Første ordens differensialligninger kan løses med integrerende faktor, hvis de kan skrives på formen:
y’ + p(x)y= q(x)
+ Metode med formel for $y$
Steg 1: Skriv differensialligningen på formen
y’ + p(x)y= q(x)
Steg 2: Finn den integrerende faktoren
v(x) = e^{\int p(x) \; dx}Steg 3: Finn løsningen
y = \frac{1}{v(x)} \int v(x) \cdot q(x) \; dxSteg 4: Bruk eventuell startbetingelser, f.eks. $y(x_0) = y_0$.
Steg 5: Sjekk gjerne løsningen ved å derivere og sette inn.
+ Metode med produktregelen baklengs
Steg 1: Skriv differensialligningen på formen
y’ + p(x)y= q(x)
Steg 2: Finn den integrerende faktoren
v(x) = e^{\int p(x) \; dx}En viktig egenskap med $v(x)$, er at $v’(x) = p(x) e^{\int p(x) \; dx} = p(x) v(x)$.
Steg 3: Multipliser alle ledd med den integrerende faktoren
y’ + py= q \quad | \cdot v(x) \\ \Rightarrow \quad vy’ + vpy = v q
Steg 4: Siden $v’ = vp$, kan vi bruke produktregelen baklengs
(vy)’ = vq
Merk at $(vy)’ = vy’ + v’y$ og siden $v’ = vp$, får vi at $(vy)’ = vy’ + vpy$.
Steg 5: Integrer begge sider
vy = \int v \cdot q \; dx \quad \Big| \cdot \frac{1}{v} \\
\Rightarrow \quad y = \frac{1}{v(x)} \int v(x) \cdot q(x) \; dxSteg 6: Bruk eventuell startbetingelser, f.eks. $y(x_0) = y_0$.
Steg 7: Sjekk gjerne løsningen ved å derivere og sette inn.
+ Eksempel 1: $y’ + 2y \:-\: 6x = 0$
Løs differensialligningen:
y’ + 2y - 6x = 0
Steg 1: Skriver ligningen på formen $y’ + \textcolor{red}{p(x)} y = \textcolor{blue}{q(x)}$
y’ + \textcolor{red}{2}y = \textcolor{blue}{6x}Steg 2: Finner den integrerende faktoren
v(x) = e^{\int \textcolor{red}{p(x)} dx} = e^{\int \textcolor{red}{2} dx} = e^{2x}(Egentlig er $\int 2 dx = 2x + C$, men vi kan velge $C=0$ for å få et enkelt uttrykk for $v(x)$. Vi kan velge for eksempel $C = 17$ hvis vi vil, men det gjør bare alt mer komplisert.)
+ Fortsett med formel for $y$
Steg 3: Finn løsningen
\begin{aligned}
y & = \frac{1}{\textcolor{green}{v(x)}} \int \textcolor{green}{v(x)} \cdot \textcolor{blue}{q(x)} \; dx \\
\Rightarrow \quad y & = \frac{1}{\textcolor{green}{e^{2x}}} \int \textcolor{green}{e^{2x}} \cdot \textcolor{blue}{6x} \; dx
\end{aligned} Her må vi bruke delvis integrasjon for å løse integralet:
u = 6x \\
v’ = e^{2x}\Rightarrow
u’ = 6 \\
v = \frac{1}{2}e^{2x}\begin{aligned}
y & = \frac{1}{e^{2x}} \left( 6x \cdot \frac{1}{2} e^{2x} - \int 6 \cdot \frac{1}{2} e^{2x} \; dx \right) \\
\Rightarrow \quad y & = \frac{1}{e^{2x}} \left( 3x e^{2x} - \int 3 e^{2x} \; dx \right) \\
\Rightarrow \quad y & = \frac{1}{e^{2x}} \left( 3xe^{2x} - \frac{3}{2} e^{2x} + C\right) \\
\Rightarrow \quad y & = 3x - \frac{3}{2} + \frac{C}{e^{2x}}
\end{aligned} Og, vips, har vi funnet den generelle løsningen på differensialligningen:
y = 3x - \frac{3}{2} + C e^{-2x}+ Fortsett med produktregelen baklengs
Steg 3: Multipliser alle ledd med den integrerende faktoren
\begin{aligned}
& y’ + 2y = 6x \quad | \cdot e^{2x} \\
\Rightarrow \quad & y’ e^{2x} + 2e^{2x} y = 6x e^{2x}
\end{aligned} Steg 4: Produktregelen baklengs
\begin{aligned}
(y e^{2x})’ = 6x e^{2x}
\end{aligned} Steg 5: Integrer begge sider
\begin{aligned}
y e^{2x} = \int 6x e^{2x} dx
\end{aligned} Her må vi bruke delvis integrasjon for å løse integralet på høyre side
u = 6x \\
v’ = e^{2x}\Rightarrow
u’ = 6 \\
v = \frac{1}{2}e^{2x}\begin{aligned}
& y e^{2x} = 6x \cdot \frac{1}{2} e^{2x} - \int 6 \cdot \frac{1}{2} e^{2x} \; dx \\
\Rightarrow \quad & y e^{2x} = 3x e^{2x} - \int 3 e^{2x} \; dx\\
\Rightarrow \quad & y e^{2x} = 3xe^{2x} - \frac{3}{2} e^{2x} + C \quad | \cdot \frac{1}{e^{2x}} \\
\Rightarrow \quad & y = 3x - \frac{3}{2} + \frac{C}{e^{2x}}
\end{aligned} Og, vips, har vi funnet den generelle løsningen på differensialligningen:
y = 3x - \frac{3}{2} + C e^{-2x}+ Sjekk svaret
Deriverer $y$:
\begin{aligned}
y(x) & = 3x - \frac{3}{2} + C e^{-2x} \\
\Rightarrow \quad y’(x) & = 3 - 2C e^{-2x}
\end{aligned}Setter inn på venstre side av differensialligningen vi startet med:
\begin{aligned}
& y’ + 2y - 6x = \left( 3 - 2C e^{-2x} \right) + 2 \left( 3x - \frac{3}{2} + C e^{-2x} \right) - 6x \\
\Rightarrow \quad & y’ + 2y - 6x
= \textcolor{blue}{3} \textcolor{green}{- 2Ce^{-2x}} + \textcolor{red}{6x} \textcolor{blue}{- 3} + \textcolor{green}{2Ce^{-2x}} \textcolor{red}{- 6x} \\
\Rightarrow \quad & y’ + 2y - 6x = 0
\end{aligned}Og, vips, er vi overbevist om at vi har funnet rett svar.
+ Eksempel 2: $6x \:-\: 2xy \:-\: y’= 0$ når $y(0) = 5$
Løs differensialligningen:
6x - 2xy - y’= 0
når $y(0) = 5$.
Steg 1: Skriver ligningen på formen $y’ + \textcolor{red}{p(x)} y = \textcolor{blue}{q(x)}$
y’ + \textcolor{red}{2x}y = \textcolor{blue}{6x}Steg 2: Finner den integrerende faktoren
v(x) = e^{\int \textcolor{red}{p(x)} dx} = e^{\int \textcolor{red}{2x} dx} = e^{x^2}(Egentlig er $\int 2x dx = x^2 + C$, men vi kan velge $C=0$ for å få et enkelt uttrykk for $v(x)$. Vi kan velge for eksempel $C = 17$ hvis vi vil, men det gjør bare alt mer komplisert.)
+ Fortsett med formel for $y$
Steg 3: Finn løsningen
\begin{aligned}
y & = \frac{1}{\textcolor{green}{v(x)}} \int \textcolor{green}{v(x)} \cdot \textcolor{blue}{q(x)} \; dx \\
\Rightarrow \quad y & = \frac{1}{\textcolor{green}{e^{x^2}}} \int \textcolor{green}{e^{x^2}} \cdot \textcolor{blue}{6x} \; dx
\end{aligned} Her må vi bruke substitusjon for å løse integralet:
\begin{aligned}
& u = x^2 \\
\Rightarrow \quad
& \frac{du}{dx} = 2x \qquad | \cdot \frac{dx}{2x} \\
\Rightarrow \quad & \frac{du}{2x} = dx \\
\end{aligned}Setter inn $x^2 = u$ og $dx = \frac{du}{2x}$ for å bli kvitt alle $x$’ene i integralet:
\begin{aligned}
& y = \frac{1}{e^{x^2}} \int e^{u} \cdot 6x \cdot \frac{du}{2x} \\
\Rightarrow \quad & y = \frac{1}{e^{x^2}} \int 3e^u du \\
\Rightarrow \quad & y = \frac{1}{e^{x^2}} \left( 3e^u + C \right) \\
\Rightarrow \quad & y = \frac{1}{e^{x^2}} \left( 3e^{x^2} + C \right) \\
\Rightarrow \quad & y = 3 + C e^{-x^2}
\end{aligned}Og, vips, har vi funnet den generelle løsningen på differensialligningen
+ Fortsett med produktregelen baklengs
Steg 3: Multipliser alle ledd med den integrerende faktoren
\begin{aligned}
& y’ + 2xy = 6x \quad | \cdot e^{x^2} \\
\Rightarrow \quad & y’ e^{x^2} + 2xe^{x^2} y = 6x e^{x^2}
\end{aligned} Steg 4: Produktregelen baklengs
\begin{aligned}
\left(y e^{x^2}\right)^{\!’} = 6x e^{x^2}
\end{aligned} Steg 5: Integrer begge sider
\begin{aligned}
y e^{x^2} = \int 6x e^{x^2} dx
\end{aligned} Her må vi bruke substitusjon for å løse integralet:
\begin{aligned}
& u = x^2 \\
\Rightarrow \quad
& \frac{du}{dx} = 2x \qquad | \cdot \frac{dx}{2x} \\
\Rightarrow \quad & \frac{du}{2x} = dx \\
\end{aligned}Setter inn $x^2 = u$ og $dx = \frac{du}{2x}$ for å bli kvitt alle $x$’ene i integralet:
\begin{aligned}
& y e^{x^2} = \int e^{u} \cdot 6x \cdot \frac{du}{2x} \\
\Rightarrow \quad & y e^{x^2} = \int 3e^u du \\
\Rightarrow \quad & y e^{x^2} = 3e^u + C \\
\Rightarrow \quad & y e^{x^2} = 3e^{x^2} + C \quad | \cdot \frac{1}{e^{x^2}}\\
\Rightarrow \quad & y = 3 + \frac{C}{e^{x^2}}
\end{aligned}Og, vips, har vi funnet den generelle løsningen på differensialligningen:
y = 3 + C e^{-x^2}+ Startbetingelsen
Bruker startbetingelsen, $y(0) = 5$ for å bestemme $C$:
\begin{aligned}
y(0) & = 3 + C e^{-0^2} \\
\Rightarrow \quad
5 & = 3 + C \\
\Rightarrow \quad C & = 2
\end{aligned}Og, vips, har vi løsningen:
y = 3 + 2 e^{-x^2}+ Sjekk svaret
Deriverer $y$:
\begin{aligned}
y(x) & = 3 + 2 e^{-x^2} \\
\Rightarrow \quad y’(x) & = - 4xe^{-x^2}
\end{aligned}Setter inn på venstre side av differensialligningen vi startet med for å undersøke om den blir lik høyre side:
\begin{aligned}
& 6x - 2xy - y’ = 6x - 2x \left( 3 + 2C e^{-x^2} \right) - \left( -4x e^{-2x} \right) \\
\Rightarrow \quad & 6x - 2xy - y’ = 6x - 6x - 4xC e^{-x^2} + 4x e^{-2x} \\
\Rightarrow \quad & 6x - 2xy - y’ = 0
\end{aligned}Sjekker også startbetingelsen:
y(0) = 3 + 2e^{-0^2} = 3 + 2 = 5Og, vips, er vi overbevist om at vi har funnet rett svar.
+ Eksempel 3: $\cos(x) y’ \:-\: \sin(x) y \:-\: x \cos (x) = 0$ når $y(0) = 2$
Løs differensialligningen:
\cos(x) y’ - \sin(x) y - x \cos (x) = 0
når $y(0) = 2$.
Steg 1: Skriver ligningen på formen $y’ + \textcolor{red}{p(x)} y = \textcolor{blue}{q(x)}$
\cos(x) y’ - \sin(x) y = x \cos (x) \quad | \cdot \frac{1}{\cos(x)} \\
y’ \textcolor{red}{- \tan(x)}y = \textcolor{blue}{x}Steg 2: Finner den integrerende faktoren
v(x) = e^{\int \textcolor{red}{p(x)} dx} = e^{\int \textcolor{red}{-\tan(x)} dx} = e^{\ln(\cos(x))} = \cos(x)Ta en titt her hvis du lurer på hvordan vi løste integralet.
+ Fortsett med formel for $y$
Steg 3: Finn løsningen
\begin{aligned}
y & = \frac{1}{\textcolor{green}{v(x)}} \int \textcolor{green}{v(x)} \cdot \textcolor{blue}{q(x)} \; dx \\
\Rightarrow \quad y & = \frac{1}{\textcolor{green}{\cos(x)}} \int \textcolor{green}{\cos(x)} \cdot \textcolor{blue}{x} \; dx
\end{aligned} Her må vi bruke delvis integrasjon for å løse integralet på høyre side
u = x \\ v’ = \cos(x)
\Rightarrow
u’ = 1 \\ v = \sin(x)
\begin{aligned}
& y = \frac{1}{\cos(x)} \left( x \sin(x) - \int \sin(x) dx \right) \\
\Rightarrow \quad & y = \frac{1}{\cos(x)} \left( x \sin(x) + \cos(x) + C \right) \\
\Rightarrow \quad & y = x \tan(x) + 1 + \frac{C}{\cos(x)}
\end{aligned} Og, vips, har vi funnet den generelle løsningen på differensialligningen
+ Fortsett med produktregelen baklengs
Steg 3: Multipliser alle ledd med den integrerende faktoren
\begin{aligned}
& y’ - \tan(x)y = x\quad | \cdot \cos(x) \\
\Rightarrow \quad & \cos(x) y’- \sin(x) y = x \cos(x)
\end{aligned} Steg 4: Produktregelen baklengs
\begin{aligned}
\left(\cos(x) y \right)’ = x \cos(x)
\end{aligned} Steg 5: Integrer begge sider
\begin{aligned}
\cos(x) y = \int x \cos(x) \; dx
\end{aligned} Her må vi bruke delvis integrasjon for å løse integralet på høyre side
u = x \\ v’ = \cos(x)
\Rightarrow
u’ = 1 \\ v = \sin(x)
\begin{aligned}
& \cos(x) y = x \sin(x) - \int \sin(x) dx \\
\Rightarrow \quad & \cos(x) y = x \sin(x) + \cos(x) + C \quad | \cdot \frac{1}{\cos(x)} \\
\Rightarrow \quad & y = x \tan(x) + 1 + \frac{C}{\cos(x)}
\end{aligned} Og, vips, har vi funnet den generelle løsningen på differensialligningen.
+ Startbetingelsen
Bruker startbetingelsen, $y(0) = 2$ for å bestemme $C$:
\begin{aligned}
y(0) & = 0 \tan(0) + 1 + \frac{C}{\cos(x)} \\
\Rightarrow \quad
2 & = 1 + C \\
\Rightarrow \quad C & = 1
\end{aligned}Og, vips, har vi løsningen:
y = x \tan(x) + 1 + \frac{1}{\cos(x)}+ Sjekk svaret
Deriverer $y$ ved hjelp av produktregelen på første ledd og kjerneregelen på siste:
\begin{aligned}
y(x) & = x \tan(x) + 1 + \frac{1}{\cos(x)} \\
\Rightarrow \quad y’(x) & = \tan(x) + \frac{x}{\cos^2 x} + \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)}
\end{aligned}Setter inn på venstre side av differensialligningen vi startet med for å undersøke om den blir lik høyre side:
\begin{aligned}
& \cos(x) y’ - \sin(x) y - x \cos (x) \\
& = \cos(x) \left( \tan(x) + \frac{x}{\cos^2 x} + \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)} \right)
- \sin(x) \left( x \tan(x) + 1 + \frac{1}{\cos(x)} \right) - x \cos (x) \\
& = \textcolor{red}{\sin(x)} + \frac{x}{\cos(x)} + \textcolor{blue}{\frac{\sin(x)}{\cos(x)}} - x \sin(x) \tan(x) \textcolor{red}{- \sin(x)} \textcolor{blue}{- \frac{\sin(x)}{\cos(x)}} - x \cos(x) \\
& = \frac{x}{\cos(x)} - x \sin(x) \tan(x) - x \cos(x)
\end{aligned}Setter alt på felles brøkstrek:
\begin{aligned}
& \cos(x) y’ - \sin(x) y - x \cos (x) \\
& = \frac{x}{\cos(x)} - \frac{x \sin^2(x)}{ \cos(x)} - \frac{x \cos^2(x)}{\cos(x)} \\
& = \frac{x - x \sin^2(x) - x\cos^2(x) }{\cos(x)} \\
& = \frac{x \left( 1 - \sin^2(x) - \cos^2(x) \right)}{\cos(x)} \\
& = \frac{x \left( 1 - 1\right)}{\cos(x)} \\
& = 0
\end{aligned}fordi $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$.
Sjekker også startbetingelsen:
y(0) = 0 \tan(0) + 1 + \frac{1}{\cos(0)} = 0 + 1 + 1 = 2Og, vips, er vi overbevist om at vi har funnet rett svar.