En invers funksjon = en funksjon som «utligner» en annen funksjon:
| $x$ |
$\underrightarrow{\quad \textnormal{inn} \quad}$ $\overleftarrow{\quad \textnormal{ut} \quad}$ |
Regel $f$ Annen regel |
$\underrightarrow{\quad \textnormal{ut} \quad}$ $\overleftarrow{\quad \textnormal{inn} \quad}$ |
$f(x)$ |
|---|
Notasjon: Ofte brukes $f^{-1}(x)$ om den inverse funksjonen til $f(x)$.
Krav: Den sammensatte funksjonen av en funksjon og dens inverse funksjon, blir $x$:
f^{-1}(f(x) = f(f^{-1}(x)) = xMerk:
- En graf må være en-entydig for at den skal ha en invers funksjon (dvs. hvert input må gi et unikt result)
- Grafene til $f(x)$ og $f^{-1}(x)$ er symmetriske om linjen $y = x$
- Definisjonsmengden til $f(x)$ = Verdimengden til $f^{-1}(x)$
- Verdimengden til $f(x)$ = Definisjonsmengden til $f^{-1}(x)$
+ Når eksisterer den inverse funksjonen?
En funksjon har en invers funksjon dersom den er en-entydig, dvs. at hvert input må gi et unikt resultat.
+ Enkelt eksempel
Gitt to funksjoner
\begin{aligned}
& \textnormal{Regel «legg til to»:} \qquad && f(x) = x + 2 \\
& \textnormal{Regel «trekk fra to»:} \qquad && g(x) = x - 2
\end{aligned}Disse to er inverse funksjoner siden de sammensatte funksjonene gir $x$:
\begin{aligned}
& g(\textcolor{blue}{f(x)}) = g(\textcolor{blue}{x+2}) = (\textcolor{blue}{x+2}) - 2 = x \\
& f(\textcolor{red}{g(x)}) = f(\textcolor{red}{x-2}) = (\textcolor{red}{x-2}) + 2 = x
\end{aligned}+ Hvordan finne en invers funksjon?
Fremgangsmåte:
- Løs uttrykket $y = f(x)$ med hensyn på $x$ (dvs. finn $x = …$)
- Sett uttrykket for $x$ lik $f^{-1}(y)$
- Erstatt $y$ med $x$ for å få frem uttrykket $f^{-1}(x)$
- Sjekk at $f^{-1}(f(x)) = f(f^{-1}(x)) = x$
+ Eksempel: Finn invers funksjon til $f(x) = 150 + 25x$
En reservetank koster 150 kroner og rommer 10 liter bensin. Hvis bensin koster 25 kroner per liter og du kjøper tanken og fyller $x$ liter bensin på den, blir prisen:
f(x) = 150 + 25x, \qquad x = [0,10]
Nå vil vi finne en funksjon som forteller oss hvor mye bensin du fylte på tanken basert på hvor mye du betalte.
Steg 1: Løs uttrykket $y = f(x)$ med hensyn på $x$
\begin{aligned}
& y = 150 + 25x \quad && | \textcolor{red}{- 150} \\
\Rightarrow \quad & y \textcolor{red}{- 150} = 150 + 25x \textcolor{red}{-150} \\
\Rightarrow \quad & y \textcolor{red}{- 150} = 25x \quad && | \textcolor{blue}{ \cdot \frac{1}{25}} \\
\Rightarrow \quad & \frac{y - 150}{\textcolor{blue}{25}} = \frac{25x}{\textcolor{blue}{25}} \\
\Rightarrow \quad & \frac{y-150}{25} = x
\end{aligned}Steg 2: Sett uttrykket for $x$ lik $f^{-1}(y)$
f^{-1}(y) = \frac{y - 150}{25}Steg 3: Erstatt $y$ med $x$
f^{-1}(x) = \frac{x - 150}{25}Steg 4: Sjekk at de sammensatte funksjonene $f^{-1}(f(x))$ eller $f(f^{-1}(x))$ blir $x$
\begin{aligned}
& f^{-1}(\textcolor{blue}{f(x)}) = f^{-1}(\textcolor{blue}{150 + 25x}) = \frac{(\textcolor{blue}{150 + 25x}) - 150}{25} = \frac{25x}{25} = x \\
& f(\textcolor{red}{f^{-1}(x)}) = f\left(\textcolor{red}{\frac{x-150}{25}}\right) = 150 + 25\cdot \left(\textcolor{red}{\frac{x-150}{25}}\right) = 150 + (x - 150) = x
\end{aligned}Og, vips vet vi at vi har funnet rett invers funksjon.
Her er noen morsomme observasjoner:
- Hvis du kjøper tanken og fyller på 5 liter må du betale 275 kroner:
f(5) = 150 + 25 \cdot 5 = 275
- Hvis du betaler 275 kroner, har du fylt på 5 liter:
f^{-1}(275) = \frac{275 - 150}{25} = \frac{125}{25} = 5- Reservetanken rommer 10 liter
- Definisjonsmengden til $f(x)$ er $[0,10]$
- Verdimengden til $f^{-1}(x)$ er $[0,10]$
- Det minste du kan betale er 150 kroner (kun tanken) og det meste er 400 kroner (full tank)
- Verdimengden til $f(x)$ er $[150,500]$
- Definisjonsmengden til $f^{-1}(x)$ er $[150,500]$
+ Eksempel: Finn invers funksjon til $f(x) = x^2 \;-\; 1$
Finn den inverse funksjonen til $f(x)$:
f(x) = x^2 - 1, \qquad x \ge 0
Steg 1: Løs uttrykket $y = f(x)$ med hensyn på $x$
\begin{aligned}
& y = x^2 - 1 \quad && | \textcolor{red}{+ 1} \\
\Rightarrow \quad & y \textcolor{red}{+1} = x^2 - 1 \textcolor{red}{ + 1} \\
\Rightarrow \quad & y + 1 = x^2 \quad && | \textcolor{blue}{ \sqrt{\cdot}} \\
\Rightarrow \quad & \textcolor{blue}{\sqrt{\textcolor{black}{y + 1}}} = \textcolor{blue}{\sqrt{\textcolor{black}{x^2}}} \\
\Rightarrow \quad & \sqrt{y + 1} = x
\end{aligned}Obs: Egentlig får vi $\pm \sqrt{y+1}$, men siden $x > 0$, bruker vi kun plusstegnet her.
Steg 2: Sett uttrykket for $x$ lik $f^{-1}(y)$
f^{-1}(y) = \sqrt{y + 1}Steg 3: Erstatt $y$ med $x$
f^{-1}(x) = \sqrt{x + 1}Steg 4: Sjekk at de sammensatte funksjonene $f^{-1}(f(x)) = x$ eller $f(f^{-1}(x)) = x$
\begin{aligned}
& f^{-1}(\textcolor{blue}{f(x)}) = f^{-1}(\textcolor{blue}{x^2-1}) = \sqrt{(\textcolor{blue}{x^2-1}) + 1} = \sqrt{x^2} = x \\
& f(\textcolor{red}{f^{-1}(x)}) = f(\textcolor{red}{\sqrt{x+1}}) = (\textcolor{red}{\sqrt{x+1}})^2 -1 = x + 1 - 1 = x
\end{aligned}Og, vips vet vi at vi har funnet rett invers funksjon