk som lager problemer for oss. Vi setter det uttrykket lik $\textcolor{red}{u(x)}$ og deriverer:
\frac{du}{dx} = \textcolor{blue}{u’(x)}Den deriverte forteller oss hvor mye $u$ endrer seg når $x$ endrer seg, dvs. $du$ er en infinitesimal (dvs. bitteliten) endring i $u$, $dx$ er en infinitesimal (dvs. bitteliten) endring i $x$, og den deriverte er forholdstallet mellom de to. Vi vil nå ha et uttrykk for $dx$ og multipliserer derfor begge sider med $dx$. Deretter deler vi begge sider på $u’(x)$:
\begin{aligned}
& \frac{du}{dx} = \textcolor{blue}{u’(x)} \qquad \qquad | \cdot \; dx \\
\Rightarrow \quad & du = \textcolor{blue}{u’ (x)} \cdot dx \qquad \;\;| \cdot \; \frac{1}{\textcolor{blue}{u’(x)}}\\
\Rightarrow \quad & \frac{du}{\textcolor{blue}{u’(x)}} = dx
\end{aligned}Nå kan vi bytte ut $\textcolor{red}{u(x)}$ (uttrykket vi valgte å substituere) med $\textcolor{red}{u}$, og $dx$ med $du/\textcolor{blue}{u’(x)}$ i integralet vårt:
\int f(\textcolor{red}{u(x)}) \textcolor{blue}{u’(x)} \; dx= \int f(\textcolor{red}{u}) \textcolor{blue}{u’(x)} \cdot \frac{du}{\textcolor{blue}{u’(x)}} = \int f(\textcolor{red}{u}) \; duOg, vips, får vi et uttrykk som forhåpentligvis er lettere å integrere.
+ Eksempel: $\int \frac{1}{x+2} dx$
\int \frac{1}{x+2} dx+ Kort video
Substituer $\textcolor{red}{u(x) = x+2}$ fordi vi kan integrere $\frac{1}{u}$, men ikke $\frac{1}{x+2}$.
Deriverer $u(x)$ for å finne et uttrykk for $dx$:
\begin{aligned}
& \textcolor{red}{u = x + 2} \\
\Rightarrow \qquad & \frac{du}{dx} = 1 \qquad \qquad | \cdot dx \\
\Rightarrow \qquad & \textcolor{blue}{du} = \textcolor{blue}{dx}
\end{aligned}Setter inn for $\textcolor{red}{u}$ og $\textcolor{blue}{dx}$ for å bli kvitt alle $x$’ene:
\int \frac{1}{\textcolor{red}{x + 2}} \; \textcolor{blue}{dx} = \int \frac{1}{\textcolor{red}{u}} \; \textcolor{blue}{du}Siden vi er kvitt alle $x$’ene, kan vi integrere med hensyn på $u$:
\int \frac{1}{x + 2} \; dx = \ln |u| + CSetter $u=x+2$ for å vende tilbake til $x$:
\int \frac{1}{x + 2} \; dx = \ln |x + 2| + CSjekker svaret ved å derivere resultatet ved hjelp av kjerneregelen:
\frac{d}{dx} \left(\ln |x + 2| + C\right) = \frac{1}{x+2} \cdot \frac{d}{dx} (x + 2) = \frac{1}{x + 2} \cdot 1= \frac{1}{x+2}Og, vips, er vi ferdige!
+ Eksempel: $\int (x+2)^8 \; dx$
\int (x+2)^8 dx
+ Kort video
Substituer $\textcolor{red}{u(x) = x+2}$ fordi vi kan integrere $u^8$, men ikke $(x+2)^8$.
Deriverer $u(x)$ for å finne et uttrykk for $dx$:
\begin{aligned}
& \textcolor{red}{u = x + 2} \\
\Rightarrow \qquad & \frac{du}{dx} = 1 \qquad \qquad | \cdot dx \\
\Rightarrow \qquad & \textcolor{blue}{du} = \textcolor{blue}{dx}
\end{aligned}Setter inn for $\textcolor{red}{u}$ og $\textcolor{blue}{dx}$ for å bli kvitt alle $x$’ene:
\int (\textcolor{red}{x + 2})^8 \textcolor{blue}{dx} = \int \textcolor{red}{u}^8 \textcolor{blue}{du}Siden vi er kvitt alle $x$’ene, kan vi integrere med hensyn på $u$:
\int (x + 2)^8 dx = \frac{1}{9} u^9 + CSetter $u=x+2$ for å vende tilbake til $x$:
\int (x + 2)^8 dx = \frac{1}{9} (x + 2)^9 + CSjekker svaret ved å derivere resultatet ved hjelp av kjerneregelen:
\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{9} (x + 2)^9 + C\right) = \frac{1}{9} \cdot 9 (x + 2)^8 \cdot \frac{d}{dx} (x + 2) =(x + 2)^8 \cdot 1= (x+2)^8Og, vips, er vi ferdige!
+ Eksempel: $\int 2x \sin(x^2 + 4) \; dx$
\int 2x \sin(x^2 + 4) dx
+ Kort video
Substituer $\textcolor{red}{u(x) = x^2+4}$ fordi vi kan integrere $\sin(u)$, men ikke $\sin(x^2+4)$.
\begin{aligned}
& \textcolor{red}{u = x^2 + 4} \\
\Rightarrow \qquad & \frac{du}{dx} = 2x \qquad \qquad | \cdot \frac{dx}{2x} \\
\Rightarrow \qquad & \textcolor{blue}{\frac{du}{2x} = dx}
\end{aligned}Setter inn for $\textcolor{red}{u}$ og $\textcolor{blue}{dx}$ for å bli kvitt alle $x$’ene:
\begin{aligned}
& \int 2x \sin( \textcolor{red}{x^2 + 4} ) \textcolor{blue}{dx} = \int 2x \sin(\textcolor{red}{u}) \cdot \textcolor{blue}{\frac{du}{2x}} \\
\Rightarrow \qquad & \int 2x \sin(x^2 + 4) dx = \int \sin(u) du
\end{aligned}Siden vi er kvitt alle $x$’ene, kan vi integrere $\sin(u)$ med hensyn på $u$:
\int 2x \sin(x^2 + 4) dx = - \cos(u) + C
Setter $u = x^2 + 4$ for å vende tilbake til $x$:
\int 2x \sin(x^2 + 4) dx = - \cos(x^2 + 4) + C
Sjekker svaret ved å derivere resultatet ved hjelp av kjerneregelen. Merk at kjernen er det vi valgte som $u$:
\frac{d}{dx} \left(- \cos(x^2 + 4) + C\right) = \sin(x^2 + 4) \cdot \frac{d}{dx} (x^2 + 4) = \sin(x^2 + 4) \cdot 2x = 2x \sin(x^4 + 2)Og, vips, er vi ferdige!
+ Eksempel: $\int 2e^{2x+4}\; dx$
\int 2 e^{2x + 4} dx+ Kort video
Substituer $\textcolor{red}{u(x) = 2x+4}$ fordi vi kan integrere $e^u$, men ikke $e^{2x+4}$.
Deriverer $u(x)$ for å finne et uttrykk for $dx$:
\begin{aligned}
& \textcolor{red}{u = 2x + 4} \\
\Rightarrow \qquad & \frac{du}{dx} = 2 \qquad \qquad | \cdot \frac{dx}{2}\\
\Rightarrow \qquad & \textcolor{blue}{\frac{du}{2} = dx}
\end{aligned}Setter inn for $\textcolor{red}{u}$ og $\textcolor{blue}{dx}$ for å bli kvitt alle $x$’ene:
\begin{aligned}
& \int \textcolor{blue}{2} e^{\textcolor{red}{2x + 4}} \textcolor{blue}{dx} = \int \textcolor{blue}{2} e^{\textcolor{red}{u}} \textcolor{blue}{\frac{du}{2}} \\
\Rightarrow \quad & \int 2 e^{2x + 4} dx = \int e^u du
\end{aligned} Siden vi er kvitt alle $x$’ene, kan vi integrere $e^u$ med hensyn på $u$:
\int 2 e^{2x + 4} dx = e^u + CSetter u = 2x + 4 for å vende tilbake til x:
\int e^{2x + 4} dx = e^{2x + 4} + CSjekker svaret ved å derivere resultatet ved hjelp av kjerneregelen. Merk at kjernen er det vi valgte som u:
\frac{d}{dx} \left( e^{2x + 4} + C \right) = e^{2x + 4} \cdot \frac{d}{dx}(2x + 4) = e^{2x + 4} \cdot 2 = 2 e^{2x+4}Og, vips, er vi ferdige!
+ Eksempel: $\int 3x^2 \sqrt{x^3 + 7} \; dx$
\int 3x^2 \sqrt{x^3 + 7} \; dx+ Kort video
Substituer $\textcolor{red}{u(x) = x^3+7}$ fordi vi kan integrere roten av $u$, men ikke roten av $x^3 + 7$.
Deriverer $u(x)$ for å finne et uttrykk for $dx$:
\begin{aligned}
& \textcolor{red}{u = x^3 + 7} \\
\Rightarrow \qquad & \frac{du}{dx} = 3x^2 \qquad \qquad | \cdot \frac{dx}{3x^2}\\
\Rightarrow \qquad & \textcolor{blue}{\frac{du}{3x^2} = dx}
\end{aligned}Setter inn for $\textcolor{red}{u}$ og $\textcolor{blue}{dx}$ for å bli kvitt alle $x$’ene:
\begin{aligned}
& \int 3x^2 \sqrt{\textcolor{red}{x^3 + 7}} \; \textcolor{blue}{dx} = \int 3x^2 \sqrt{\textcolor{red}{u}} \; \textcolor{blue}{\frac{du}{3x^2}} \\
\Rightarrow \quad & \int 3x^2 \sqrt{x^3 + 7} \; dx = \int \sqrt{u} \; du
\end{aligned} Siden vi er kvitt alle $x$’ene, kan vi integrere $\sqrt{u} = u^{1/2}$ med hensyn på $u$:
\int 3x^2 \sqrt{x^3 + 7} dx = \frac{2}{3} u^{3/2} + CSetter $u = x^3 + 7$ for å vende tilbake til $x$:
\int 3x^2 \sqrt{x^3 + 7} \; dx = \frac{2}{3} (x^3 + 7)^{3/2} + CSjekker svaret ved å derivere resultatet ved hjelp av kjerneregelen. Merk at kjernen er det vi valgte som $u$:
\frac{d}{dx} \left( \frac{2}{3} \sqrt{x^3 + 7} + C \right) = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} (x^3 + 7)^{1/2} \cdot \frac{d}{dx}(x^3 + 7) = \sqrt{x^3 + 7} \cdot 3x^2 = 3x^2 \sqrt{x^3+7}Og, vips, er vi ferdige!
+ Eksempel: $\int (6x^2 + 2x)(2x^3 + x^2)^4 \;dx$
\int (6x^2+2x) (2x^3+x^2)^4 dx
+ Kort video
Substituer $\textcolor{red}{u(x) = 2x^3+x^2}$ fordi vi kan integrere $u^4$, men ikke $(2x^3+x^2)^4$.
Deriverer $u(x)$ for å finne et uttrykk for $dx$:
\begin{aligned}
& \textcolor{red}{u = 2x^3 + x^2} \\
\Rightarrow \qquad & \frac{du}{dx} = 6x^2 + 2x \qquad \qquad | \cdot \frac{dx}{6x^2 + 2x} \\
\Rightarrow \qquad & \textcolor{blue}{\frac{du}{6x^2 + 2x} = dx}
\end{aligned}Setter inn for $\textcolor{red}{u}$ og $\textcolor{blue}{dx}$ for å bli kvitt alle $x$’ene:
\begin{aligned}
& \int (6x^2 + 2x) (\textcolor{red}{2x^3+x^2} )^4 \textcolor{blue}{dx} = \int (6x^2 + 2x) \textcolor{red}{u}^4 \cdot \textcolor{blue}{\frac{du}{6x^2 + 2x}} \\
\Rightarrow \qquad
& \int (6x^2 + 2x) (2x^3+x^2 )^4 dx = \int u^4 du
\end{aligned}Siden vi er kvitt alle $x$’ene, kan vi integrere $u^4$ med hensyn på $u$:
\int (6x^2 + 2x) (2x^3 + x^2)^4 dx = \frac{1}{5} u^5 + CSetter $u=2x^3 + x^2$ for å vende tilbake til $x$:
\int (6x^2 + 2x) (2x^3 + x^2)^4 dx = \frac{1}{5} (2x^3 + x^2)^5 + CSjekker svaret ved å derivere resultatet ved hjelp av kjerneregelen:
\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{5} (2x^3 + x^2)^5 + C\right) = \frac{1}{5} \cdot 5 (2x^3 + x^2)^4 \cdot \frac{d}{dx} (2x^3 + x^2) =(2x^3 + x^2)^4 \cdot (6x^2 + 2x)Og, vips, er vi ferdige!
+ Eksempel: $\int \frac{2x + 1}{x^2 + x + 1} dx$
\int \frac{2x + 1}{x^2 + x + 1} dx+ Kort video
Substituer $\textcolor{red}{u(x) = x^2 + x + 1}$ fordi vi kan integrere $1/u$, men ikke $1/(x^2 + x + 1)$.
Deriverer $u(x)$ for å finne et uttrykk for $dx$:
\begin{aligned}
& \textcolor{red}{u = x^2 + x + 1} \\
\Rightarrow \qquad & \frac{du}{dx} = 2x + 1 \qquad \qquad | \cdot \frac{dx}{2x + 1} \\
\Rightarrow \qquad & \textcolor{blue}{\frac{du}{2x + 1} = dx}
\end{aligned}Setter inn for $\textcolor{red}{u}$ og $\textcolor{blue}{dx}$ for å bli kvitt alle $x$’ene:
\begin{aligned}
& \int \frac{2x + 1}{ \textcolor{red}{x^2+x + 1}} \textcolor{blue}{dx} = \int \frac{2x + 1}{ \textcolor{red}{u}} \cdot \textcolor{blue}{\frac{du}{2x + 1}} \\
\Rightarrow \quad & \int \frac{2x + 1}{x^2 + x + 1} dx = \int \frac{1}{u} du
\end{aligned}Siden vi er kvitt alle $x$’ene kan vi integrere $1/u$ med hensyn på $u$:
\int \frac{2x + 1}{x^2 + x + 1} dx = \ln(u) + CSetter $u = x^2 + x + 1$ for å vende tilbake til $x$:
\int \frac{2x + 1}{x^2 + x + 1} dx = \ln (x^2 + x + 1) + CSjekker svaret ved å derivere resultatet ved hjelp av kjerneregelen:
\frac{d}{dx} \left( \ln (x^2 + x + 1) + C\right) = \frac{1}{x^2 + x + 1} \cdot \frac{d}{dx} (x^2 + x + 1) =\frac{1}{x^2 + x + 1} \cdot (2x + 1)Og, vips, er vi ferdige!
+ Eksempel: $\int \frac{\ln(x)}{x} dx$
\int \frac{\ln(x)}{x} dx+ Kort video
Substituer $\textcolor{red}{u(x) = \ln(x)}$ fordi vi kan derivere, men ikke integrere $\ln(x)$:
Deriverer $u(x)$ for å finne et uttrykk for $dx$:
\begin{aligned}
& \textcolor{red}{u = \ln(x)} \\
\Rightarrow \qquad & \frac{du}{dx} = \frac{1}{x} \qquad \qquad | \cdot x \; dx \\
\Rightarrow \qquad & \textcolor{blue}{x \; du = dx}
\end{aligned}Setter inn for $\textcolor{red}{u}$ og $\textcolor{blue}{dx}$ for å bli kvitt alle $x$’ene:
\begin{aligned}
& \int \frac{\textcolor{red}{\ln(x)}}{x} \textcolor{blue}{dx} = \int \frac{\textcolor{red}{u}}{x} \cdot \textcolor{blue}{x \; du} \\
\Rightarrow \quad & \int \frac{\ln(x)}{x} dx = \int u \; du
\end{aligned}Siden vi er kvitt alle $x$’ene kan vi integrere $u$ med hensyn på $u$:
\int \frac{\ln(x)}{x} dx = \frac{1}{2} u^2 + CSetter $u=\ln(x)$ for å vende tilbake til $x$:
\int \frac{\ln(x)}{x} dx = \frac{1}{2} ( \ln (x) )^2 + CSjekker svaret ved å derivere resultatet ved hjelp av kjerneregelen:
\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2} (\ln (x))^2 + C\right) = \frac{1}{2} \cdot 2 \ln(x) \cdot \frac{d}{dx} (\ln(x)) = \ln(x) \cdot \frac{1}{x}Og, vips, er vi ferdige!
+ Eksempel: $\int \tan(x) dx$
\int \tan(x) dx = \int \frac{\sin(x)}{\cos(x)} dxSubstituer $\textcolor{red}{u(x) = \cos(x)}$ fordi telleren er den deriverte av nevneren:
Deriverer $u(x)$ for å finne et uttrykk for $dx$:
\begin{aligned}
& \textcolor{red}{u = \cos(x)} \\
\Rightarrow \qquad & \frac{du}{dx} = - \sin(x)\qquad \qquad \bigg| \cdot \left(-\frac{dx}{\sin(x)} \right) \\
\Rightarrow \qquad & \textcolor{blue}{-\frac{du}{\sin(x)} = dx}
\end{aligned}Setter inn for $\textcolor{red}{u}$ og $\textcolor{blue}{dx}$ for å bli kvitt alle $x$’ene:
\begin{aligned}
& \int \frac{\sin(x)}{\textcolor{red}{\cos(x)}} \textcolor{blue}{dx} = \int \frac{\sin(x)}{\textcolor{red}{u}} \cdot \left( \textcolor{blue}{-\frac{du}{\sin(x)}} \right) \\
\Rightarrow \quad & \int \tan(x) dx = - \int \frac{1}{u} \; du
\end{aligned}Siden vi er kvitt alle $x$’ene kan vi integrere $u$ med hensyn på $u$:
\int \tan(x) dx = - \ln (u) + C
Setter $u=\ln(x)$ for å vende tilbake til $x$:
\int \tan(x) dx = - \ln (\cos(x)) + C
Sjekker svaret ved å derivere resultatet ved hjelp av kjerneregelen:
\frac{d}{dx} \left( - \ln(\cos(x)) + C\right) = - \frac{1}{\cos(x)} \cdot \frac{d}{dx} (\cos(x)) = - \frac{1}{\cos(x)} \cdot (- \sin(x)) = \tan (x)Og, vips, er vi ferdige!