$a$-logaritmen av et tall $x$ er lik det tallet som $a$ må opphøyes i for å få $x$:
y = \log_a(x) \qquad \Rightarrow \qquad x = a^y
Noen nyttige logaritmeregler:
\begin{aligned}
\textnormal{Fordi }a^0 = 1: \qquad & \log_a (1) = 0 \\
\textnormal{Fordi }a^1 = a: \qquad & \log_a (a) = 1 \\
\textnormal{Multiplisering: } \qquad &
\log_a (x \cdot y)= \log_a(x) + \log_a(y) \\
\textnormal{Dividering: } \qquad &
\log_a \left( \frac{x}{y} \right)= \log_a (x) - \log_a (y) \\
\textnormal{Eksponenter: } \qquad &
\log_a (x^y) = y \log_a (x) \\
\textnormal{Skifte grunntall: } \qquad &
\log_a(x) = \frac{\log_b(x)}{\log_b(a)}
\end{aligned}der $x > 0$ og $y > 0$.
+ Vanlige grunntall
Vanlige grunntall er $e$ og $10$:
\log_e (x) = \ln (x) \\
\log_{10}(x) = \log(x)Hvis logaritmen står som $\ln$ er $e$ grunntallet.
Hvis logaritmen står som $\log$ er $10$ grunntallet.
Hvis logaritmen står som $\log_5$ er $5$ grunntallet.
Obs! Mange utenlandske bøker og nettsteder, bruker $\log$ når $e$ er grunntallet og $\log_{10}$ når $10$ er grunntallet.
+ Bevis: $\log_a (x \cdot y) = \log_a(x) + \log_a(y)$
Vi vil nå vise at:
\log_a (\textcolor{blue}{x} \cdot \textcolor{red}{y}) = \log_a(\textcolor{blue}{x}) + \log_a (\textcolor{red}{y})Vi kan begynne med $x \cdot y$:
\textcolor{blue}{x} \cdot \textcolor{red}{y} = \textcolor{blue}{x} \cdot \textcolor{red}{y}Siden $x = a^{\log_a(x)}$, $y = a^{\log_a(y)}$ og $xy = a^{\log_a(xy)}$, kan vi skrive:
a^{\log_a (\textcolor{blue}{x} \cdot \textcolor{red}{y})} = a^{\log_a(\textcolor{blue}{x})} \cdot a^{\log_a (\textcolor{red}{y})}På høye side kan vi bruke potensregelen $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ med $m = \log_a(x)$ og $n = \log_a(y)$:
a^{\log_a (\textcolor{blue}{x} \cdot \textcolor{red}{y})} = a^{\log_a(\textcolor{blue}{x}) + \log_a (\textcolor{red}{y})}Siden grunntallene på begge sider er like, må også eksponentene være like:
\log_a (\textcolor{blue}{x} \cdot \textcolor{red}{y}) = \log_a(\textcolor{blue}{x}) + \log_a (\textcolor{red}{y})Og, vips, er vi ferdige.
+ Bevis: $\log_a (x / y) = \log_a(x) – \log_a(y)$
Vi vil nå vise at:
\log_a \left(\frac{\textcolor{blue}{x}}{\textcolor{red}{y}}\right) = \log_a(\textcolor{blue}{x}) - \log_a (\textcolor{red}{y})Vi kan begynne med $x/y$:
\frac{\textcolor{blue}{x}}{\textcolor{red}{y}} = \frac{\textcolor{blue}{x}}{\textcolor{red}{y}}Siden $x = a^{\log_a(x)}$, $y = a^{\log_a(y)}$ og $\frac{x}{y} = a^{\log_a(\frac{x}{y})}$, kan vi skrive:
a^{\log_a \left(\frac{\textcolor{blue}{x}}{\textcolor{red}{y}}\right)} = \frac{a^{\log_a(\textcolor{blue}{x})}}{a^{\log_a (\textcolor{red}{y})}}På høyre side kan vi bruke potensregelen $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$ med $m = \log_a(x)$ og $n = \log_a(y)$:
a^{\log_a \left(\frac{\textcolor{blue}{x}}{\textcolor{red}{y}}\right)} = a^{\log_a(\textcolor{blue}{x}) - \log_a (\textcolor{red}{y})}Siden grunntallene på begge sider er like, må også eksponentene være like:
\log_a \left( \frac{\textcolor{blue}{x}}{\textcolor{red}{y}}\right) = \log_a(\textcolor{blue}{x}) - \log_a (\textcolor{red}{y})Og, vips, er vi ferdige.
+ Bevis: $\log_a (x^y) = y \log_a(x)$
Vi vil nå vise at:
\log_a \left(\textcolor{blue}{x}^{\textcolor{red}{y}}\right) = \textcolor{red}{y} \log_a(\textcolor{blue}{x})Vi kan begynne med $x^y$:
\textcolor{blue}{x}^{\textcolor{red}{y}} =\textcolor{blue}{x}^{\textcolor{red}{y}}Siden $x = a^{\log_a(x)}$ og $x^y = a^{\log_a(x^y)}$, kan vi skrive:
a^{\log_a \left(\textcolor{blue}{x}^{\textcolor{red}{y}}\right)} = \left(a^{\log_a(\textcolor{blue}{x})} \right) ^{\textcolor{red}{y}}På høyre side kan vi bruke potensregelen $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ med $m = \log_a(x)$ og $n = y$:
a^{\log_a \left(\textcolor{blue}{x}^{\textcolor{red}{y}}\right)} = a^{\textcolor{red}{y} \cdot \log_a(\textcolor{blue}{x})}Siden grunntallene på begge sider er like, må også eksponentene være like:
\log_a \left(\textcolor{blue}{x}^{\textcolor{red}{y}}\right) = \textcolor{red}{y} \log_a(\textcolor{blue}{x})Og, vips, er vi ferdige.
+ Eksempel: $\log 3 + \log 4 = \log 12 $
Formel:
\log_a (\textcolor{blue}{x} \cdot \textcolor{red}{y}) = \log_a(\textcolor{blue}{x}) + \log_a (\textcolor{red}{y})gir:
\log(\textcolor{blue}{3}) + \log (\textcolor{red}{4}) = \log (\textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{4}) = \log (12)Og, vips, er vi ferdige.
+ Eksempel: $\log 6 – \log 2 = \log 3 $
Formel:
\log_a \left( \frac{\textcolor{blue}{x}}{\textcolor{red}{y}}\right) = \log_a(\textcolor{blue}{x}) - \log_a (\textcolor{red}{y})gir:
\log_a(\textcolor{blue}{6}) - \log_a (\textcolor{red}{2}) = \log \left( \frac{\textcolor{blue}{6}}{\textcolor{red}{2}}\right) = \log (3)Og, vips, er vi ferdige.
+ Eksempel: $\ln 2 + \ln x = \ln (2x)$
Formel:
\log_a (\textcolor{blue}{x} \cdot \textcolor{red}{y}) = \log_a(\textcolor{blue}{x}) + \log_a (\textcolor{red}{y})gir:
\ln(\textcolor{blue}{2}) + \ln (\textcolor{red}{x}) = \ln (\textcolor{blue}{2} \textcolor{red}{x})Og, vips, er vi ferdige.
+ Eksempel: $\log 4^3 = 3\log 4$
Formel:
\log_a \left(\textcolor{blue}{x}^{\textcolor{red}{y}} \right) = \textcolor{red}{y}\log_a(\textcolor{blue}{x})gir:
\log \left(\textcolor{blue}{4}^{\textcolor{red}{3}} \right) = \textcolor{red}{3} \log (\textcolor{blue}{4})Og, vips, er vi ferdige.
+ Eksempel: $\ln 5^x = x\ln 5$
Formel:
\log_a \left(\textcolor{blue}{x}^{\textcolor{red}{y}} \right) = \textcolor{red}{y}\log_a(\textcolor{blue}{x})gir:
\ln \left(\textcolor{blue}{5}^{\textcolor{red}{x}} \right) = \textcolor{red}{x} \ln(\textcolor{blue}{5})Og, vips, er vi ferdige.