Algebra: Ligninger med ukjent i en eksponent

Fremgangsmåte:

  1. Rydd i ligningen slik at eksponentialuttrykket står alene på en side
  2. Ta logaritmen med valgfritt grunntall på begge sider
  3. Bruk logaritmereglene
  4. Sjekk løsningen.
Generelle tips:
  • Du kan gjøre hva du vil i en ligning så sant du gjør det samme på begge sider
  • Vis fremgangsmåten underveis
  • Vær oppmerksom på mulige fortegnsfeil

+ Eksempel: Hvordan løses $5e^x = 15$?

Steg 1: Rydd først slik at eksponenten står alene:

\begin{array}{lcrlr}
& 5e^x& = & 15 & \quad | \; \cdot \frac{1}{5} \\
\Rightarrow \quad & e^x & = & \frac{15}{5}\\
\Rightarrow \quad & e^x  & = & 3 \\
\end{array}

Steg 2: Nå står $e^x$ alene på venstre side. Grunntallet er $e$. Derfor bruker vi den naturlige logaritmen på begge sider:

\ln (e^x) = \ln(3)

Steg 3: Nå må vi bruke noen logaritmeregler ($\log_a x^y = y \log_a x$ og $\log_a a = 1$) på venstre side. Husk at $\log_a x = \ln x$ når grunntallet er $e$.

\begin{array}{lrclr}
& \ln (e^x) & = & \ln(3) \\
\Rightarrow \quad & x \ln(e) & = & \ln(3) \\
\Rightarrow \quad & x  & = & \ln(3) \approx 1.10 \\
\end{array}

Steg 4: Sjekker svaret ved å sette inn i ligningen:

\begin{aligned}
\textnormal{Venstre side:} \quad & 5e^{\textcolor{blue}{x}} \approx 5^{\textcolor{blue}{1.10}} \approx 15 \\
\textnormal{Høyde side:} \quad & 15
\end{aligned}

Og, vips, har vi løsningen.

+ Eksempel: Hvordan løses $2 \cdot 5^x = 7$?

Steg 1: Rydd først slik at eksponenten står alene:

\begin{array}{lrclr}
& 2 \cdot 5^x& = & 7 & \quad | \; \cdot \frac{1}{2} \\
\Rightarrow \quad & 5^x & = & \frac{7}{2}\\
\Rightarrow \quad & 5^x  & = & 3.5 \\
\end{array}

Steg 2: Nå står $5^x$ alene på venstre side. Grunntallet er $5$. Vi kan bruke logaritmen med 5 som grunntall, men det er egentlig like greit å bruke den naturlige logaritmen med $e$ som grunntall (eller log med 10 som grunntall):

\ln (5^x) = \ln(3.5)

Steg 3: Nå må vi bruke en logaritmeregel ($\log_a x^y = y \log_a x$) på venstre side:

\begin{array}{lcrlr}
& \ln (5^x) & = & \ln(3.5) \\
\Rightarrow \quad & x \ln(5) & = & \ln(3.5) & | \cdot \frac{1}{\ln(5)}\\
\Rightarrow \quad & x  & = & \frac{\ln(3.5)}{\ln(5)} \approx 0.778\\
\end{array}

Steg 4: Sjekker svaret ved å sette inn i ligningen:

\begin{aligned}
\textnormal{Venstre side:} \quad & 2 \cdot 5^{\textcolor{blue}{x}} \approx 2 \cdot 5^{\textcolor{blue}{0.778}} \approx 7 \\
\textnormal{Høyde side:} \quad & 7
\end{aligned}

Og, vips, har vi løsningen.

+ Eksempel: Hvordan løses $e^{2x + 3} = 7$?

Steg 1: Her står eksponenten allerede alene:

e^{2x+3} = 7

Steg 2: Grunntallet er $e$. Derfor bruker vi den naturlige logaritmen med $e$ som grunntall:

\ln (e^{2x + 3}) = \ln(7)

Steg 3: Nå må vi bruke noen logaritmeregler ($\log_a x^y = y \log_a x$ og $\log_a a = 1$) på venstre side. Husk at $\log_a x = \ln x$ når grunntallet er $e$.

\begin{array}{lrclr}
& \ln (e^{2x+3}) & = & \ln(7) \\
\Rightarrow \quad & (2x+3) \ln(e) & = & \ln(7) \\
\Rightarrow \quad & 2x+3  & = & \ln(7) & | -3 \\
\Rightarrow \quad & 2x &=& \ln(7) - 3 | \cdot \frac{1}{2} \\
\Rightarrow \quad & x &=& \frac{\ln(7) - 3}{2} \approx -0.527
\end{array}

Steg 4: Sjekker svaret ved å sette inn i ligningen:

\begin{aligned}
\textnormal{Venstre side:} \quad & e^{2\textcolor{blue}{x} + 3} \approx e^{2 \cdot (\textcolor{blue}{-0.527}) + 3} \approx 7 \\
\textnormal{Høyde side:} \quad & 7
\end{aligned}

Og, vips, har vi løsningen.

← Matematikk

↓ Oppgaver

→ Andregradsligninger