Funksjoner: Nullpunkt
Oppgaver med nullpunkt
Publisert 30. juni 2025
Redigert 1. juli 2025
Velg type oppgaver:
Antall oppgaver: 18
Tips 1: Prøv selv før du sjekker fasit eller løsningsforslag. Hintene kan hjelpe deg på vei.
Tips 2: Husk at det ofte finnes flere måter å løse samme oppgave.
Tips 3: Gjør så mange oppgaver du trenger, for å få den mengdetreningen du trenger.
Oppgave 1 Finn nullpunktene (dersom de eksisterer) til følgende funksjoner:
- $f(x) = x^2 + x - 6$.
- $g(x) = x^2 + 5x - 6$.
- $h(x) = x^2 + x + 1$.
- $k(x) = x^2 - 6x + 9$.
Oppgave 2 Finn nullpunktene (dersom de eksisterer) til følgende funksjoner:
- $f(x) = 2x^2 + 3x - 4$.
- $g(x) = 2x^2 - 3x - 4$.
Oppgave 3 Finn nullpunktene (dersom de eksisterer) til følgende funksjoner:
- $f(x) = \sqrt{1 + x} - x$.
- $g(x) = \sqrt{x+3} - 5$.
- $h(x) = \sqrt{2x-1} - x + 3$.
- $k(x) = \sqrt{2x-1} - \sqrt{x + 2}$.
Oppgave 4 Finn nullpunktene (dersom de eksisterer) til følgende funksjoner:
- $f(x) = e^{2x} - 1$.
- $g(x) = e^x - 5$.
- $h(x) = 3e^{2x} - 7$.
- $k(x) = e^x + e^{-x} - 5$.
Oppgave 5 Finn nullpunktene (dersom de eksisterer) til følgende funksjoner:
- $f(x) = \ln(x) - 3$.
- $g(x) = \log_2(x) - 5$.
- $h(x) = \ln(x + 2) - \ln(5)$.
- $k(x) = \ln(x) + \ln(x-3) - \ln(10)$.
Oppgave 6 Vis at følgende funksjon har minst et nullpunkt på intervallet $[0,1]$:
$$f(x) = x^3 + x - 1$$ Oppgave 7 Vis at følgende funksjon har minst et nullpunkt på intervallet $[1,5]$:
$$f(x) = e^x - 5x$$ Oppgave 8 Vis at følgende ligning har minst en løsning på intervallet $[0,3]$:
$$e^x = 5x$$ Oppgave 9 Undersøk om vi bruke skjæringssetningen til å vise at følgende funksjon har minst et nullpunkt på intervallet $[0,3]$:
$$f(x) = \frac{x+1}{x-1}$$ Oppgave 10 Gitt funksjonen:
$$f(x) = e^x + 5x - 10$$- Vis at $f(x)$ har minst ett nullpunkt på intervallet $[0,2]$.
- Vis at $f(x)$ har nøyaktig ett nullpunkt på intervallet $[0,2]$.
- Bruk fire steg med halveringsmetoden for å finne et estimat for nullpunktet.
Fasit
Oppgave 11 Gitt funksjonen:
$$f(x) = x + \ln(x-1)$$- Vis at $f(x)$ har minst ett nullpunkt på intervallet $\langle 1,2]$.
- Vis at $f(x)$ har nøyaktig ett nullpunkt på intervallet $\langle 1,2]$.
- Bruk fire steg med halveringsmetoden for å finne et estimat for nullpunktet på intervallet $[1.1,2]$.
Fasit
Oppgave 12 Gitt funksjonen:
$$f(x) = \cos(x) - x$$- Vis at $f(x)$ har minst ett nullpunkt på intervallet $[-2,2]$.
- Vis at $f(x)$ har nøyaktig ett nullpunkt på intervallet $[-2,2]$.
- Bruk fire steg med halveringsmetoden for å finne et estimat for nullpunktet på intervallet $[-2,2]$.
Fasit
Oppgave 13 Bruk Newtons metode for å finne et estimat for nullpunktet til følgende funksjon:
$$f(x) = e^x + x$$- Begynn med $x_0 = 0$ og bruk to steg.
- Begynn med $x_0 = 2$ og bruk tre steg.
- Begynn med $x_0 = 2$ og finn nullpunktet med tre desimalers nøyaktighet.
- Forklar hvorfor du får forskjellige svar i a) - c).
Oppgave 14 Bruk Newtons metode for å finne et estimat for nullpunktet til følgende funksjon:
$$f(x) = x^3 - 2x - 5$$- Begynn med $x_0 = 1$ og bruk tre steg.
- Begynn med $x_0 = 1$ og finn nullpunktet med tre desimalers nøyaktighet.
- Begynn med $x_0 = 0$ og bruk tre steg.
- Forklar hvorfor du får forskjellig svar i a) - c).
Oppgave 15 Bruk Newtons metode for å finne et estimat for løsningen til ligningen:
$$\cos(x) = x$$- Begynn med $x_0 = 0$ og bruk tre steg.
- Begynn med $x_0 = 0$ og finn nullpunktet med tre desimalers nøyaktighet.
- Begynn med $x_0 = 3$ og bruk tre steg.
- Forklar hvorfor du får forskjellig svar i a) - c).
Oppgave 16 Bruk Newtons metode for å finne et estimat for løsningen til ligningen:
$$\sqrt{x+1} = x$$- Begynn med $x_0 = 0$ og bruk tre steg.
- Begynn med $x_0 = 3$ og bruk tre steg.
Oppgave 17 Bruk Newtons metode for å finne et estimat for nullpunktet til følgende funksjon:
$$f(x) = x^3 - 5x + 1$$- Begynn med $x_0 = 0$ og bruk tre steg.
- Begynn med $x_0 = 2$ og bruk tre steg.
- Begynn med $x_0 = -2$ og bruk tre steg.
- Forklar hvorfor du får forskjellige svar i a) - c).
Oppgave 18 Bruk Newtons metode for å finne et estimat for løsningen til ligningen:
$$e^x = x^3 + 1$$- Begynn med $x_0 = 0$ og bruk tre steg.
- Begynn med $x_0 = -1$ og bruk tre steg.
- Begynn med $x_0 = 2$ og bruk tre steg.
- Begynn med $x_0 = 4$ og bruk tre steg.
- Forklar hvorfor du får forskjellige svar i a) - d).
Dypdykk 
Bonus 
Video