En skalar har bare størrelse.
Eksempler: temperatur, tid, antall, areal og banksaldo
En vektor har både størrelse og retning
Eksempler: kraft, hastighet og forflytning
Vektorer tegnes som piler:
– lengden til pilen representerer størrelsen til vektoren
– retningen til pilen representerer retningen til vektoren
+ Notasjon
En vektor kan skrives på mange måter:
- Pil over: $\vec{v}$
- Hatt over: $\hat{v}$
- Strek over: $\bar{v}$
- Fet skrift: $\mathbf{v}$
På disse sidene bruker vi pil over symbolet til vektoren.
+ Like vektorer
Like vektorer er like lange og har samme retning, men de trenger ikke begynne og slutte samme sted.
+ Koordinatform
Du kan bruke koordinatene til en vektor for å beskrive den:
\vec{v} = [\textcolor{red}{v_x},\textcolor{blue}{v_y}]Hvis vektoren er i rommet, ja, så tar vi bare med en dimensjon til:
\vec{v} = [\textcolor{red}{v_x},\textcolor{blue}{v_y},\textcolor{green}{v_z}]PS: Noen bruker vanlige parenteser i stedet for firkant-parenteser, dvs. $\vec{v} = (v_x,v_y)$.
+ Lengden til en vektor
Når vi vil finne lengden til en vektor $\vec{v} = [v_x,v_y]$, bruker vi Pytagoras:
v = |\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}- $v$ (uten pil over) er størrelsen til $\vec{v}$ uten retning
- $|\vec{v}|$ betyr lengden til vektoren $\vec{v}$
- Siden $v_x$ og $v_y$ er koordinatene til $\vec{v}$, kan vi lage en trekant der de er katetene og hypotenusen er lengden til $\vec{v}$
- Hvis vektoren har tre dimensjoner, dvs. $\vec{v} = [v_x,v_y,v_z]$, ]utvider vi Pytagoras’ læresetning:
v = |\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}+ Enhetsvektorer
En enhetsvektor har lengde 1.
Vanlige enhetsvektorer i planet:
- $\vec{i} = [1,0]$ i $x$-retning
- $\vec{j} = [0,1]$ i $y$-retning
Vanlige enhetsvektorer i rommet:
- $\vec{i} = [1,0,0]$ i $x$-retning
- $\vec{j} = [0,1,0]$ i $y$-retning
- $\vec{k} = [0,0,1]$ i $z$-retning
Enhetsvektor i samme retning som $\vec{v}$:
\vec{e} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}- $|\vec{v}|$ er lengden til vektoren $\vec{v}$
- $\vec{v}$ har lengde $|\vec{v}|$. Når vi deler på lengden, får vi derfor noe som har lengde 1 og peker i samme retning som $\vec{v}$.
+ Skalarmultiplikasjon
Når du multipliserer en vektor med et tall, f.eks. $k \vec{v}$, endrer du lengden til vektoren. Hvis du multipliserer med et negativt tall, går vektoren i motsatt retning. :
På koordinatform:
k \vec{v} = k[v_x,v_y]=[kv_x,kv_y]Eksempel der en vektor multipliseres med 2 og vi får en vektor som er dobbelt så lang i begge retninger:
2\cdot[1,3]=[2 \cdot 1,2 \cdot 3] = [2,6]
+ Vektoraddisjon
Når du legger sammen to vektorer, må du ta hensyn til både retning og lengde:
\textcolor{red}{\vec{u}} + \textcolor{blue}{\vec{v}} = \textcolor{black}{\vec{w}}På koordinatform:
[u_x,u_y] + [v_x,v_y] = [u_x + v_x, u_y + v_y] = [w_x,w_y]
Eksempel:
[1,2] + [3,4] = [1 + 3, 2 + 4] = [4,6]