f(x) = a^x
- $a$ er grunntallet (vanlige grunntall er $e$ eller 10)
- $x$ er eksponenten
- eksponentialfunksjoner er kontinuerlige
- $a^x$ er alltid positiv
+ Eksponentiell vekst ($a > 1$)
Når $f(x) = a^x$ og $a > 1$:
\begin{aligned}
f(0) &= a^0 = 1 \\
\lim_{x \to -\infty} f(x) &= \lim_{x \to -\infty} a^x = 0 \\
\lim_{x \to \infty} f(x) &= \lim_{x \to \infty} a^x = \infty
\end{aligned}Derfor, uansett hvilken verdi $a$ har, krysser grafen $y$-aksen i 1, begynner når 0 (når $x$ er liten) og går mot uendelig (når $x$ er stor). Det ser vi også på grafene:
+ Eksponentielt avtagende ($a < 1$)
Når $f(x) = a^x$ og $a < 1$:
\begin{aligned}
f(0) &= a^0 = 1 \\
\lim_{x \to -\infty} f(x) &= \lim_{x \to -\infty} a^x = \infty \\
\lim_{x \to \infty} f(x) &= \lim_{x \to \infty} a^x = 0
\end{aligned}Derfor, uansett hvilken verdi $a$ har, krysser grafen $y$-aksen i 1, begynner stort (når $x$ er liten) og går mot null (når $x$ er stor). Det ser vi også på grafene:
+ Eksempel: Trykket i atmosfæren
Trykket i atmosfæren kan skrives som en eksponentialfunksjon:
p(h) = 1.01 \cdot 10^5 \cdot e^{-1.25 \cdot 10^{-4}h}der $h$ er antall meter over havet og trykket $p$ er i Pascal.
Legg merke til:
- Ved havoverflaten ($h=0$m) er atmosfæretrykket lik $1.01 \cdot 10^5$ Pa = 101kPa.
- Atmosfæretrykket går mot null når høyden går mot uendelig.
- $10^4$ på den horisontale aksen betyr at alle tallene der skal multipliseres med $10^4$.
- Å skrive $10^4$ ett sted som gjelder alle tall, er mer ryddig enn å bytte 1 med $1 \cdot 10^4$, 2 med $2 \cdot 10^4$ osv.
- h/[m] betyr at $h$ har dimensjon meter og verdiene på den horisontale aksen brukes uten meter.
- Hvis f.eks. $h = 2\cdot 10^4$m, blir h/[m] = 2 $\cdot 10^4$.
- Å skrive h/[m] er mer ryddig enn å ha enheten med i alle verdiene på aksen, dvs. bytte 1 med 1m, 2 med 2m osv.