Funksjoner: Hva er en funksjon?

Regelen «multipliser med to og legg deretter til fire» gir funksjonen:

f(x) = 2x + 4

• Hvis vi bruker regelen på tallet 3, multipliserer vi med to og legger deretter til fire. Det gir $f(3) = 10$.

Regelen «Legg først til fire og ta deretter kvadratroten» gir funksjonen:

g(x) = \sqrt{x + 4}

• Hvis vi bruker regelen på tallet fem, legger vi til fire og tar deretter kvadratroten. Det gir $f(5) = \sqrt{5 + 4} = \sqrt{9} = 3$.

Definisjonsmengden til funksjonen $f$ = alle verdiene $f(x)$ kan ha som input.

Eksempel:

f(x) = \frac{4}{x-2}

kan ha alle verdier av $x$ så lenge $x-2 \neq 0$, dvs. $x \neq 2$.

Eksempel:

g(x) = \sqrt{x}

kan ha alle verdier av $x$ så lenge $x \ge 0$ fordi vi ikke kan ta kvadratroten av et negativt tall (med mindre vi vil tillate komplekse tall).

Verdimengden til funksjonen $f$ = alle verdiene $f(x)$ kan ha som resultat.

Eksempel:

g(x) = \sqrt{x}

kan ikke ha negative tall som resultat. Derfor er verdimengden null og alle positive tall.

Gitt en funksjon:

f(x) = \frac{2x + 2}{2}, \qquad x \in \mathbb{R}

• Definisjonsmengden til $f(x)$: $x \in \mathbb{R}$
  dvs. funksjonen kan ta imot alle reelle tall
• Verdimengde til $f(x)$: $f(x) \in \mathbb{R}$
  dvs. funksjonen kan ha alle reelle tall som resultat
• $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ (leses: «$f$ er en funksjon fra $\mathbb{R}$ til $\mathbb{R}$»)
  dvs. funksjonen tar imot et reelt tall og spytter ut et reelt tall

Gitt en funksjon:

g(x) = \frac{2x + 2}{2}, \qquad x \in \mathbb{Z}

• Definisjonsmengden til $g(x)$: $x \in \mathbb{Z}$
  dvs. funksjonen kan ta imot alle heltall
• Verdimengde til $g(x)$: $g(x) \in \mathbb{Q}$
  dvs. funksjonen kan ha alle tall som kan skrives som brøk, som resultat
• $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Q}$ (leses: «$g$ er en funksjon fra $\mathbb{Z}$ til $\mathbb{Q}$»)
  dvs. funksjonen tar imot et heltall og spytter ut en brøk

En sammensatt funksjon er en funksjon av en annen funksjon:

g \circ f(x) = g(f(x))

Eksempel: Gitt to funksjoner

f(x) = x + 2 \qquad \qquad g(x) = x^2

Disse kan vi bruke til å lage sammensatte funksjoner:

• Funksjonen $g(x)$ representerer regelen «opphøy i andre». Når vi har $(x+2)$ som input, må vi bruke regelen på $(x+2)$, dvs. opphøye $(x+2)$ i andre.

\textcolor{red}{g} \; \circ \textcolor{blue}{f(x)} = \textcolor{red}{g}(\textcolor{blue}{f(x)}) = \textcolor{red}{g}(\textcolor{blue}{x+2}) = (\textcolor{blue}{x+2})^2

• Funksjonen $f(x)$ representerer regelen «legg til to». Når vi har $x^2$ som input, må vi bruke regelen på $x^2$, dvs. legge to til $x^2$.

\begin{aligned}
 & \textcolor{blue}{f} \; \circ \textcolor{red}{g(x)} = \textcolor{blue}{f}(\textcolor{red}{g(x)}) = \textcolor{blue}{f}(\textcolor{red}{x^2}) = \textcolor{red}{x^2} + 2 
\end{aligned}

Legg merke til at rekkefølgen betyr noe her.