Algebra: Potensregler

Noen nyttige potensregler:

\begin{aligned}
a^0 &= 1 \\
a^1 &= a \\
a^m \cdot a^n &= a^{m + n} \\
(a^m)^n & = a^{m \cdot n} \\
(a\cdot b)^n & = a^n \cdot b^n
\end{aligned}
\begin{aligned}
a^{-n} & = \frac{1}{a^n} \\
\frac{a^m}{a^n} & = a^{m-n} \\
a^{1/n} & = \sqrt[n]{a}
\end{aligned}

der $a \neq 0$.

+ Grunntallet $e$

Et vanlige grunntall er $e$:

e^x

Eulers tall, $e$, er en konstant som er oppkalt etter en sveitsisk fyr, Leonhard Euler som levde på 1700-tallet. Denne konstanten dukker opp i mange forskjellige grener av matematikk og fysikk. Og derfor var det like greit at den fikk en egen bokstav (akkurat som $\pi$).

En av de mer vanlige definisjonene på $e$:

e = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x} \right)^x = 2.718281828…

+ Grunntallet 10

Et vanlige grunntall er 10:

10^x

Veldig store og veldig små tall skrives ofte på det vi kaller vitenskapelig form. Da bruker vi grunntallet 10. For eksempel:

12000000 = 1.2 \cdot 10^7 \\
0.00000012 = 1.2 \cdot 10^{-7}

Eksponenten forteller hvor mange plasser vi må flytte kommaet.

+ Eksempel 1: $a^2 \cdot a^3 = a^5$

Uten formel:

\textcolor{blue}{a^2} \cdot \textcolor{red}{a^3} = \textcolor{blue}{a \cdot a} \cdot \textcolor{red}{a \cdot a \cdot a} = a^5

Med formel:

\textcolor{blue}{a^2} \cdot \textcolor{red}{a^3} = a^{\textcolor{blue}{2} + \textcolor{red}{3}} = a^5

Og, vips, er vi ferdige.

Eksempel: $7^2 \cdot 7^3 = 7^5$.

+ Eksempel 2: $a^7/a^3 = a^4$

Uten formel:

\frac{\textcolor{blue}{a^7}}{\textcolor{red}{a^3}} = \frac{\cancel{\textcolor{blue}{a \cdot a \cdot a}} \textcolor{blue}{\cdot a \cdot a \cdot a \cdot a}}{\cancel{\textcolor{red}{a \cdot a \cdot a}}} = \textcolor{blue}{a \cdot a \cdot a \cdot a} = a^4

Med formel:

\frac{\textcolor{blue}{a^7}}{\textcolor{red}{a^3}} = a^{\textcolor{blue}{7} - \textcolor{red}{3}} = a^4

Og, vips, er vi ferdige.

Eksempel: $\frac{2^7}{2^3} = 2^4$.

+ Eksempel 3: $(a^4)^3$

Uten formel:

(a^4)^3 
= \textcolor{red}{a^4} \cdot \textcolor{blue}{a^4} \cdot \textcolor{green}{a^4}
= \textcolor{red}{a \cdot a \cdot a \cdot a} \cdot \textcolor{blue}{a \cdot a \cdot a \cdot a} \cdot \textcolor{green}{a \cdot a \cdot a \cdot a}
= a^{12}

Med formel:

(a^{\textcolor{red}{4}})^{\textcolor{blue}{3}} = a^{\textcolor{red}{4} \cdot \textcolor{blue}{3}} = a^{12}

Og, vips, er vi ferdige.

Eksempel: $(5^4)^3 = 5^{12}$.

+ Eksempel 4: $\sqrt{a^4 b^2}$

Uten formel:

\sqrt{\textcolor{red}{a^4} \cdot \textcolor{blue}{b^2}}
= \sqrt{\textcolor{red}{a \cdot a \cdot a \cdot a} \cdot \textcolor{blue}{b \cdot b}}
= \sqrt{(\textcolor{red}{a \cdot a} \cdot \textcolor{blue}{b})^2}
= \textcolor{red}{a \cdot a} \cdot \textcolor{blue}{b} = a^2 b

Med formel:

\sqrt{a^{\textcolor{red}{4}} b^{\textcolor{blue}{2}}} 
= (a^{\textcolor{red}{4}} b^{\textcolor{blue}{2}} )^{\frac{1}{2}}
= a^{\textcolor{red}{4} \cdot \frac{1}{2}} b^{\textcolor{blue}{2} \cdot \frac{1}{2}}
= a^{\textcolor{red}{2}} b^{\textcolor{blue}{1}}

Og, vips, er vi ferdige.

Eksempel: $\sqrt{2^4 \cdot 3^2} = 2^2 \cdot 3 = 12$.

← Matematikk

↓ Oppgaver

→ Regnerekkefølge