\left(\frac{u}{v}\right)^{\!’} = \frac{u’ \cdot v - u \cdot v’}{v^2}+ Når bruker vi kvotientregelen?
Kvotientregelen bruker vi når vi skal derivere en funksjon delt på en annen:
\frac{\textcolor{red}{x}}{\textcolor{blue}{\cos(x)}}, \;
\frac{\textcolor{red}{\ln(x)}}{\textcolor{blue}{x^3}} , \;
\frac{\textcolor{red}{\sin(x)}}{\textcolor{blue}{e^x}}+ Hvordan brukes kvotientregelen?
Først finner vi ut hvilke to funksjoner vi har. Og deretter deriverer vi dem hver for seg før vi setter inn i formelen.
Alternativ notasjon:
\frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{\frac{du}{dx} \cdot v - u \cdot \frac{dv}{dx}}{v^2}Og, vips, får vi noe som forhåpentligvis er lettere å derivere.
+ Hvordan utledes kvotientregelen?
Vi starter med en funksjon som er en funksjon delt på en annen:
f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}Deretter bruker vi produktregelen:
\begin{aligned}
f(x) & = u(x) \cdot \frac{1}{v(x)} \\
f’(x)& = \left( \frac{d}{dx} u(x) \right) \cdot \frac{1}{v(x)} + u(x) \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{v(x)} \right) \\
\end{aligned}For å derivere 1/v(x), må vi bruke kjerneregelen med v(x) som kjerne. Husk at den deriverte av 1/x er -1/x2.
\begin{aligned}
f’(x)& = u’(x) \cdot \frac{1}{v(x)} + u(x) \cdot \left( - \frac{1}{v^2(x)} \cdot v’(x) \right) \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = \frac{u’(x)}{v(x)} - \frac{u(x) v’(x)}{v^2(x)} \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = \frac{u’(x) v(x) -u(x) v’(x)}{v^2(x)} \\
\end{aligned}Og, vips, har vi kvotientregelen.
+ Eksempel: Deriver x/cos(x)
\frac{d}{dx} \left( \frac{x}{\cos(x)} \right)Setter u(x) = x og v(x) = cos(x) som gir u’(x) = 1 og v’(x) = – sin(x).
\begin{aligned}
\textnormal{Formel: } \quad \left( \frac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)^{\!’} & = \frac{\textcolor{purple}{u’} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{green}{v’}}{\textcolor{blue}{v}^2} \\
\frac{d}{dx} \left(\frac{\textcolor{red}{x}}{\textcolor{blue}{\cos(x)}}\right) & = \frac{\textcolor{purple}{1} \cdot \textcolor{blue}{\cos(x)} - \textcolor{red}{x} \cdot (\textcolor{green}{-\sin(x)})}{\textcolor{blue}{\cos^{\textcolor{black}{2}}(x)}} \\
\Rightarrow \qquad \frac{d}{dx} \left(\frac{x}{\cos(x)}\right) & = \frac{\cos(x) + x \sin(x)}{\cos^2(x)}
\end{aligned}Og, vips, er vi ferdige!
+ Eksempel: Deriver ln(x)/x3
\frac{d}{dx} \left( \frac{\ln(x)}{x^3} \right)Setter u(x) = ln(x) og v(x) = x3 som gir u’(x) = 1/x og v’(x) = 3x2.
\begin{aligned}
\textnormal{Formel: } \quad \left( \frac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)^{\!’} & = \frac{\textcolor{purple}{u’} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{green}{v’}}{\textcolor{blue}{v}^2} \\
\frac{d}{dx} \left(\frac{\textcolor{red}{\ln(x)}}{\textcolor{blue}{x^3}}\right) & = \frac{\textcolor{purple}{\frac{1}{x}} \cdot \textcolor{blue}{x^3} - \textcolor{red}{\ln(x)} \cdot \textcolor{green}{3x^2}}{(\textcolor{blue}{x^3})^2} \\
\Rightarrow \qquad \frac{d}{dx} \left(\frac{\ln(x)}{x^3}\right) & = \frac{x^2 - 3x^2 \ln(x)}{x^6}
\end{aligned}Vi kan få et enklere uttrykk ved å faktorisere både teller og nevner:
\frac{d}{dx} \left(\frac{\ln(x)}{x^3}\right) = \frac{\textcolor{red}{x^2}(1 - 3\ln(x))}{\textcolor{red}{x^2} \cdot x^4}Og forkorte, dvs. fjerne x2 både i teller og nevner:
\frac{d}{dx} \left(\frac{\ln(x)}{x^3}\right) = \frac{1 - 3 \ln(x)}{x^4}Og, vips, er vi ferdige!
+ Eksempel: Deriver sin(x)/ex
\frac{d}{dx} \left( \frac{\sin(x)}{e^x} \right)Setter u(x) = sin(x) og v(x) = ex som gir u’(x) = cos(x) og v’(x) = ex.
\begin{aligned}
\textnormal{Formel: } \quad \left( \frac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)^{\!’} & = \frac{\textcolor{purple}{u’} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{green}{v’}}{\textcolor{blue}{v}^2} \\
\frac{d}{dx} \left(\frac{\textcolor{red}{\sin(x)}}{\textcolor{blue}{e^x}}\right) & = \frac{\textcolor{purple}{\cos(x)} \cdot \textcolor{blue}{e^x} - \textcolor{red}{\sin(x)} \cdot \textcolor{green}{e^x}}{(\textcolor{blue}{e^x})^2} \\
\Rightarrow \qquad \frac{d}{dx} \left(\frac{\sin(x)}{e^x}\right) & = \frac{e^x\cos(x) - e^x\sin(x)}{e^{2x}}
\end{aligned}Vi kan få et enklere uttrykk ved å faktorisere både teller og nevner:
\frac{d}{dx} \left(\frac{\sin(x)}{e^x}\right) = \frac{\textcolor{red}{e^x}(\cos(x) - \sin(x))}{\textcolor{red}{e^x} \cdot e^x}Og forkorte:
\frac{d}{dx} \left(\frac{\sin(x)}{e^x}\right) = \frac{\cos(x) - \sin(x)}{e^x}Og, vips, er vi ferdige!