Kunnskapsgnist
Velg type oppgaver:
Antall oppgaver: 24
Tips 1: Husk at det ofte finnes flere måter å løse samme oppgave.
Tips 2: Gjør oppgavene du trenger, for å få den mengdetreningen du trenger.
Tips 3: Hvis du logger inn, kan du lagre hvilke oppgaver du har gjort ved å trykke på sirklene med spørsmålstegn.
Hvilke av følgende funksjoner er løsninger av $\frac{\partial u}{\partial t} = 4 \, \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$:
$$\begin{aligned} \textnormal{1.} \quad & u(x,t) = 3e^{-4t} \sin(x) \\ \textnormal{2.} \quad & u(x,t) = 3e^{4t} \sin(x) \\ \textnormal{3.} \quad & u(x,t) = 3e^{-5t} \sin(x) \\ \textnormal{4.} \quad & u(x,t) = 7e^{-4t} \sin(x) \end{aligned}$$Hvilke av følgende funksjoner er løsninger av $\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$:
$$\begin{aligned} \textnormal{1.} \quad & u(x,t) = 3e^{-t} \sin(x) \\ \textnormal{2.} \quad & u(x,t) = 3e^{-t} \sin(2x) \\ \textnormal{3.} \quad & u(x,t) = 3e^{-t} \cos(x) \\ \textnormal{4.} \quad & u(x,t) = 3\sin(t) \cos(x) \end{aligned}$$Hvilke av følgende funksjoner er løsninger av $\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 9 \, \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$:
$$\begin{aligned} \textnormal{1.} \quad & u(x,t) = \sin(3t) \cos(3x) \\ \textnormal{2.} \quad & u(x,t) = \sin(3t) \cos(x) \\ \textnormal{3.} \quad & u(x,t) = \sin(t) \cos(3x) \\ \textnormal{4.} \quad & u(x,t) = e^{-3t} \cos(3x) \end{aligned}$$Hvilke av følgende funksjoner er løsninger av $\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 4 \, \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$:
$$\begin{aligned} \textnormal{1.} \quad & u(x,t) = \sin(2t) \cos(x) \\ \textnormal{2.} \quad & u(x,t) = 3 \sin(2t) \cos(x) \\ \textnormal{3.} \quad & u(x,t) = \sin(4t) \cos(2x) \\ \textnormal{4.} \quad & u(x,t) = \sin(2t) \sin(x) \end{aligned}$$Hvilke av følgende partielle differensialligninger tilfredsstiller funksjonen $u(x,t) = 3 e^{-2t} \cos(4x)$:
$$\begin{aligned} \textnormal{1.} \quad && 2u &= - \frac{\partial u}{\partial t} \\ \textnormal{2.} \quad && 8\, \frac{\partial u}{\partial t} &= \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \\ \textnormal{3.} \quad && -4 \, \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} &= \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \\ \textnormal{4.} \quad && 4 \, \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} &= \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \end{aligned}$$En tre meter lang jernstang har temperaturen 20°C ved start. Deretter holdes den ene enden på 20°, mens den andre enden varmes gradvis opp med fire grader per minutt.
Hva blir randkrav og startkrav for varmeledningsligningen?
En ti meter lang jernstang er varmet opp på midten slik at den har 0°C på endene og 80°C på midten, og temperaturen er fordelt som en halv sinusbølge. Begge endene holdes konstant på 0° mens tiden går.
Hva blir randkrav og startkrav for varmeledningsligningen?
Undersøk om $T(x,t) = 4 e^{-9t}\sin(x)$ tilfredsstiller både den partielle differensialligningen:
$$\frac{\partial T}{\partial t} = 9\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}, \qquad t > 0, \; x \in [0,\pi] $$og kravene:
$$\begin{aligned} &\textnormal{Startkrav:} \quad && T(x,0) = 4\sin(x) \\ &\textnormal{Randkrav:} && T(0,t) = T(\pi,t) = 0 \end{aligned}$$Undersøk om $T(x,t) = 5 e^{-36t}\sin(2x)$ tilfredsstiller både den partielle differensialligningen:
$$\frac{\partial T}{\partial t} = 9\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}, \qquad t > 0, \; x \in [0,\pi] $$og kravene:
$$\begin{aligned} &\textnormal{Startkrav:} \quad && T(x,0) = 5 \sin(x) \\ &\textnormal{Randkrav:} && T(0,t) = T(\pi,t) = 0 \end{aligned}$$Undersøk om $T(x,t) = 3e^{-t} \sin(2x)$ tilfredsstiller både den partielle differensialligningen:
$$4 \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}, \qquad t > 0, \; x \in [0,\pi] $$og kravene:
$$\begin{aligned} & \textnormal{Startkrav:} \quad && T(x,0) = 3 \sin(2x) \\ & \textnormal{Randkrav:} && T(0,t) = T(\pi,t) = 0 \end{aligned} $$Undersøk om $T(x,t) = 5e^{-2t} \sin(4x)$ tilfredsstiller både den partielle differensialligningen:
$$8 \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}, \qquad t > 0, \; x \in [0,\pi] $$og kravene:
$$\begin{aligned} & \textnormal{Startkrav:} \quad && T(x,0) = 5 \sin(4x) \\ & \textnormal{Randkrav:} && T(0,t) = T(\pi,t) = 0 \end{aligned} $$Finn løsningen av den partielle differensialligningen:
$$\frac{\partial T}{\partial t} = 4 \, \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}, \qquad t > 0, \; x \in [0,\pi] $$og kravene:
$$\begin{aligned} & \textnormal{Startkrav:} \quad && T(x,0) = 5 \sin(3x) \\ & \textnormal{Randkrav:} && T(0,t) = T(\pi,t) = 0 \end{aligned} $$Finn løsningen av den partielle differensialligningen:
$$\frac{\partial T}{\partial t} = 7 \, \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}, \qquad t > 0, \; x \in [0,2\pi] $$og kravene:
$$\begin{aligned} & \textnormal{Startkrav:} \quad && T(x,0) = 4 \sin(6x) \\ & \textnormal{Randkrav:} && T(0,t) = T(2\pi,t) = 0 \end{aligned} $$Finn løsningen av den partielle differensialligningen:
$$\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}, \qquad t > 0, \; x \in [0,5] $$og kravene:
$$\begin{aligned} & \textnormal{Startkrav:} \quad && T(x,0) = 2 \sin(\pi x) \\ & \textnormal{Randkrav:} && T(0,t) = T(5,t) = 0 \end{aligned} $$Finn løsningen av den partielle differensialligningen:
$$\frac{\partial T}{\partial t} = 2 \, \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}, \qquad t > 0, \; x \in [0,\pi] $$og kravene:
$$\begin{aligned} & \textnormal{Startkrav:} \quad && T(x,0) = 3 \sin(2 x) + 4 \sin(5x) \\ & \textnormal{Randkrav:} && T(0,t) = T(\pi ,t) = 0 \end{aligned} $$Finn løsningen av den partielle differensialligningen:
$$\frac{\partial T}{\partial t} = 3 \, \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}, \qquad t > 0, \; x \in [0,\pi] $$og kravene:
$$\begin{aligned} & \textnormal{Startkrav:} \quad && T(x,0) = 4 \sin(x) + 0.5 \sin(7x) \\ & \textnormal{Randkrav:} && T(0,t) = T(\pi ,t) = 0 \end{aligned} $$Finn løsningen av den partielle differensialligningen:
$$\frac{\partial T}{\partial t} = 5 \, \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}, \qquad t > 0, \; x \in [0,4] $$og kravene:
$$\begin{aligned} & \textnormal{Startkrav:} \quad && T(x,0) = 3 \sin(\pi x) + \sin(7 \pi x) \\ & \textnormal{Randkrav:} && T(0,t) = T(4 ,t) = 0 \end{aligned} $$Finn løsningen av den partielle differensialligningen:
$$\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}, \qquad t > 0, \; x \in [0,3\pi] $$og kravene:
$$\begin{aligned} & \textnormal{Startkrav:} \quad && T(x,0) = \left\{ \begin{array}{ll} 0, & \textnormal{ når } 0 < x \leq \pi \\ 5, & \textnormal{ når } \pi < x \leq 2\pi \\ 0, & \textnormal{ når } 2\pi < x \leq 3\pi \\ \end{array} \right. \\ & \textnormal{Randkrav:} && T(0,t) = T(3\pi ,t) = 0 \end{aligned} $$Finn løsningen av den partielle differensialligningen:
$$\frac{\partial T}{\partial t} = 2 \, \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}, \qquad t > 0, \; x \in [0,\pi] $$og kravene:
$$\begin{aligned} & \textnormal{Startkrav:} \quad && T(x,0) = \left\{ \begin{array}{ll} x, & \textnormal{ når } 0 < x \leq \pi \\ 2\pi - x, & \textnormal{ når } \pi < x \leq 2\pi \end{array} \right. \\ & \textnormal{Randkrav:} && T(0,t) = T(2\pi ,t) = 0 \end{aligned} $$Finn løsningen av den partielle differensialligningen:
$$\frac{\partial^2 h}{\partial t^2} = 9 \, \frac{\partial^2 h}{\partial x^2}, \qquad t > 0, \; x \in [0,\pi] $$og kravene:
$$\begin{aligned} & \textnormal{Randkrav:} && h(0,t) = h(\pi,t) = 0 \\ & \textnormal{Startkrav:} \quad && h(x,0) = 4 \sin(2 x) \\ &&& \frac{\partial h(x,0)}{\partial t} = 0 \end{aligned} $$Finn løsningen av den partielle differensialligningen:
$$\frac{\partial^2 h}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 h}{\partial x^2}, \qquad t > 0, \; x \in [0,2\pi] $$og kravene:
$$\begin{aligned} & \textnormal{Randkrav:} && h(0,t) = h(2\pi,t) = 0 \\ & \textnormal{Startkrav:} \quad && h(x,0) = 3 \sin(4 x) \\ &&& \frac{\partial h(x,0)}{\partial t} = 0 \end{aligned} $$Finn løsningen av den partielle differensialligningen:
$$\frac{\partial^2 h}{\partial t^2} = 7 \, \frac{\partial^2 h}{\partial x^2}, \qquad t > 0, \; x \in [0,3\pi] $$og kravene:
$$\begin{aligned} & \textnormal{Randkrav:} && h(0,t) = h(3\pi,t) = 0 \\ & \textnormal{Startkrav:} \quad && h(x,0) = 2 \sin(5 x) \\ &&& \frac{\partial h(x,0)}{\partial t} = 0 \end{aligned} $$Finn løsningen av den partielle differensialligningen:
$$\frac{\partial^2 h}{\partial t^2} = 16 \, \frac{\partial^2 h}{\partial x^2}, \qquad t > 0, \; x \in [0,10] $$og kravene:
$$\begin{aligned} & \textnormal{Randkrav:} && h(0,t) = h(10,t) = 0 \\ & \textnormal{Startkrav:} \quad && h(x,0) = 3 \sin(0.5 \pi x) \\ &&& \frac{\partial h(x,0)}{\partial t} = 0 \end{aligned} $$Finn løsningen av den partielle differensialligningen:
$$\frac{\partial^2 h}{\partial t^2} = 16 \, \frac{\partial^2 h}{\partial x^2}, \qquad t > 0, \; x \in [0,10] $$og kravene:
$$\begin{aligned} & \textnormal{Randkrav:} && h(0,t) = h(10,t) = 0 \\ & \textnormal{Startkrav:} \quad && h(x,0) = \left\{ \begin{aligned} 0, & \quad x \in [0,4] \\ 2, & \quad x \in [4,6] \\ 0, & \quad x \in [6,10] \end{aligned} \right. \\ &&& \frac{\partial h(x,0)}{\partial t} = 0 \end{aligned} $$
Dypdykk 
Bonus 
Video @ 2025 Kunnskapsgnist (Lisensvilkår og Personvernerklæring)