Differensialligninger: Numeriske løsninger

Oppgaver med numeriske metoder av differensialligninger

USN

Velg type oppgaver:

Eulers metodeAnvendelser

Antall oppgaver: 9

Tips 1: Prøv selv før du sjekker fasit eller løsningsforslag. Hintene kan hjelpe deg på vei.

Tips 2: Husk at det ofte finnes flere måter å løse samme oppgave.

Oppgave 1

Avgjør om Eulers metode kan brukes på følgende differensialligninger:

$y' = 2x - y + 7$
$y' = 2x - y + 7$, $y(0) = 1$

Fasit

Oppgave 2

Avgjør om Eulers metode kan brukes på følgende differensialligninger:

$y' = \cos(x) \sin(y)$, $y(0) = 0$
$y' = 2x\cos(y')$, $y'(0) = 2$
$yy' = x$, $y(1) = 2$
$(y')^2 = xy + 4$, $y(1) = 2$
$y'' = 2y - x \cos(x)$, $y(-1) = 0$

Fasit

Oppgave 3

Gitt følgende differensialligning:

$$y' = 2x - y - 1, \quad y(0) = 2$$

Finn et estimat for $y(2)$ med Eulers metode og en steglengde på:

$\triangle x = 1$
$\triangle x = 0.5$
$\triangle x = 0.01$
Hvilket resultat tror du ligger nærmest den eksakte løsningen?

Fasit

Oppgave 4

Gitt følgende differensialligning:

$$y' = \frac{1}{2}xy + 3x, \quad y(0) = -1$$

Finn et estimat for $y(2)$ med Eulers metode og en steglengde på:

$\triangle x = 1$
$\triangle x = 0.5$
$\triangle x = 0.01$
Hvordan kan du sjekke om Python-koden din gir riktig resultat?

Fasit

Oppgave 5

Gitt følgende differensialligning:

$$y' = \frac{x + y}{x}, \quad y(1) = 3$$

Finn et estimat for $y(2)$ med Eulers metode og en steglengde på:

$\triangle x = 1$
$\triangle x = 0.5$
$\triangle x = 0.01$

Fasit

Oppgave 6

En populasjon, $P(t)$ vokser etter følgende differensialligning:

$$\frac{dP}{dt} = 0.1P$$

Hvis det er 100 individer ved start, bruk Eulers metode og en steglengde på $\triangle t = 1$ år for å esitimere antall individer etter 5 år:

Fasit

Oppgave 7

Temperaturen, $T(t)$, i en tekopp avkjøles ifølge Newtons avkjølingslov:

$$\frac{dT}{dt} = - k(T - T_{\scriptsize{omg}})$$

Ved start er temperaturen i teen 80°C. $k = 0.7$ er varmeoverføringskoeffisienten mellom teen og luften. $T_{\scriptsize{omg}} = 20$°C er temperaturen i omgivelsene. Tiden, $t$, måles i minutter.

Bruk Eulers metode med steglengde $\triangle t = 2$ min for å estimere temperaturen i teen etter 6 minutter.

Fasit

Oppgave 8

Hastigheten, $v(t)$, til en stein som slippes fra ro og faller med luftmotstand, følger ligningen:

$$\frac{dv}{dt} = g - kv$$

$g = 9.81$m/s$^2$ er tyngdeakselerasjonen. $k = 0.259.81$s$^{-1}$ er luftmotstandskoeffisienten som avhenger av steinens størrelse og form.

Bruk Eulers metode med steglengde $\triangle t = 0.5$ sekunder for å estimere hastigheten etter 2 sekunder.

Fasit

Oppgave 9

Spenningen, $U(t)$, i en RC-krets følger ligningen:

$$\frac{dU}{dt} = -\frac{U}{RC}$$

$R = 1000 \Omega$ er motstanden. $C = 0.001$F er kapasitanten. Spenningen er 10V ved start og tiden måles i sekunder.

Bruk Eulers metode med steglengde $\triangle t = 0.1$ for å estimere spenningen etter 0.5 sekunder.

Fasit