Velg type oppgaver:
Alle oppgaver
Alle oppgaver
Egenverdier og egenvektorer
Markov-kjeder
Antall oppgaver:
3
Tips 1: Prøv selv før du sjekker fasit eller løsning. Hintene kan hjelpe deg på vei.Tips 2: Husk at det finnes flere måter å løse samme oppgave.
Oppgave 1 :
Er en egenvektor for ? Finn i så fall tilhørende egenverdi.
x ⃗ = ( 1 − 1 ) , A = ( 1 4 − 4 − 7 ) \vec{x} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \right), \quad A = \left( \begin{array}{cc} 1 & 4 \\ -4 & -7 \end{array} \right) x = ( 1 − 1 ) , A = ( 1 − 4 4 − 7 )
Fasit: Ja, er en egenvektor for og egenverdien er -3.
Hint 1: Dersom er en egenvektor , er:
A x ⃗ = λ x ⃗ A\vec{x} = \lambda \vec{x} A x = λ x der er en konstant.
Hint 2: Bruk matrisemultiplikasjon til å regne ut . Er resultatet en vektor som er parallell med , dvs. en konstant multiplisert med ? I så fall er konstanten en egenverdi for
Løsning:
Bruk matrisemultiplikasjon til å regne ut :
A x ⃗ = ( 1 4 − 4 − 7 ) ( 1 − 1 ) ⇒ A x ⃗ = ( 1 ⋅ 1 + 4 ⋅ ( − 1 ) ( − 4 ) ⋅ 1 + ( − 7 ) ⋅ ( − 1 ) ) ⇒ A x ⃗ = ( − 3 3 ) ⇒ A x ⃗ = ( − 3 ) ( 1 − 1 ) ⇒ A x ⃗ = ( − 3 ) x ⃗ \begin{aligned}
A\vec{x} &= \left( \begin{array}{cc} \textcolor{red}{1} & \textcolor{blue}{4} \\ \textcolor{red}{-4} & \textcolor{blue}{-7} \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{-1} \end{array} \right) \\
\Rightarrow \qquad A \vec{x}
& = \left( \begin{array}{c} \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{red}{1} + \textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{blue}{(-1)} \\ \textcolor{red}{(-4)} \cdot \textcolor{red}{1} + \textcolor{blue}{(-7)} \cdot \textcolor{blue}{(-1)} \end{array} \right) \\
\Rightarrow \qquad A \vec{x}
& = \left( \begin{array}{c} -3 \\ 3 \end{array} \right) \\
\Rightarrow \qquad A \vec{x}
& = (-3) \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \right) \\
\Rightarrow \qquad A \vec{x}
& = (-3) \vec{x}
\end{aligned} A x ⇒ A x ⇒ A x ⇒ A x ⇒ A x = ( 1 − 4 4 − 7 ) ( 1 − 1 ) = ( 1 ⋅ 1 + 4 ⋅ ( − 1 ) ( − 4 ) ⋅ 1 + ( − 7 ) ⋅ ( − 1 ) ) = ( − 3 3 ) = ( − 3 ) ( 1 − 1 ) = ( − 3 ) x Siden der er en konstant, er en egenvektor til og egenverdien er .
Oppgave 2 :
Er en egenvektor for ? Finn i så fall tilhørende egenverdi.
x ⃗ = ( 1 2 ) , A = ( 1 4 − 4 − 7 ) \vec{x} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right), \quad A = \left( \begin{array}{cc} 1 & 4 \\ -4 & -7 \end{array} \right) x = ( 1 2 ) , A = ( 1 − 4 4 − 7 )
Fasit: Nei, er ikke en egenvektor for .
Hint 1: Dersom er en egenvektor , er:
A x ⃗ = λ x ⃗ A\vec{x} = \lambda \vec{x} A x = λ x der er en konstant.
Hint 2: Bruk matrisemultiplikasjon til å regne ut . Er resultatet en vektor som er parallell med , dvs. en konstant multiplisert med ? I så fall er konstanten en egenverdi for
Løsning:
Bruk matrisemultiplikasjon til å regne ut :
A x ⃗ = ( 1 4 − 4 − 7 ) ( 1 2 ) ⇒ A x ⃗ = ( 1 ⋅ 1 + 4 ⋅ 2 ( − 4 ) ⋅ 1 + ( − 7 ) ⋅ 2 ) ⇒ A x ⃗ = ( 9 − 18 ) \begin{aligned}
A\vec{x} &= \left( \begin{array}{cc} \textcolor{red}{1} & \textcolor{blue}{4} \\ \textcolor{red}{-4} & \textcolor{blue}{-7} \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{2} \end{array} \right) \\
\Rightarrow \qquad A \vec{x}
& = \left( \begin{array}{c} \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{red}{1} + \textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{blue}{2} \\ \textcolor{red}{(-4)} \cdot \textcolor{red}{1} + \textcolor{blue}{(-7)} \cdot \textcolor{blue}{2} \end{array} \right) \\
\Rightarrow \qquad A \vec{x}
& = \left( \begin{array}{c} 9 \\ -18 \end{array} \right)
\end{aligned} A x ⇒ A x ⇒ A x = ( 1 − 4 4 − 7 ) ( 1 2 ) = ( 1 ⋅ 1 + 4 ⋅ 2 ( − 4 ) ⋅ 1 + ( − 7 ) ⋅ 2 ) = ( 9 − 18 ) Nå må vi prøve å finne en konstant slik at , dvs.
λ ( 1 2 ) = ( 9 − 18 ) ⇒ λ = 9 2 λ = − 18 \lambda \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 9 \\ -18 \end{array} \right)
\quad \Rightarrow \quad
\begin{array}{cc} \lambda = 9 \\ 2\lambda = -18\end{array} λ ( 1 2 ) = ( 9 − 18 ) ⇒ λ = 9 2 λ = − 18 Det er umulig å finne en konstant som fungerer for begge ligningene.
er derfor ikke en egenvektor til .
Oppgave 3 :
Finn egenverdiene og egenvektorene til:
A = ( − 2 4 1 1 ) A = \left( \begin{array}{cc} -2 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} \right) A = ( − 2 1 4 1 )
Fasit: har to egenverdier med hver sin egenvektor:
λ 1 = − 3 gir v ⃗ 1 = ( − 4 1 ) λ 2 = 2 gir v ⃗ 2 = ( 1 1 ) \lambda_1 = -3 \quad \textnormal{gir} \quad \vec{v}_1 = \left( \begin{array}{c} -4 \\ 1 \end{array} \right) \\
\lambda_2 = 2 \quad \textnormal{gir} \quad \vec{v}_2 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right) λ 1 = − 3 gir v 1 = ( − 4 1 ) λ 2 = 2 gir v 2 = ( 1 1 )
Hint 2: For hver egenverdi finner vi en egenvektor ved å løse . Bruk gjerne radreduksjon på den utvidete matrisen .
Løsning:
+ Steg 1: Finn egenverdiene
Finner egenverdiene ved å løse den karakteristiske ligningen:
det ( A − λ I ) = 0 ⇒ ∣ − 2 − λ 4 1 1 − λ ∣ = 0 ⇒ ( − 2 − λ ) ( 1 − λ ) − 4 ⋅ 1 = 0 ⇒ ( − 2 + 2 λ − λ + λ 2 ) − 4 = 0 ⇒ λ 2 + λ − 6 = 0 \begin{aligned}
& \det(A - \lambda I) = 0 \\
\Rightarrow \qquad
& \left| \begin{array}{ccc} -2 - \lambda & 4 \\ 1 & 1-\lambda \end{array} \right| = 0 \\
\Rightarrow \qquad
& (-2 - \lambda)(1 - \lambda) - 4 \cdot 1= 0 \\
%\Rightarrow \qquad
%& (-2) \cdot 1 + (-2) \cdot (-\lambda) + (-\lambda) \cdot 1 + (-\lambda)^2 - 4 = 0 \\
\Rightarrow \qquad
& (-2 + 2\lambda - \lambda + \lambda^2) - 4 = 0 \\
\Rightarrow \qquad
& \lambda^2 + \lambda - 6 = 0 \\
\end{aligned} ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ det ( A − λ I ) = 0 ∣ ∣ − 2 − λ 1 4 1 − λ ∣ ∣ = 0 ( − 2 − λ ) ( 1 − λ ) − 4 ⋅ 1 = 0 ( − 2 + 2 λ − λ + λ 2 ) − 4 = 0 λ 2 + λ − 6 = 0 Bruker andregradsformelen :
λ = − 1 ± 1 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 6 ) 2 ⋅ 1 ⇒ λ = − 1 ± 25 2 ⇒ λ 1 = − 1 − 5 2 = − 3 og λ 2 = − 1 + 5 2 = 2 \begin{aligned}
& \lambda = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} \\
\Rightarrow \qquad &
\lambda = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} \\
\Rightarrow \qquad &
\lambda_1 = \frac{-1 - 5}{2} = -3 \quad \textnormal{ og } \quad
\lambda_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2
\end{aligned} ⇒ ⇒ λ = 2 ⋅ 1 − 1 ± 1 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 6 ) λ = 2 − 1 ± 25 λ 1 = 2 − 1 − 5 = − 3 og λ 2 = 2 − 1 + 5 = 2 Sjekker at summen av hoveddiagonalen i er lik summen av egenverdier:
Summen av hoveddiagonalen i A : − 2 + 1 = − 1 Summen av egenverdier for A : λ 1 + λ 2 = − 3 + 2 = − 1 \begin{aligned}
& \textnormal{Summen av hoveddiagonalen i } A: \quad &&-2 + 1 = -1 \\
& \textnormal{Summen av egenverdier for } A: &&\lambda_1 + \lambda_2 = -3 + 2 = -1
\end{aligned} Summen av hoveddiagonalen i A : Summen av egenverdier for A : − 2 + 1 = − 1 λ 1 + λ 2 = − 3 + 2 = − 1 ok
+ Steg 2a: Finn egenvektoren til
For å finne egenvektoren () til egenverdien må vi løse:
( A − λ 1 I ) v ⃗ 1 = 0 ⟺ ( − 2 − λ 1 4 1 1 − λ 1 ) ( v 1 v 2 ) = ( 0 0 ) (A - \lambda_1 I) \vec{v}_1 = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad
\left( \begin{array}{cc} -2-\lambda_1 & 4 \\ 1 & 1-\lambda_1 \end{array} \right)
\left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \end{array} \right) =
\left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right) ( A − λ 1 I ) v 1 = 0 ⟺ ( − 2 − λ 1 1 4 1 − λ 1 ) ( v 1 v 2 ) = ( 0 0 ) Løser ved å bruke radoperasjoner på den utvidete matrisen :
( − 2 − λ 1 4 0 1 1 − λ 1 0 ) = ( 1 4 0 1 4 0 ) ∼ R 2 − R 1 → R 2 ( 1 4 0 0 0 0 ) \left( \begin{array}{cc|c} -2 - \lambda_1 & 4 & 0 \\ 1 & 1-\lambda_1 & 0 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{cc|c} 1 & 4 & 0 \\ 1 & 4 & 0 \end{array} \right) \\
\overset{R_2 -R_1 \to R_2}{\sim}
\left( \begin{array}{cc|c} 1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)
( − 2 − λ 1 1 4 1 − λ 1 0 0 ) = ( 1 1 4 4 0 0 ) ∼ R 2 − R 1 → R 2 ( 1 0 4 0 0 0 ) Siden andre kolonne mangler ledende ener, lar vi være en fri variabel. Den første raden tilsvarer:
v 1 + 4 v 2 = 0 ⇒ v 1 = − 4 v 2 v_1 + 4v_2 = 0 \quad \Rightarrow \quad v_1 = - 4v_2 v 1 + 4 v 2 = 0 ⇒ v 1 = − 4 v 2 Setter den frie variabelen lik , dvs. :
v ⃗ 1 = ( v 1 v 2 ) = ( − 4 1 ) t \vec{v}_1 = \left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \end{array} \right) =
\left( \begin{array}{c} -4 \\ 1 \end{array} \right) t v 1 = ( v 1 v 2 ) = ( − 4 1 ) t Velger :
v ⃗ 1 = ( − 4 1 ) \vec{v}_1 = \left( \begin{array}{c} -4 \\ 1 \end{array} \right) v 1 = ( − 4 1 ) Sjekker om ved hjelp av matrisemultiplikasjon :
A v ⃗ 1 = ( − 2 4 1 1 ) ( − 4 1 ) = ( ( − 2 ) ⋅ ( − 4 ) + 4 ⋅ 1 1 ⋅ ( − 4 ) + 1 ⋅ 1 ) = ( 12 − 3 ) λ 1 v ⃗ 1 = ( − 3 ) ( − 4 1 ) = ( 12 − 3 ) \begin{aligned}
& A\vec{v}_1 = \left( \begin{array}{cc} -2 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} -4 \\ 1 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} (-2) \cdot (-4) + 4 \cdot 1 \\ 1 \cdot (-4) + 1 \cdot 1 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} 12 \\ -3 \end{array} \right) \\
& \lambda_1 \vec{v}_1
= (-3) \left( \begin{array}{c} -4 \\ 1 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} 12 \\ -3 \end{array} \right)
\end{aligned} A v 1 = ( − 2 1 4 1 ) ( − 4 1 ) = ( ( − 2 ) ⋅ ( − 4 ) + 4 ⋅ 1 1 ⋅ ( − 4 ) + 1 ⋅ 1 ) = ( 12 − 3 ) λ 1 v 1 = ( − 3 ) ( − 4 1 ) = ( 12 − 3 ) ok.
+ Steg 2b: Finn egenvektoren til
For å finne egenvektoren () til egenverdien må vi løse:
( A − λ 2 I ) v ⃗ 1 = 0 ⟺ ( − 2 − λ 2 4 1 1 − λ 2 ) ( v 1 v 2 ) = ( 0 0 ) (A - \lambda_2 I) \vec{v}_1 = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad
\left( \begin{array}{cc} -2-\lambda_2 & 4 \\ 1 & 1-\lambda_2 \end{array} \right)
\left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \end{array} \right) =
\left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right) ( A − λ 2 I ) v 1 = 0 ⟺ ( − 2 − λ 2 1 4 1 − λ 2 ) ( v 1 v 2 ) = ( 0 0 ) Løser ved å bruke radoperasjoner på den utvidete matrisen :
( − 2 − λ 2 4 0 1 1 − λ 2 0 ) = ( − 4 4 0 1 − 1 0 ) ∼ R 1 ↔ R 1 ( 1 − 1 0 − 4 4 0 ) ∼ R 2 + 4 R 1 → R 2 ( 1 − 1 0 0 0 0 ) \left( \begin{array}{cc|c} -2 - \lambda_2 & 4 & 0 \\ 1 & 1-\lambda_2 & 0 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{cc|c} -4 & 4 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \end{array} \right) \\
\overset{R_1 \leftrightarrow R_1}{\sim}
\left( \begin{array}{cc|c} 1 & -1 & 0 \\ -4 & 4 & 0 \end{array} \right)
\overset{R_2 +4R_1 \to R_2}{\sim}
\left( \begin{array}{cc|c} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)
( − 2 − λ 2 1 4 1 − λ 2 0 0 ) = ( − 4 1 4 − 1 0 0 ) ∼ R 1 ↔ R 1 ( 1 − 4 − 1 4 0 0 ) ∼ R 2 + 4 R 1 → R 2 ( 1 0 − 1 0 0 0 ) Siden andre kolonne mangler ledende ener, lar vi være en fri variabel. Den første raden tilsvarer:
v 1 − v 2 = 0 ⇒ v 1 = v 2 v_1 - v_2 = 0 \quad \Rightarrow \quad v_1 = v_2 v 1 − v 2 = 0 ⇒ v 1 = v 2 Setter den frie variabelen lik , dvs. :
v ⃗ 2 = ( v 1 v 2 ) = ( 1 1 ) t \vec{v}_2 = \left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \end{array} \right) =
\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right) t v 2 = ( v 1 v 2 ) = ( 1 1 ) t Velger :
v ⃗ 2 = ( 1 1 ) \vec{v}_2 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right) v 2 = ( 1 1 ) Sjekker om ved hjelp av matrisemultiplikasjon :
A v ⃗ 2 = ( − 2 4 1 1 ) ( 1 1 ) = ( ( − 2 ) ⋅ 1 + 4 ⋅ 1 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 ) = ( 2 2 ) λ 2 v ⃗ 2 = 2 ( 1 1 ) = ( 2 2 ) \begin{aligned}
& A\vec{v}_2 = \left( \begin{array}{cc} -2 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} (-2) \cdot 1 + 4 \cdot 1 \\ 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \end{array} \right) \\
& \lambda_2 \vec{v}_2
= 2 \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \end{array} \right)
\end{aligned} A v 2 = ( − 2 1 4 1 ) ( 1 1 ) = ( ( − 2 ) ⋅ 1 + 4 ⋅ 1 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 ) = ( 2 2 ) λ 2 v 2 = 2 ( 1 1 ) = ( 2 2 ) ok.
Oppgave 4 :
Er en gyldig overgangsmatrise i en Markov-kjede?
A = ( 0.4 0.3 0.6 0.5 ) A = \left( \begin{array}{cc} 0.4 & 0.3 \\ 0.6 & 0.5 \end{array} \right) A = ( 0.4 0.6 0.3 0.5 )
Fasit: Nei, er ikke en gyldig overgangsmatrise for en Markovkjeder fordi summen av andre kolonne ikke er 1.
Hint 1: En Markov-kjede er en følge av tilstander der hver tilstand avhenger av forrige tilstand:
x ⃗ k + 1 = A x ⃗ k \vec{x}_{k+1} = A \vec{x}_k x k + 1 = A x k
Hint 2: En gyldig overgangsmatrise har to krav:
Løsning:
Sjekker kravene for en gyldig overgangsmatrise for en Markov-kjede :
er en kvadratisk matriseok
Alle elementene i matrisen er ikke-negativeok
Summen av elementene i hver kolonne er 1ok ikke ok
er ikke en gyldig overgangsmatrise.
Oppgave 5 :
Er en gyldig overgangsmatrise i en Markov-kjede?
A = ( 0.4 1.1 0.6 − 0.1 ) A = \left( \begin{array}{cc} 0.4 & 1.1 \\ 0.6 & -0.1 \end{array} \right) A = ( 0.4 0.6 1.1 − 0.1 )
Fasit: Nei, er ikke en gyldig overgangsmatrise for en Markovkjeder fordi et av elementene er negativ.
Hint 1: En Markov-kjede er en følge av tilstander der hver tilstand avhenger av forrige tilstand:
x ⃗ k + 1 = A x ⃗ k \vec{x}_{k+1} = A \vec{x}_k x k + 1 = A x k
Hint 2: En gyldig overgangsmatrise har to krav:
Løsning:
Sjekker kravene for en gyldig overgangsmatrise for en Markov-kjede :
er en kvadratisk matriseok
Alle elementene i matrisen er ikke-negativeikke ok
Summen av elementene i hver kolonne er 1ok ok
er ikke en gyldig overgangsmatrise fordi den inneholder et negativt element.
Oppgave 6 :
Er en gyldig overgangsmatrise i en Markov-kjede?
A = ( 0.4 1 0.5 0.6 0 0.2 0 0 0.3 ) A = \left( \begin{array}{ccc} 0.4 & 1 & 0.5 \\ 0.6 & 0 & 0.2 \\ 0 & 0 & 0.3 \end{array} \right) A = ⎝ ⎛ 0.4 0.6 0 1 0 0 0.5 0.2 0.3 ⎠ ⎞
Fasit: Ja, er ikke en gyldig overgangsmatrise for en Markovkjeder.
Hint 1: En Markov-kjede er en følge av tilstander der hver tilstand avhenger av forrige tilstand:
x ⃗ k + 1 = A x ⃗ k \vec{x}_{k+1} = A \vec{x}_k x k + 1 = A x k
Hint 2: En gyldig overgangsmatrise har to krav:
Løsning:
Sjekker kravene for en gyldig overgangsmatrise for en Markov-kjede :
er en kvadratisk matriseok
Alle elementene i matrisen er ikke-negativeok
Summen av elementene i hver kolonne er 1ok ok ok
er en gyldig overgangsmatrise fordi den tilfredsstiller alle kravene.
Oppgave 7 :
Hvis det er regn i dag, er det 70% sannsynlighet for regn i morgen og 30% sannsynlighet for sol i morgen. Hvis det er sol i dag, er det 60% sannsynlighet for sol i morgen og 40% sannsynlighet for regn. Sett opp overgangsmatrisen for Markov-kjeden.
Fasit: Overgangsmatrisen er:
( 0.7 0.4 0.3 0.6 ) eller ( 0.6 0.3 0.4 0.7 ) \left( \begin{array}{cc} 0.7 & 0.4 \\ 0.3 & 0.6 \end{array} \right)
\quad \textnormal{eller} \quad
\left( \begin{array}{cc} 0.6 & 0.3 \\ 0.4 & 0.7 \end{array} \right) ( 0.7 0.3 0.4 0.6 ) eller ( 0.6 0.4 0.3 0.7 )
Hint 1: En Markov-kjede er en følge av tilstander der hver tilstand avhenger av forrige tilstand:
x ⃗ k + 1 = A x ⃗ k \vec{x}_{k+1} = A \vec{x}_k x k + 1 = A x k
Hint 2: Hvis du kan velge ett av to alternativer, og neste alternativ du velger avhenger av hva du valgte sist, inneholder elementene i overgangsmatrisen sannsynligheten for de forskjellige overgangene:
A = ( alt. 1 → alt. 1 alt. 2 → alt. 1 alt. 1 → alt. 2 alt. 2 → alt. 2 ) A = \left( \begin{array}{cc}
\textnormal{alt. 1 $\to$ alt. 1} & \textnormal{alt. 2 $\to$ alt. 1} \\
\textnormal{alt. 1 $\to$ alt. 2} & \textnormal{alt. 2 $\to$ alt. 2} \\
\end{array} \right) A = ( alt. 1 → alt. 1 alt. 1 → alt. 2 alt. 2 → alt. 1 alt. 2 → alt. 2 )
Løsning:
Overgangsmatrisen inneholder sannsynligheten for overgangen mellom de to alternativene:
A = ( alt. 1 → alt. 1 alt. 2 → alt. 1 alt. 1 → alt. 2 alt. 2 → alt. 2 ) A = \left( \begin{array}{cc}
\textnormal{alt. 1 $\to$ alt. 1} & \textnormal{alt. 2 $\to$ alt. 1} \\
\textnormal{alt. 1 $\to$ alt. 2} & \textnormal{alt. 2 $\to$ alt. 2} \\
\end{array} \right) A = ( alt. 1 → alt. 1 alt. 1 → alt. 2 alt. 2 → alt. 1 alt. 2 → alt. 2 ) Hvis alternativ 1 er regn og alternativ 2 er sol, får vi:
A = ( regn → regn sol → regn regn → sol sol → sol ) = ( 0.7 0.4 0.3 0.6 ) A = \left( \begin{array}{cc}
\textnormal{regn $\to$ regn} & \textnormal{sol $\to$ regn} \\
\textnormal{regn $\to$ sol} & \textnormal{sol $\to$ sol} \\
\end{array} \right)
= \left( \begin{array}{cc} 0.7 & 0.4 \\ 0.3 & 0.6 \end{array} \right) A = ( regn → regn regn → sol sol → regn sol → sol ) = ( 0.7 0.3 0.4 0.6 ) Hvis du vil, kan du la alternativ 1 være sol og alternativ 2 være regn:
A = ( sol → sol regn → sol sol → regn regn → regn ) = ( 0.6 0.3 0.4 0.7 ) A = \left( \begin{array}{cc}
\textnormal{sol $\to$ sol} & \textnormal{regn $\to$ sol} \\
\textnormal{sol $\to$ regn} & \textnormal{regn $\to$ regn} \\
\end{array} \right)
= \left( \begin{array}{cc} 0.6 & 0.3 \\ 0.4 & 0.7 \end{array} \right) A = ( sol → sol sol → regn regn → sol regn → regn ) = ( 0.6 0.4 0.3 0.7 ) Begge er gyldige overgangsmatriser for problemstillingen. Husk bare å tolke svaret ditt ut fra hvordan du satte opp problemet.
Oppgave 8 :
Finn tilstandsvektoren for en Markov-kjede ved tidspunkt 1 og 2, når du vet tilstandsvektoren ved start, , og overgangsmatrisen, , for Markov-kjeden:
x ⃗ 0 = ( 0.4 0.6 ) , A = ( 0.3 0.8 0.7 0.2 ) \vec{x}_0 = \left( \begin{array}{c} 0.4 \\ 0.6 \end{array} \right), \qquad
A = \left( \begin{array}{cc} 0.3 & 0.8 \\ 0.7 & 0.2 \end{array} \right) x 0 = ( 0.4 0.6 ) , A = ( 0.3 0.7 0.8 0.2 )
Fasit:
x ⃗ 1 = ( 0.6 0.4 ) , x ⃗ 2 = ( 0.5 0.5 ) \vec{x}_1 = \left( \begin{array}{c} 0.6 \\ 0.4 \end{array} \right), \quad
\vec{x}_2 = \left( \begin{array}{c} 0.5 \\ 0.5 \end{array} \right) x 1 = ( 0.6 0.4 ) , x 2 = ( 0.5 0.5 )
Hint 1: En Markov-kjede er en følge av tilstander der hver tilstand avhenger av forrige tilstand:
x ⃗ k + 1 = A x ⃗ k \vec{x}_{k+1} = A \vec{x}_k x k + 1 = A x k
Hint 2: Du finner en tilstandsvektor ved å multiplisere matrisen med tilstandsvektoren ved forrige tidspunkt.
Løsning: En Markov-kjede er en følge av tilstander der hver tilstand avhenger av forrige tilstand:
x ⃗ k + 1 = A x ⃗ k \vec{x}_{k+1} = A \vec{x}_k x k + 1 = A x k Vi kan bruke matrisemultiplikasjon for å neste tilstand.
Setter for å finne :
x ⃗ 1 = A x ⃗ 0 ⇒ x ⃗ 1 = ( 0.3 0.8 0.7 0.2 ) ( 0.4 0.6 ) ⇒ x ⃗ 1 = ( 0.3 ⋅ 0.4 + 0.8 ⋅ 0.6 0.7 ⋅ 0.4 + 0.2 ⋅ 0.6 ) ⇒ x ⃗ 1 = ( 0.6 0.4 ) \begin{aligned}
& \vec{x}_1 = A \vec{x}_0 \\
\Rightarrow \quad & \vec{x}_1 = \left( \begin{array}{cc} 0.3 & 0.8 \\ 0.7 & 0.2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0.4 \\ 0.6 \end{array} \right) \\
\Rightarrow \quad & \vec{x}_1
= \left( \begin{array}{c} 0.3 \cdot 0.4 + 0.8 \cdot 0.6 \\ 0.7 \cdot 0.4 + 0.2 \cdot 0.6 \end{array} \right) \\
\Rightarrow \quad & \vec{x}_1
= \left( \begin{array}{c} 0.6 \\ 0.4 \end{array} \right)
\end{aligned} ⇒ ⇒ ⇒ x 1 = A x 0 x 1 = ( 0.3 0.7 0.8 0.2 ) ( 0.4 0.6 ) x 1 = ( 0.3 ⋅ 0.4 + 0.8 ⋅ 0.6 0.7 ⋅ 0.4 + 0.2 ⋅ 0.6 ) x 1 = ( 0.6 0.4 ) Setter for å finne :
x ⃗ 2 = A x ⃗ 1 ⇒ x ⃗ 2 = ( 0.3 0.8 0.7 0.2 ) ( 0.6 0.4 ) ⇒ x ⃗ 2 = ( 0.3 ⋅ 0.6 + 0.8 ⋅ 0.4 0.7 ⋅ 0.6 + 0.2 ⋅ 0.4 ) ⇒ x ⃗ 2 = ( 0.5 0.5 ) \begin{aligned}
& \vec{x}_2 = A \vec{x}_1 \\
\Rightarrow \quad & \vec{x}_2 = \left( \begin{array}{cc} 0.3 & 0.8 \\ 0.7 & 0.2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0.6 \\ 0.4 \end{array} \right) \\
\Rightarrow \quad & \vec{x}_2
= \left( \begin{array}{c} 0.3 \cdot 0.6 + 0.8 \cdot 0.4 \\ 0.7 \cdot 0.6 + 0.2 \cdot 0.4 \end{array} \right) \\
\Rightarrow \quad & \vec{x}_2
= \left( \begin{array}{c} 0.5 \\ 0.5 \end{array} \right)
\end{aligned} ⇒ ⇒ ⇒ x 2 = A x 1 x 2 = ( 0.3 0.7 0.8 0.2 ) ( 0.6 0.4 ) x 2 = ( 0.3 ⋅ 0.6 + 0.8 ⋅ 0.4 0.7 ⋅ 0.6 + 0.2 ⋅ 0.4 ) x 2 = ( 0.5 0.5 ) Husk at summen av elementene i en tilstandsvektor skal være 1. Dersom du får noe annet enn 1, har du regnet feil.
Oppgave 9 :
Finn den generelle løsningen til Markov-kjeden med overgangsmatrise:
A = ( 0.8 0.3 0.2 0.7 ) A = \left( \begin{array}{cc} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{array} \right) A = ( 0.8 0.2 0.3 0.7 )
Fasit: Den generelle løsningen til Markov-kjeden:
x ⃗ k = c 1 ( 3 2 ) + c 2 ⋅ 0. 5 k ( − 1 1 ) \vec{x}_k = c_1 \left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}\right)
+ c_2 \cdot 0.5^k \left( \!\!\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \!\!\right) x k = c 1 ( 3 2 ) + c 2 ⋅ 0. 5 k ( − 1 1 ) Vær oppmerksom på at løsningen kan skrives på flere måter. Hvis du har fått noe annet, kan det tenkes du har valgt en annen i utregningen av egenvektorene.
Hint 1: Den generelle løsningen til en Markov-kjede er:
x ⃗ k = c 1 λ 1 k v ⃗ 1 + c 2 λ 2 k v ⃗ 2 + ⋯ + c n λ n k v ⃗ n \vec{x}_k = c_1 \lambda_1^k \vec{v}_1 + c_2 \lambda_2^k \vec{v}_2 + \cdots + c_n \lambda_n^k \vec{v}_n x k = c 1 λ 1 k v 1 + c 2 λ 2 k v 2 + ⋯ + c n λ n k v n der er egenverdien med tilhørende egenvektor .
Hint 2: For å finne den generelle løsningen, må du finne egenverdiene og egenvektorene til .
Løsning:
+ Steg 1: Sjekk overgangsmatrisen
Sjekk at alle elementene i overgangsmatrisen er ikke-negative og kolonnesummene er lik 1:
Alle elementer i A ≥ 0 ok Kolonne 1: 0.8 + 0.2 = 1 ok Kolonne 2: 0.3 + 0.7 = 1 ok \begin{aligned}
& \textnormal{Alle elementer i A} \ge 0 \textnormal{ ok} \\
& \textnormal{Kolonne 1:} \quad 0.8 + 0.2 = 1 \textnormal{ ok} \\
& \textnormal{Kolonne 2:} \quad 0.3 + 0.7 = 1 \textnormal{ ok}
\end{aligned} Alle elementer i A ≥ 0 ok Kolonne 1: 0.8 + 0.2 = 1 ok Kolonne 2: 0.3 + 0.7 = 1 ok ok
+ Steg 2: Finn egenverdiene
Finner egenverdiene ved å løse den karakteristiske ligningen:
det ( A − λ I ) = 0 ⇒ ∣ 0.8 − λ 0.3 0.2 0.7 − λ ∣ = 0 ⇒ ( 0.8 − λ ) ( 0.7 − λ ) − 0.3 ⋅ 0.2 = 0 ⇒ ( 0.8 ⋅ 0.7 − 0.8 λ − 0.7 λ + λ 2 ) − 0.06 = 0 ⇒ λ 2 − 1.5 λ + 0.5 = 0 \begin{aligned}
& \det(A - \lambda I) = 0 \\
\Rightarrow \qquad
& \left| \begin{array}{ccc} 0.8 - \lambda & 0.3 \\ 0.2 & 0.7-\lambda \end{array} \right| = 0 \\
\Rightarrow \qquad
& (0.8 - \lambda)(0.7 - \lambda) - 0.3 \cdot 0.2 = 0 \\
\Rightarrow \qquad
& (0.8 \cdot 0.7 - 0.8\lambda - 0.7\lambda + \lambda^2) - 0.06 = 0 \\
\Rightarrow \qquad
& \lambda^2 - 1.5 \lambda + 0.5 = 0
\end{aligned} ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ det ( A − λ I ) = 0 ∣ ∣ 0.8 − λ 0.2 0.3 0.7 − λ ∣ ∣ = 0 ( 0.8 − λ ) ( 0.7 − λ ) − 0.3 ⋅ 0.2 = 0 ( 0.8 ⋅ 0.7 − 0.8 λ − 0.7 λ + λ 2 ) − 0.06 = 0 λ 2 − 1.5 λ + 0.5 = 0 Bruker andregradsformelen :
λ = − ( − 1.5 ) ± ( − 1.5 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 0.5 2 ⋅ 1 ⇒ λ = 1.5 ± 0.25 2 ⇒ λ = 1.5 ± 0.5 2 ⇒ λ 1 = 1.5 + 0.5 2 = 1 og λ 2 = 1.5 − 0.5 2 = 0.5 \begin{aligned}
& \lambda = \frac{-(-1.5) \pm \sqrt{(-1.5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0.5}}{2 \cdot 1} \\
\Rightarrow \qquad &
\lambda = \frac{1.5 \pm \sqrt{0.25}}{2} \\
\Rightarrow \qquad &
\lambda = \frac{1.5 \pm 0.5}{2} \\
\Rightarrow \qquad &
\lambda_1 = \frac{1.5 + 0.5}{2} = 1 \quad \textnormal{ og } \quad
\lambda_2 = \frac{1.5 - 0.5}{2} = 0.5
\end{aligned} ⇒ ⇒ ⇒ λ = 2 ⋅ 1 − ( − 1.5 ) ± ( − 1.5 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 0.5 λ = 2 1.5 ± 0.25 λ = 2 1.5 ± 0.5 λ 1 = 2 1.5 + 0.5 = 1 og λ 2 = 2 1.5 − 0.5 = 0.5 Sjekker at summen av hoveddiagonalen i er lik summen av egenverdier:
Summen av hoveddiagonalen i A : 0.8 + 0.7 = 1.5 Summen av egenverdier for A : λ 1 + λ 2 = 1 + 0.5 = 1.5 \begin{aligned}
& \textnormal{Summen av hoveddiagonalen i } A: \quad && 0.8 + 0.7 = 1.5 \\
& \textnormal{Summen av egenverdier for } A: &&\lambda_1 + \lambda_2 = 1 + 0.5 = 1.5
\end{aligned} Summen av hoveddiagonalen i A : Summen av egenverdier for A : 0.8 + 0.7 = 1.5 λ 1 + λ 2 = 1 + 0.5 = 1.5 ok
+ Steg 3a: Finn egenvektoren til
Løser ved å bruke radoperasjoner på den utvidete matrisen til :
( 0.8 − λ 1 0.3 0 0.2 0.7 − λ 1 0 ) = ( − 0.2 0.3 0 0.2 − 0.3 0 ) ∼ R 2 + R 1 → R 2 ( − 0.2 0.3 0 0 0 0 ) ∼ − 5 R 1 → R 1 ( 1 − 1.5 0 0 0 0 ) \left( \begin{array}{cc|c} 0.8 - \lambda_1 & 0.3 & 0 \\ 0.2 & 0.7-\lambda_1 & 0 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{cc|c} -0.2 & 0.3 & 0 \\ 0.2 & -0.3 & 0 \end{array} \right) \\
\overset{R_2 +R_1 \to R_2}{\sim}
\left( \begin{array}{cc|c} -0.2 & 0.3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)
\overset{-5R_1 \to R_1}{\sim}
\left( \begin{array}{cc|c} 1 & -1.5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)
( 0.8 − λ 1 0.2 0.3 0.7 − λ 1 0 0 ) = ( − 0.2 0.2 0.3 − 0.3 0 0 ) ∼ R 2 + R 1 → R 2 ( − 0.2 0 0.3 0 0 0 ) ∼ − 5 R 1 → R 1 ( 1 0 − 1.5 0 0 0 ) Siden andre kolonne mangler ledende ener, lar vi være en fri variabel. Første rad gir :
v ⃗ 1 = ( v 1 v 2 ) = ( 1.5 1 ) t = velger t = 2 ( 3 2 ) \vec{v}_1 = \left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \end{array} \right) =
\left( \begin{array}{c} 1.5 \\ 1 \end{array} \right) t
\overset{\textnormal{velger } t = 2}{=}
\left( \begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array} \right) v 1 = ( v 1 v 2 ) = ( 1.5 1 ) t = velger t = 2 ( 3 2 ) Sjekker om ved hjelp av matrisemultiplikasjon :
A v ⃗ 1 = ( 0.8 0.3 0.2 0.7 ) ( 3 2 ) = ( 0.8 ⋅ 3 + 0.3 ⋅ 2 0.2 ⋅ 3 + 0.7 ⋅ 2 ) = ( 3 2 ) λ 1 v ⃗ 1 = 1 ⋅ ( 3 2 ) = ( 3 2 ) \begin{aligned}
& A\vec{v}_1 = \left( \begin{array}{cc} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} 0.8 \cdot 3 + 0.3 \cdot 2 \\ 0.2 \cdot 3 + 0.7 \cdot 2 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array} \right) \\
& \lambda_1 \vec{v}_1
= 1 \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array} \right)
\end{aligned} A v 1 = ( 0.8 0.2 0.3 0.7 ) ( 3 2 ) = ( 0.8 ⋅ 3 + 0.3 ⋅ 2 0.2 ⋅ 3 + 0.7 ⋅ 2 ) = ( 3 2 ) λ 1 v 1 = 1 ⋅ ( 3 2 ) = ( 3 2 ) ok.
+ Steg 3b: Finn egenvektoren til
Løser ved å bruke radoperasjoner på den utvidete matrisen til :
( 0.8 − λ 2 0.3 0 0.2 0.7 − λ 2 0 ) = ( 0.3 0.3 0 0.2 0.2 0 ) ∼ R 1 / 0.3 → R 1 ( 1 1 0 0.2 0.2 0 ) ∼ R 2 − 0.2 R 1 → R 2 ( 1 1 0 0 0 0 ) \left( \begin{array}{cc|c} 0.8 - \lambda_2 & 0.3 & 0 \\ 0.2 & 0.7-\lambda_2 & 0 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{cc|c} 0.3 & 0.3 & 0 \\ 0.2 & 0.2 & 0 \end{array} \right) \\
\overset{R_1/0.3 \to R_1}{\sim}
\left( \begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 0 \\ 0.2 & 0.2 & 0 \end{array} \right)
\overset{R_2 - 0.2R_1 \to R_2}{\sim}
\left( \begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)
( 0.8 − λ 2 0.2 0.3 0.7 − λ 2 0 0 ) = ( 0.3 0.2 0.3 0.2 0 0 ) ∼ R 1 /0.3 → R 1 ( 1 0.2 1 0.2 0 0 ) ∼ R 2 − 0.2 R 1 → R 2 ( 1 0 1 0 0 0 ) Siden andre kolonne mangler ledende ener, lar vi være en fri variabel. Første rad gir :
v ⃗ 1 = ( v 1 v 2 ) = ( − 1 1 ) t = velger t = 1 ( − 1 1 ) \vec{v}_1 = \left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \end{array} \right) =
\left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \right) t
\overset{\textnormal{velger } t = 1}{=}
\left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \right) v 1 = ( v 1 v 2 ) = ( − 1 1 ) t = velger t = 1 ( − 1 1 ) Sjekker om ved hjelp av matrisemultiplikasjon :
A v ⃗ 1 = ( 0.8 0.3 0.2 0.7 ) ( − 1 1 ) = ( 0.8 ⋅ ( − 1 ) + 0.3 ⋅ 1 0.2 ⋅ ( − 1 ) + 0.7 ⋅ 1 ) = ( − 0.5 0.5 ) λ 1 v ⃗ 1 = 0.5 ⋅ ( − 1 1 ) = ( − 0.5 0.5 ) \begin{aligned}
& A\vec{v}_1 = \left( \begin{array}{cc} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} 0.8 \cdot (-1) + 0.3 \cdot 1 \\ 0.2 \cdot (-1) + 0.7 \cdot 1 \end{array} \right)
= \left( \!\!\! \begin{array}{c} -0.5 \\ 0.5 \end{array} \!\!\!\right) \\
& \lambda_1 \vec{v}_1
= 0.5 \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} -0.5 \\ 0.5 \end{array} \right)
\end{aligned} A v 1 = ( 0.8 0.2 0.3 0.7 ) ( − 1 1 ) = ( 0.8 ⋅ ( − 1 ) + 0.3 ⋅ 1 0.2 ⋅ ( − 1 ) + 0.7 ⋅ 1 ) = ( − 0.5 0.5 ) λ 1 v 1 = 0.5 ⋅ ( − 1 1 ) = ( − 0.5 0.5 ) ok.
+ Steg 4: Finn generell løsning
Den generelle løsningen når er en matrise:
x ⃗ k = c 1 λ 1 k v ⃗ 1 + c 2 λ 2 k v ⃗ 2 \vec{x}_k = c_1 \lambda_1^k \vec{v}_1 + c_2 \lambda_2^k \vec{v}_2 x k = c 1 λ 1 k v 1 + c 2 λ 2 k v 2 Setter inn egenverdier og egenvektorene:
x ⃗ k = c 1 ⋅ 1 k ( 3 2 ) + c 2 ⋅ 0. 5 k ( − 1 1 ) ⇒ x ⃗ k = c 1 ( 3 2 ) + c 2 ⋅ 0. 5 k ( − 1 1 ) \vec{x}_k = c_1 \cdot 1^k \left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}\right)
+ c_2 \cdot 0.5^k \left( \!\!\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \!\!\right) \\
\Rightarrow \qquad \vec{x}_k = c_1 \left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}\right)
+ c_2 \cdot 0.5^k \left( \!\!\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \!\!\right) x k = c 1 ⋅ 1 k ( 3 2 ) + c 2 ⋅ 0. 5 k ( − 1 1 ) ⇒ x k = c 1 ( 3 2 ) + c 2 ⋅ 0. 5 k ( − 1 1 )
Oppgave 10 :
Finn og likevektstilstanden til en Markov-kjeden når du vet starttilstanden, egenverdier og egenvektorer:
x ⃗ 0 = ( 0.5 0.5 ) , λ 1 = 1 og v ⃗ 1 = ( 3 2 ) , λ 2 = 0.5 og v ⃗ 2 = ( − 1 1 ) \vec{x}_0 = \left( \begin{array}{c} 0.5 \\ 0.5 \end{array} \right), \\
\lambda_1 = 1 \textnormal{ og }
\vec{v}_1 = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array} \right), \\
\lambda_2 = 0.5 \textnormal{ og }
\vec{v}_2 = \left( \!\! \begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \!\! \right) x 0 = ( 0.5 0.5 ) , λ 1 = 1 og v 1 = ( 3 2 ) , λ 2 = 0.5 og v 2 = ( − 1 1 )
Fasit: og likevektstilstanden er:
x ⃗ 5 = ( 0.596875 0.403125 ) og v ⃗ = ( 0.6 0.4 ) \vec{x}_5 = \left(\begin{array}{c} 0.596875 \\ 0.403125 \end{array}\right)
\textnormal{ og } \;
\vec{v} = \left(\begin{array}{c} 0.6 \\ 0.4 \end{array}\right) x 5 = ( 0.596875 0.403125 ) og v = ( 0.6 0.4 )
Hint 1: Den generelle løsningen til en Markov-kjede er:
x ⃗ k = c 1 λ 1 k v ⃗ 1 + c 2 λ 2 k v ⃗ 2 + ⋯ + c n λ n k v ⃗ n \vec{x}_k = c_1 \lambda_1^k \vec{v}_1 + c_2 \lambda_2^k \vec{v}_2 + \cdots + c_n \lambda_n^k \vec{v}_n x k = c 1 λ 1 k v 1 + c 2 λ 2 k v 2 + ⋯ + c n λ n k v n der er egenverdien med tilhørende egenvektor . Koeffisientene kan du bestemme ut fra startbetingelsen.
Hint 2: For å bestemme må du sette i den generelle løsningen . Og for å finne likevektstilstanden må du la gå mot uendelig.
Løsning: Setter egenverdiene og egenvektorene inn i den generelle løsningen :
x ⃗ k = c 1 ⋅ 1 k ( 3 2 ) + c 2 ⋅ 0. 5 k ( − 1 1 ) ⇒ x ⃗ k = c 1 ( 3 2 ) + c 2 ⋅ 0. 5 k ( − 1 1 ) \vec{x}_k = c_1 \cdot 1^k \left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}\right)
+ c_2 \cdot 0.5^k \left( \!\!\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \!\!\right) \\
\Rightarrow \qquad
\vec{x}_k = c_1 \left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}\right)
+ c_2 \cdot 0.5^k \left( \!\!\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \!\!\right) x k = c 1 ⋅ 1 k ( 3 2 ) + c 2 ⋅ 0. 5 k ( − 1 1 ) ⇒ x k = c 1 ( 3 2 ) + c 2 ⋅ 0. 5 k ( − 1 1 ) Bruker starttilstanden for å finne koeffisientene og :
x ⃗ 0 = c 1 ( 3 2 ) + c 2 ⋅ 0. 5 0 ( − 1 1 ) = ( 0.5 0.5 ) ⇒ ( 3 − 1 2 1 ) ( c 1 c 2 ) = ( 0.5 0.5 ) \vec{x}_0 = c_1 \left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}\right)
+ c_2 \cdot 0.5^0 \left( \!\!\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \!\!\right)
= \left(\begin{array}{c} 0.5 \\ 0.5 \end{array}\right) \\
\Rightarrow \qquad
\left(\begin{array}{cc} 3 & -1 \\ 2 & 1 \end{array}\right)
\left( \!\!\begin{array}{c} c_1 \\ c_2 \end{array} \!\!\right)
= \left(\begin{array}{c} 0.5 \\ 0.5 \end{array}\right) \\ x 0 = c 1 ( 3 2 ) + c 2 ⋅ 0. 5 0 ( − 1 1 ) = ( 0.5 0.5 ) ⇒ ( 3 2 − 1 1 ) ( c 1 c 2 ) = ( 0.5 0.5 ) Løser ved å bruke radoperasjoner på den utvidete matrisen :
( 3 − 1 1 2 2 1 1 2 ) ∼ R 1 / 3 → R 1 ( 1 − 1 3 1 6 2 1 1 2 ) ∼ R 2 − 2 R 1 → R 2 ( 1 − 1 3 1 6 0 5 3 1 6 ) ∼ 3 R 2 / 5 → R 2 ( 1 − 1 3 1 6 0 1 1 10 ) ∼ R 1 + R 2 / 3 → R 1 ( 1 0 1 5 0 1 1 10 ) \left( \begin{array}{cc|c} 3 & -1 & \frac{1}{2} \\ 2 & 1 & \frac{1}{2} \end{array} \right)
\overset{R_1/3 \to R_1}{\sim}
\left( \begin{array}{cc|c} 1 & -\frac{1}{3} & \frac{1}{6} \\ 2 & 1 & \frac{1}{2} \end{array} \right) \\
\overset{R_2 - 2R_1 \to R_2}{\sim}
\left( \begin{array}{cc|c} 1 & -\frac{1}{3} & \frac{1}{6} \\ 0 & \frac{5}{3} & \frac{1}{6} \end{array} \right) \\
\overset{3R_2/5 \to R_2}{\sim}
\left( \begin{array}{cc|c} 1 & -\frac{1}{3} & \frac{1}{6} \\ 0 & 1 & \frac{1}{10}
\end{array} \right) \\
\overset{R_1 + R_2/3 \to R_1}{\sim}
\left( \begin{array}{cc|c} 1 & 0 & \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & \frac{1}{10}
\end{array} \right) ( 3 2 − 1 1 2 1 2 1 ) ∼ R 1 /3 → R 1 ( 1 2 − 3 1 1 6 1 2 1 ) ∼ R 2 − 2 R 1 → R 2 ( 1 0 − 3 1 3 5 6 1 6 1 ) ∼ 3 R 2 /5 → R 2 ( 1 0 − 3 1 1 6 1 10 1 ) ∼ R 1 + R 2 /3 → R 1 ( 1 0 0 1 5 1 10 1 ) PS: Du kan bruke desimaltall, men sørg for å unngå avrundingsfeil underveis.
Dermed har vi og . Sjekker:
x ⃗ 0 = 0.2 ( 3 2 ) + 0.1 ( − 1 1 ) = ( 0.2 ⋅ 3 + 0.1 ⋅ ( − 1 ) 0.2 ⋅ 2 + 0.1 ⋅ 1 ) = ( 0.5 0.5 ) \vec{x}_0 = 0.2 \left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}\right)
+0.1 \left( \!\!\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \!\!\right)
= \left(\!\! \begin{array}{c} 0.2 \cdot 3 + 0.1 \cdot (-1) \\ 0.2 \cdot 2 + 0.1 \cdot 1 \end{array} \!\! \right) =
\left(\begin{array}{c} 0.5 \\ 0.5 \end{array}\right) x 0 = 0.2 ( 3 2 ) + 0.1 ( − 1 1 ) = ( 0.2 ⋅ 3 + 0.1 ⋅ ( − 1 ) 0.2 ⋅ 2 + 0.1 ⋅ 1 ) = ( 0.5 0.5 ) Nå kan vi sette og inn i den generelle løsningen:
x ⃗ k = c 1 ( 3 2 ) + c 2 ⋅ 0. 5 k ( − 1 1 ) ⇒ x ⃗ k = 0.2 ( 3 2 ) + 0.1 ⋅ 0. 5 k ( − 1 1 ) \begin{aligned}
& \vec{x}_k = c_1 \left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}\right)
+ c_2 \cdot 0.5^k \left( \!\!\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \!\!\right) \\
\Rightarrow \quad & \vec{x}_k = 0.2 \left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}\right)
+ 0.1 \cdot 0.5^k \left( \!\!\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \!\!\right)
\end{aligned} ⇒ x k = c 1 ( 3 2 ) + c 2 ⋅ 0. 5 k ( − 1 1 ) x k = 0.2 ( 3 2 ) + 0.1 ⋅ 0. 5 k ( − 1 1 ) Endelig kan vi sette for å finne :
x ⃗ 5 = 0.2 ( 3 2 ) + 0.1 ⋅ 0. 5 5 ( − 1 1 ) ⇒ x ⃗ 5 = ( 0.2 ⋅ 3 + 0.1 ⋅ 0. 5 5 ⋅ ( − 1 ) 0.2 ⋅ 2 + 0.1 ⋅ 0. 5 5 ⋅ 1 ) ⇒ x ⃗ 5 = ( 0.596875 0.403125 ) \begin{aligned}
\vec{x}_5 & = 0.2 \left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}\right)
+ 0.1 \cdot 0.5^5 \left( \!\!\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \!\!\right) \\
\Rightarrow \quad \vec{x}_5
& = \left(\begin{array}{c} 0.2 \cdot 3 + 0.1 \cdot 0.5^5 \cdot (-1) \\ 0.2 \cdot 2 + 0.1 \cdot 0.5^5 \cdot 1 \end{array}\right) \\
\Rightarrow \quad \vec{x}_5
& = \left(\begin{array}{c} 0.596875 \\ 0.403125 \end{array}\right)
\end{aligned} x 5 ⇒ x 5 ⇒ x 5 = 0.2 ( 3 2 ) + 0.1 ⋅ 0. 5 5 ( − 1 1 ) = ( 0.2 ⋅ 3 + 0.1 ⋅ 0. 5 5 ⋅ ( − 1 ) 0.2 ⋅ 2 + 0.1 ⋅ 0. 5 5 ⋅ 1 ) = ( 0.596875 0.403125 ) Og la for å finne likevektstilstanden :
v ⃗ = lim k → ∞ x ⃗ k ⇒ v ⃗ = lim k → ∞ ( 0.2 ( 3 2 ) + 0.1 ⋅ 0. 5 k ( − 1 1 ) ) ⇒ v ⃗ = 0.2 ( 3 2 ) ⇒ v ⃗ = ( 0.6 0.4 ) \begin{aligned}
\vec{v} & = \lim_{k \to \infty} \vec{x}_k \\
\Rightarrow \quad \vec{v} & = \lim_{k \to \infty} \Bigg( 0.2 \left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}\right)
+ 0.1 \cdot 0.5^k \left( \!\!\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \!\!\right) \Bigg) \\
\Rightarrow \quad \vec{v}
& = 0.2 \left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}\right) \\
\Rightarrow \quad \vec{v}
& = \left(\begin{array}{c} 0.6 \\ 0.4 \end{array}\right)
\end{aligned} v ⇒ v ⇒ v ⇒ v = k → ∞ lim x k = k → ∞ lim ( 0.2 ( 3 2 ) + 0.1 ⋅ 0. 5 k ( − 1 1 ) ) = 0.2 ( 3 2 ) = ( 0.6 0.4 ) PS: Sjekk at summen av kolonnene i og blir 1. Hvis ikke, er noe gått galt underveis.
Oppgave 11 :
Finn den generelle løsningen til Markov-kjeden med overgangsmatrise:
A = ( 0.8 0.2 0.2 0.8 ) A = \left( \begin{array}{cc} 0.8 & 0.2 \\ 0.2 & 0.8 \end{array} \right) A = ( 0.8 0.2 0.2 0.8 )
Fasit: Den generelle løsningen til Markov-kjeden:
x ⃗ k = c 1 ( 1 1 ) + c 2 ⋅ 0. 6 k ( 1 − 1 ) \vec{x}_k = c_1 \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}\right)
+ c_2 \cdot 0.6^k \left( \!\!\begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \!\!\right) x k = c 1 ( 1 1 ) + c 2 ⋅ 0. 6 k ( 1 − 1 ) Vær oppmerksom på at løsningen kan skrives på flere måter. Hvis du har fått noe annet, kan det tenkes du har valgt en annen i utregningen av egenvektorene.
Hint 1: Den generelle løsningen til en Markov-kjede er:
x ⃗ k = c 1 λ 1 k v ⃗ 1 + c 2 λ 2 k v ⃗ 2 + ⋯ + c n λ n k v ⃗ n \vec{x}_k = c_1 \lambda_1^k \vec{v}_1 + c_2 \lambda_2^k \vec{v}_2 + \cdots + c_n \lambda_n^k \vec{v}_n x k = c 1 λ 1 k v 1 + c 2 λ 2 k v 2 + ⋯ + c n λ n k v n der er egenverdien med tilhørende egenvektor .
Hint 2: For å finne den generelle løsningen, må du finne egenverdiene og egenvektorene til .
Løsning:
+ Steg 1: Sjekk overgangsmatrisen
Sjekk at alle elementene i overgangsmatrisen er ikke-negative og kolonnesummene er lik 1:
Alle elementer i A ≥ 0 ok Kolonne 1: 0.8 + 0.2 = 1 ok Kolonne 2: 0.2 + 0.8 = 1 ok \begin{aligned}
& \textnormal{Alle elementer i A} \ge 0 \textnormal{ ok} \\
& \textnormal{Kolonne 1:} \quad 0.8 + 0.2 = 1 \textnormal{ ok} \\
& \textnormal{Kolonne 2:} \quad 0.2 + 0.8 = 1 \textnormal{ ok}
\end{aligned} Alle elementer i A ≥ 0 ok Kolonne 1: 0.8 + 0.2 = 1 ok Kolonne 2: 0.2 + 0.8 = 1 ok ok
+ Steg 2: Finn egenverdiene
Finner egenverdiene ved å løse den karakteristiske ligningen:
det ( A − λ I ) = 0 ⇒ ∣ 0.8 − λ 0.2 0.2 0.8 − λ ∣ = 0 ⇒ ( 0.8 − λ ) ( 0.8 − λ ) − 0.2 ⋅ 0.2 = 0 ⇒ ( 0.8 ⋅ 0.8 − 0.8 λ − 0.8 λ + λ 2 ) − 0.04 = 0 ⇒ λ 2 − 1.6 λ + 0.6 = 0 \begin{aligned}
& \det(A - \lambda I) = 0 \\
\Rightarrow \qquad
& \left| \begin{array}{ccc} 0.8 - \lambda & 0.2 \\ 0.2 & 0.8-\lambda \end{array} \right| = 0 \\
\Rightarrow \qquad
& (0.8 - \lambda)(0.8 - \lambda) - 0.2 \cdot 0.2 = 0 \\
\Rightarrow \qquad
& (0.8 \cdot 0.8 - 0.8\lambda - 0.8\lambda + \lambda^2) - 0.04 = 0 \\
\Rightarrow \qquad
& \lambda^2 - 1.6 \lambda + 0.6 = 0
\end{aligned} ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ det ( A − λ I ) = 0 ∣ ∣ 0.8 − λ 0.2 0.2 0.8 − λ ∣ ∣ = 0 ( 0.8 − λ ) ( 0.8 − λ ) − 0.2 ⋅ 0.2 = 0 ( 0.8 ⋅ 0.8 − 0.8 λ − 0.8 λ + λ 2 ) − 0.04 = 0 λ 2 − 1.6 λ + 0.6 = 0 Bruker andregradsformelen :
λ = − ( − 1.6 ) ± ( − 1.6 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 0.6 2 ⋅ 1 ⇒ λ = 1.6 ± 0.16 2 ⇒ λ = 1.6 ± 0.4 2 ⇒ λ 1 = 1.6 + 0.4 2 = 1 og λ 2 = 1.6 − 0.4 2 = 0.6 \begin{aligned}
& \lambda = \frac{-(-1.6) \pm \sqrt{(-1.6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0.6}}{2 \cdot 1} \\
\Rightarrow \qquad &
\lambda = \frac{1.6 \pm \sqrt{0.16}}{2} \\
\Rightarrow \qquad &
\lambda = \frac{1.6 \pm 0.4}{2} \\
\Rightarrow \qquad &
\lambda_1 = \frac{1.6 + 0.4}{2} = 1 \quad \textnormal{ og } \quad
\lambda_2 = \frac{1.6 - 0.4}{2} = 0.6
\end{aligned} ⇒ ⇒ ⇒ λ = 2 ⋅ 1 − ( − 1.6 ) ± ( − 1.6 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 0.6 λ = 2 1.6 ± 0.16 λ = 2 1.6 ± 0.4 λ 1 = 2 1.6 + 0.4 = 1 og λ 2 = 2 1.6 − 0.4 = 0.6 Sjekker at summen av hoveddiagonalen i er lik summen av egenverdier:
Summen av hoveddiagonalen i A : 0.8 + 0.8 = 1.6 Summen av egenverdier for A : λ 1 + λ 2 = 1 + 0.6 = 1.6 \begin{aligned}
& \textnormal{Summen av hoveddiagonalen i } A: \quad && 0.8 + 0.8 = 1.6 \\
& \textnormal{Summen av egenverdier for } A: &&\lambda_1 + \lambda_2 = 1 + 0.6 = 1.6
\end{aligned} Summen av hoveddiagonalen i A : Summen av egenverdier for A : 0.8 + 0.8 = 1.6 λ 1 + λ 2 = 1 + 0.6 = 1.6 ok
+ Steg 3a: Finn egenvektoren til
Løser ved å bruke radoperasjoner på den utvidete matrisen til :
( 0.8 − λ 1 0.2 0 0.2 0.8 − λ 1 0 ) = ( − 0.2 0.2 0 0.2 − 0.2 0 ) ∼ R 2 + R 1 → R 2 ( − 0.2 0.2 0 0 0 0 ) ∼ − 5 R 1 → R 1 ( 1 − 1 0 0 0 0 ) \left( \begin{array}{cc|c} 0.8 - \lambda_1 & 0.2 & 0 \\ 0.2 & 0.8-\lambda_1 & 0 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{cc|c} -0.2 & 0.2 & 0 \\ 0.2 & -0.2 & 0 \end{array} \right) \\
\overset{R_2 +R_1 \to R_2}{\sim}
\left( \begin{array}{cc|c} -0.2 & 0.2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)
\overset{-5R_1 \to R_1}{\sim}
\left( \begin{array}{cc|c} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)
( 0.8 − λ 1 0.2 0.2 0.8 − λ 1 0 0 ) = ( − 0.2 0.2 0.2 − 0.2 0 0 ) ∼ R 2 + R 1 → R 2 ( − 0.2 0 0.2 0 0 0 ) ∼ − 5 R 1 → R 1 ( 1 0 − 1 0 0 0 ) Siden andre kolonne mangler ledende ener, lar vi være en fri variabel. Første rad gir :
v ⃗ 1 = ( v 1 v 2 ) = ( 1 1 ) t = velger t = 1 ( 1 1 ) \vec{v}_1 = \left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \end{array} \right) =
\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right) t
\overset{\textnormal{velger } t = 1}{=}
\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right) v 1 = ( v 1 v 2 ) = ( 1 1 ) t = velger t = 1 ( 1 1 ) Sjekker om ved hjelp av matrisemultiplikasjon :
A v ⃗ 1 = ( 0.8 0.2 0.2 0.8 ) ( 1 1 ) = ( 0.8 ⋅ 1 + 0.2 ⋅ 1 0.2 ⋅ 1 + 0.8 ⋅ 1 ) = ( 1 1 ) λ 1 v ⃗ 1 = 1 ⋅ ( 1 1 ) = ( 1 1 ) \begin{aligned}
& A\vec{v}_1 = \left( \begin{array}{cc} 0.8 & 0.2 \\ 0.2 & 0.8 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} 0.8 \cdot 1 + 0.2 \cdot 1 \\ 0.2 \cdot 1 + 0.8 \cdot 1 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right) \\
& \lambda_1 \vec{v}_1
= 1 \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)
\end{aligned} A v 1 = ( 0.8 0.2 0.2 0.8 ) ( 1 1 ) = ( 0.8 ⋅ 1 + 0.2 ⋅ 1 0.2 ⋅ 1 + 0.8 ⋅ 1 ) = ( 1 1 ) λ 1 v 1 = 1 ⋅ ( 1 1 ) = ( 1 1 ) ok.
+ Steg 3b: Finn egenvektoren til
Løser ved å bruke radoperasjoner på den utvidete matrisen til :
( 0.8 − λ 2 0.2 0 0.2 0.8 − λ 2 0 ) = ( 0.2 0.2 0 0.2 0.2 0 ) ∼ R 1 / 0.2 → R 1 ( 1 1 0 0.2 0.2 0 ) ∼ R 2 − 0.2 R 1 → R 2 ( 1 1 0 0 0 0 ) \left( \begin{array}{cc|c} 0.8 - \lambda_2 & 0.2 & 0 \\ 0.2 & 0.8-\lambda_2 & 0 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{cc|c} 0.2 & 0.2 & 0 \\ 0.2 & 0.2 & 0 \end{array} \right) \\
\overset{R_1/0.2 \to R_1}{\sim}
\left( \begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 0 \\ 0.2 & 0.2 & 0 \end{array} \right)
\overset{R_2 - 0.2R_1 \to R_2}{\sim}
\left( \begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)
( 0.8 − λ 2 0.2 0.2 0.8 − λ 2 0 0 ) = ( 0.2 0.2 0.2 0.2 0 0 ) ∼ R 1 /0.2 → R 1 ( 1 0.2 1 0.2 0 0 ) ∼ R 2 − 0.2 R 1 → R 2 ( 1 0 1 0 0 0 ) Siden andre kolonne mangler ledende ener, lar vi være en fri variabel. Første rad gir :
v ⃗ 1 = ( v 1 v 2 ) = ( − 1 1 ) t = velger t = − 1 ( 1 − 1 ) \vec{v}_1 = \left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \end{array} \right) =
\left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \right) t
\overset{\textnormal{velger } t = -1}{=}
\left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \right) v 1 = ( v 1 v 2 ) = ( − 1 1 ) t = velger t = − 1 ( 1 − 1 ) Sjekker om ved hjelp av matrisemultiplikasjon :
A v ⃗ 1 = ( 0.8 0.2 0.2 0.8 ) ( 1 − 1 ) = ( 0.8 ⋅ 1 + 0.2 ⋅ ( − 1 ) 0.2 ⋅ 1 + 0.8 ⋅ ( − 1 ) ) = ( 0.6 − 0.6 ) λ 1 v ⃗ 1 = 0.6 ⋅ ( 1 − 1 ) = ( 0.6 − 0.6 ) \begin{aligned}
& A\vec{v}_1 = \left( \begin{array}{cc} 0.8 & 0.2 \\ 0.2 & 0.8 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} 0.8 \cdot 1 + 0.2 \cdot (-1) \\ 0.2 \cdot 1 + 0.8 \cdot (-1) \end{array} \right)
= \left( \!\!\! \begin{array}{c} 0.6 \\ -0.6 \end{array} \!\!\!\right) \\
& \lambda_1 \vec{v}_1
= 0.6 \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1\end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} 0.6 \\ -0.6 \end{array} \right)
\end{aligned} A v 1 = ( 0.8 0.2 0.2 0.8 ) ( 1 − 1 ) = ( 0.8 ⋅ 1 + 0.2 ⋅ ( − 1 ) 0.2 ⋅ 1 + 0.8 ⋅ ( − 1 ) ) = ( 0.6 − 0.6 ) λ 1 v 1 = 0.6 ⋅ ( 1 − 1 ) = ( 0.6 − 0.6 ) ok.
+ Steg 4: Finn generell løsning
Den generelle løsningen når er en matrise:
x ⃗ k = c 1 λ 1 k v ⃗ 1 + c 2 λ 2 k v ⃗ 2 \vec{x}_k = c_1 \lambda_1^k \vec{v}_1 + c_2 \lambda_2^k \vec{v}_2 x k = c 1 λ 1 k v 1 + c 2 λ 2 k v 2 Setter inn egenverdier og egenvektorene:
x ⃗ k = c 1 ⋅ 1 k ( 1 1 ) + c 2 ⋅ 0. 6 k ( 1 − 1 ) ⇒ x ⃗ k = c 1 ( 1 1 ) + c 2 ⋅ 0. 6 k ( 1 − 1 ) \vec{x}_k = c_1 \cdot 1^k \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}\right)
+ c_2 \cdot 0.6^k \left( \!\!\begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \!\!\right) \\
\Rightarrow \qquad \vec{x}_k = c_1 \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}\right)
+ c_2 \cdot 0.6^k \left( \!\!\begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \!\!\right) x k = c 1 ⋅ 1 k ( 1 1 ) + c 2 ⋅ 0. 6 k ( 1 − 1 ) ⇒ x k = c 1 ( 1 1 ) + c 2 ⋅ 0. 6 k ( 1 − 1 )
Oppgave 12 :
Finn og likevektstilstanden til en Markov-kjeden når du vet starttilstanden, egenverdier og egenvektorer:
x ⃗ 0 = ( 1 0 ) , λ 1 = 1 og v ⃗ 1 = ( 1 1 ) , λ 2 = 0.6 og v ⃗ 2 = ( 1 − 1 ) \vec{x}_0 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right), \\
\lambda_1 = 1 \textnormal{ og }
\vec{v}_1 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right), \\
\lambda_2 = 0.6 \textnormal{ og }
\vec{v}_2 = \left( \!\! \begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \!\! \right) x 0 = ( 1 0 ) , λ 1 = 1 og v 1 = ( 1 1 ) , λ 2 = 0.6 og v 2 = ( 1 − 1 )
Fasit: og likevektstilstanden er:
x ⃗ 5 = ( 0.596875 0.403125 ) og v ⃗ = ( 0.6 0.4 ) \vec{x}_5 = \left(\begin{array}{c} 0.596875 \\ 0.403125 \end{array}\right)
\textnormal{ og } \;
\vec{v} = \left(\begin{array}{c} 0.6 \\ 0.4 \end{array}\right) x 5 = ( 0.596875 0.403125 ) og v = ( 0.6 0.4 )
Hint 1: Den generelle løsningen til en Markov-kjede er:
x ⃗ k = c 1 λ 1 k v ⃗ 1 + c 2 λ 2 k v ⃗ 2 + ⋯ + c n λ n k v ⃗ n \vec{x}_k = c_1 \lambda_1^k \vec{v}_1 + c_2 \lambda_2^k \vec{v}_2 + \cdots + c_n \lambda_n^k \vec{v}_n x k = c 1 λ 1 k v 1 + c 2 λ 2 k v 2 + ⋯ + c n λ n k v n der er egenverdien med tilhørende egenvektor . Koeffisientene kan du bestemme ut fra startbetingelsen.
Hint 2: For å bestemme må du sette i den generelle løsningen . Og for å finne likevektstilstanden må du la gå mot uendelig.
Løsning: Setter egenverdiene og egenvektorene inn i den generelle løsningen :
x ⃗ k = c 1 ⋅ 1 k ( 1 1 ) + c 2 ⋅ 0. 6 k ( 1 − 1 ) ⇒ x ⃗ k = c 1 ( 1 1 ) + c 2 ⋅ 0. 6 k ( 1 − 1 ) \vec{x}_k = c_1 \cdot 1^k \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}\right)
+ c_2 \cdot 0.6^k \left( \!\!\begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \!\!\right) \\
\Rightarrow \qquad
\vec{x}_k = c_1 \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}\right)
+ c_2 \cdot 0.6^k \left( \!\!\begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \!\!\right) x k = c 1 ⋅ 1 k ( 1 1 ) + c 2 ⋅ 0. 6 k ( 1 − 1 ) ⇒ x k = c 1 ( 1 1 ) + c 2 ⋅ 0. 6 k ( 1 − 1 ) Bruker starttilstanden for å finne koeffisientene og :
x ⃗ 0 = c 1 ( 1 1 ) + c 2 ⋅ 0. 6 0 ( 1 − 1 ) = ( 1 0 ) ⇒ ( 1 1 1 − 1 ) ( c 1 c 2 ) = ( 1 0 ) \vec{x}_0 = c_1 \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}\right)
+ c_2 \cdot 0.6^0 \left( \!\!\begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \!\!\right)
= \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}\right) \\
\Rightarrow \qquad
\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right)
\left( \!\!\begin{array}{c} c_1 \\ c_2 \end{array} \!\!\right)
= \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}\right) \\ x 0 = c 1 ( 1 1 ) + c 2 ⋅ 0. 6 0 ( 1 − 1 ) = ( 1 0 ) ⇒ ( 1 1 1 − 1 ) ( c 1 c 2 ) = ( 1 0 ) Løser ved å bruke radoperasjoner på den utvidete matrisen :
( 1 1 1 1 − 1 0 ) ∼ R 2 − R 1 → R 2 ( 1 1 1 0 − 2 − 1 ) ∼ − R 2 / 2 → R 2 ( 1 1 1 0 1 1 2 ) ∼ R 1 − R 2 → R 1 ( 1 0 1 2 0 1 1 2 ) \left( \begin{array}{cc|c} 1 & 1 &1 \\ 1 & -1 & 0 \end{array} \right)
\overset{R_2 - R_1 \to R_2}{\sim}
\left( \begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & -1 \end{array} \right) \\
\overset{-R_2/2 \to R_2}{\sim}
\left( \begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1& \frac{1}{2} \end{array} \right) \\
\overset{R_1 - R_2 \to R_1}{\sim}
\left( \begin{array}{cc|c} 1 & 0& \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & \frac{1}{2}
\end{array} \right) ( 1 1 1 − 1 1 0 ) ∼ R 2 − R 1 → R 2 ( 1 0 1 − 2 1 − 1 ) ∼ − R 2 /2 → R 2 ( 1 0 1 1 1 2 1 ) ∼ R 1 − R 2 → R 1 ( 1 0 0 1 2 1 2 1 ) PS: Du kan bruke desimaltall, men sørg for å unngå avrundingsfeil underveis.
Dermed har vi og . Sjekker:
x ⃗ 0 = 0.5 ( 1 1 ) + 0.5 ( 1 − 1 ) = ( 0.5 ⋅ 1 + 0.5 ⋅ 1 0.5 ⋅ 1 + 0.5 ⋅ ( − 1 ) ) = ( 1 0 ) \vec{x}_0 = 0.5 \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}\right)
+0.5 \left( \!\!\begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \!\!\right)
= \left(\!\! \begin{array}{c} 0.5 \cdot 1 + 0.5 \cdot 1 \\ 0.5 \cdot 1 + 0.5 \cdot (-1) \end{array} \!\! \right) =
\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}\right) x 0 = 0.5 ( 1 1 ) + 0.5 ( 1 − 1 ) = ( 0.5 ⋅ 1 + 0.5 ⋅ 1 0.5 ⋅ 1 + 0.5 ⋅ ( − 1 ) ) = ( 1 0 ) ok
Nå kan vi sette og inn i den generelle løsningen:
x ⃗ k = 0.5 ( 1 1 ) + 0.5 ⋅ 0. 6 k ( 1 − 1 ) \vec{x}_k = 0.5 \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}\right)
+ 0.5 \cdot 0.6^k \left( \!\!\begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \!\!\right) x k = 0.5 ( 1 1 ) + 0.5 ⋅ 0. 6 k ( 1 − 1 ) Endelig kan vi sette for å finne :
x ⃗ 5 = 0.5 ( 1 1 ) + 0.5 ⋅ 0. 6 10 ( 1 − 1 ) ⇒ x ⃗ 5 = ( 0.5 ⋅ 1 + 0.5 ⋅ 0. 6 10 ⋅ 1 0.5 ⋅ 1 + 0.5 ⋅ 0. 6 10 ⋅ ( − 1 ) ) ⇒ x ⃗ 5 = ( 0.5030233088 ⋯ 0.4969766912 ⋯ ) \begin{aligned}
\vec{x}_5 & = 0.5 \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}\right)
+ 0.5 \cdot 0.6^{10} \left( \!\!\begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \!\!\right) \\
\Rightarrow \quad \vec{x}_5
& = \left(\begin{array}{c} 0.5 \cdot 1 + 0.5 \cdot 0.6^{10} \cdot 1 \\ 0.5 \cdot 1 + 0.5 \cdot 0.6^{10} \cdot (-1) \end{array}\right) \\
\Rightarrow \quad \vec{x}_5
& = \left(\begin{array}{c} 0. 5030233088 \cdots \\ 0.4969766912 \cdots \end{array}\right)
\end{aligned} x 5 ⇒ x 5 ⇒ x 5 = 0.5 ( 1 1 ) + 0.5 ⋅ 0. 6 10 ( 1 − 1 ) = ( 0.5 ⋅ 1 + 0.5 ⋅ 0. 6 10 ⋅ 1 0.5 ⋅ 1 + 0.5 ⋅ 0. 6 10 ⋅ ( − 1 ) ) = ( 0.5030233088 ⋯ 0.4969766912 ⋯ ) Og la for å finne likevektstilstanden :
v ⃗ = lim k → ∞ x ⃗ k ⇒ v ⃗ = lim k → ∞ ( 0.5 ( 1 1 ) + 0.5 ⋅ 0. 6 k ( 1 − 1 ) ) ⇒ v ⃗ = 0.5 ( 1 1 ) ⇒ v ⃗ = ( 0.5 0.5 ) \begin{aligned}
\vec{v} & = \lim_{k \to \infty} \vec{x}_k \\
\Rightarrow \quad \vec{v} & = \lim_{k \to \infty} \Bigg( 0.5 \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}\right)
+ 0.5 \cdot 0.6^k \left( \!\!\begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \!\!\right) \Bigg) \\
\Rightarrow \quad \vec{v}
& = 0.5 \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}\right) \\
\Rightarrow \quad \vec{v}
& = \left(\begin{array}{c} 0.5 \\ 0.5 \end{array}\right)
\end{aligned} v ⇒ v ⇒ v ⇒ v = k → ∞ lim x k = k → ∞ lim ( 0.5 ( 1 1 ) + 0.5 ⋅ 0. 6 k ( 1 − 1 ) ) = 0.5 ( 1 1 ) = ( 0.5 0.5 ) PS: Sjekk at summen av kolonnene i og blir 1. Hvis ikke, er noe gått galt underveis.
Oppgave 13 :
Finn den generelle løsningen til Markov-kjeden med overgangsmatrise:
A = ( 0.5 0.4 0.5 0.6 ) A = \left( \begin{array}{cc} 0.5 & 0.4 \\ 0.5 & 0.6 \end{array} \right) A = ( 0.5 0.5 0.4 0.6 )
Fasit: Den generelle løsningen til Markov-kjeden:
x ⃗ k = c 1 ( 4 5 ) + c 2 ⋅ 0. 1 k ( − 1 1 ) \vec{x}_k = c_1 \left(\begin{array}{c} 4 \\ 5 \end{array}\right)
+ c_2 \cdot 0.1^k \left( \!\!\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \!\!\right) x k = c 1 ( 4 5 ) + c 2 ⋅ 0. 1 k ( − 1 1 ) Vær oppmerksom på at løsningen kan skrives på flere måter. Hvis du har fått noe annet, kan det tenkes du har valgt en annen i utregningen av egenvektorene.
Hint 1: Den generelle løsningen til en Markov-kjede er:
x ⃗ k = c 1 λ 1 k v ⃗ 1 + c 2 λ 2 k v ⃗ 2 + ⋯ + c n λ n k v ⃗ n \vec{x}_k = c_1 \lambda_1^k \vec{v}_1 + c_2 \lambda_2^k \vec{v}_2 + \cdots + c_n \lambda_n^k \vec{v}_n x k = c 1 λ 1 k v 1 + c 2 λ 2 k v 2 + ⋯ + c n λ n k v n der er egenverdien med tilhørende egenvektor .
Hint 2: For å finne den generelle løsningen, må du finne egenverdiene og egenvektorene til .
Løsning:
+ Steg 1: Sjekk overgangsmatrisen
Sjekk at alle elementene i overgangsmatrisen er ikke-negative og kolonnesummene er lik 1:
Alle elementer i A ≥ 0 ok Kolonne 1: 0.5 + 0.5 = 1 ok Kolonne 2: 0.4 + 0.6 = 1 ok \begin{aligned}
& \textnormal{Alle elementer i A} \ge 0 \textnormal{ ok} \\
& \textnormal{Kolonne 1:} \quad 0.5 + 0.5 = 1 \textnormal{ ok} \\
& \textnormal{Kolonne 2:} \quad 0.4 + 0.6 = 1 \textnormal{ ok}
\end{aligned} Alle elementer i A ≥ 0 ok Kolonne 1: 0.5 + 0.5 = 1 ok Kolonne 2: 0.4 + 0.6 = 1 ok ok
+ Steg 2: Finn egenverdiene
Finner egenverdiene ved å løse den karakteristiske ligningen:
det ( A − λ I ) = 0 ⇒ ∣ 0.5 − λ 0.4 0.5 0.6 − λ ∣ = 0 ⇒ ( 0.5 − λ ) ( 0.6 − λ ) − 0.4 ⋅ 0.5 = 0 ⇒ ( 0.5 ⋅ 0.6 − 0.5 λ − 0.6 λ + λ 2 ) − 0.2 = 0 ⇒ λ 2 − 1.1 λ + 0.1 = 0 \begin{aligned}
& \det(A - \lambda I) = 0 \\
\Rightarrow \qquad
& \left| \begin{array}{ccc} 0.5 - \lambda & 0.4 \\ 0.5 & 0.6-\lambda \end{array} \right| = 0 \\
\Rightarrow \qquad
& (0.5 - \lambda)(0.6 - \lambda) - 0.4 \cdot 0.5 = 0 \\
\Rightarrow \qquad
& (0.5 \cdot 0.6 - 0.5\lambda - 0.6\lambda + \lambda^2) - 0.2 = 0 \\
\Rightarrow \qquad
& \lambda^2 - 1.1 \lambda + 0.1 = 0
\end{aligned} ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ det ( A − λ I ) = 0 ∣ ∣ 0.5 − λ 0.5 0.4 0.6 − λ ∣ ∣ = 0 ( 0.5 − λ ) ( 0.6 − λ ) − 0.4 ⋅ 0.5 = 0 ( 0.5 ⋅ 0.6 − 0.5 λ − 0.6 λ + λ 2 ) − 0.2 = 0 λ 2 − 1.1 λ + 0.1 = 0 Bruker andregradsformelen :
λ = − ( − 1.1 ) ± ( − 1.1 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 0.1 2 ⋅ 1 ⇒ λ = 1.1 ± 0.81 2 ⇒ λ = 1.1 ± 0.9 2 ⇒ λ 1 = 1.1 + 0.9 2 = 1 og λ 2 = 1.1 − 0.9 2 = 0.1 \begin{aligned}
& \lambda = \frac{-(-1.1) \pm \sqrt{(-1.1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0.1}}{2 \cdot 1} \\
\Rightarrow \qquad &
\lambda = \frac{1.1 \pm \sqrt{0.81}}{2} \\
\Rightarrow \qquad &
\lambda = \frac{1.1 \pm 0.9}{2} \\
\Rightarrow \qquad &
\lambda_1 = \frac{1.1 + 0.9}{2} = 1 \quad \textnormal{ og } \quad
\lambda_2 = \frac{1.1 - 0.9}{2} = 0.1
\end{aligned} ⇒ ⇒ ⇒ λ = 2 ⋅ 1 − ( − 1.1 ) ± ( − 1.1 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 0.1 λ = 2 1.1 ± 0.81 λ = 2 1.1 ± 0.9 λ 1 = 2 1.1 + 0.9 = 1 og λ 2 = 2 1.1 − 0.9 = 0.1 Sjekker at summen av hoveddiagonalen i er lik summen av egenverdier:
Summen av hoveddiagonalen i A : 0.5 + 0.6 = 1.1 Summen av egenverdier for A : λ 1 + λ 2 = 1 + 0.1 = 1.1 \begin{aligned}
& \textnormal{Summen av hoveddiagonalen i } A: \quad && 0.5 + 0.6 = 1.1 \\
& \textnormal{Summen av egenverdier for } A: &&\lambda_1 + \lambda_2 = 1 + 0.1 = 1.1
\end{aligned} Summen av hoveddiagonalen i A : Summen av egenverdier for A : 0.5 + 0.6 = 1.1 λ 1 + λ 2 = 1 + 0.1 = 1.1 ok
+ Steg 3a: Finn egenvektoren til
Løser ved å bruke radoperasjoner på den utvidete matrisen til :
( 0.5 − λ 1 0.4 0 0.5 0.6 − λ 1 0 ) = ( − 0.5 0.4 0 0.5 − 0.4 0 ) ∼ R 2 + R 1 → R 2 ( − 0.5 0.4 0 0 0 0 ) ∼ − 2 R 1 → R 1 ( 1 − 0.8 0 0 0 0 ) \left( \begin{array}{cc|c} 0.5 - \lambda_1 & 0.4 & 0 \\ 0.5 & 0.6-\lambda_1 & 0 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{cc|c} -0.5 & 0.4 & 0 \\ 0.5 & -0.4 & 0 \end{array} \right) \\
\overset{R_2 + R_1 \to R_2}{\sim}
\left( \begin{array}{cc|c} -0.5 & 0.4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)
\overset{-2R_1 \to R_1}{\sim}
\left( \begin{array}{cc|c} 1 & -0.8 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)
( 0.5 − λ 1 0.5 0.4 0.6 − λ 1 0 0 ) = ( − 0.5 0.5 0.4 − 0.4 0 0 ) ∼ R 2 + R 1 → R 2 ( − 0.5 0 0.4 0 0 0 ) ∼ − 2 R 1 → R 1 ( 1 0 − 0.8 0 0 0 ) Siden andre kolonne mangler ledende ener, lar vi være en fri variabel. Første rad gir :
v ⃗ 1 = ( v 1 v 2 ) = ( 0.8 1 ) t = velger t = 5 ( 4 5 ) \vec{v}_1 = \left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \end{array} \right) =
\left( \begin{array}{c} 0.8 \\ 1 \end{array} \right) t
\overset{\textnormal{velger } t = 5}{=}
\left( \begin{array}{c} 4 \\ 5 \end{array} \right) v 1 = ( v 1 v 2 ) = ( 0.8 1 ) t = velger t = 5 ( 4 5 ) Sjekker om ved hjelp av matrisemultiplikasjon :
A v ⃗ 1 = ( 0.5 0.4 0.5 0.6 ) ( 4 5 ) = ( 0.5 ⋅ 4 + 0.4 ⋅ 5 0.5 ⋅ 4 + 0.6 ⋅ 5 ) = ( 4 5 ) λ 1 v ⃗ 1 = 1 ⋅ ( 4 5 ) = ( 4 5 ) \begin{aligned}
& A\vec{v}_1 = \left( \begin{array}{cc} 0.5 & 0.4 \\ 0.5 & 0.6 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 4 \\ 5 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} 0.5 \cdot 4 + 0.4 \cdot 5 \\ 0.5 \cdot 4 + 0.6 \cdot 5 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} 4 \\ 5 \end{array} \right) \\
& \lambda_1 \vec{v}_1
= 1 \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 5 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} 4 \\ 5 \end{array} \right)
\end{aligned} A v 1 = ( 0.5 0.5 0.4 0.6 ) ( 4 5 ) = ( 0.5 ⋅ 4 + 0.4 ⋅ 5 0.5 ⋅ 4 + 0.6 ⋅ 5 ) = ( 4 5 ) λ 1 v 1 = 1 ⋅ ( 4 5 ) = ( 4 5 ) ok.
+ Steg 3b: Finn egenvektoren til
Løser ved å bruke radoperasjoner på den utvidete matrisen til :
( 0.5 − λ 2 0.4 0 0.5 0.6 − λ 2 0 ) = ( 0.4 0.4 0 0.5 0.5 0 ) ∼ R 1 / 0.4 → R 1 ( 1 1 0 0.5 0.5 0 ) ∼ R 2 − 0.5 R 1 → R 2 ( 1 1 0 0 0 0 ) \left( \begin{array}{cc|c} 0.5 - \lambda_2 & 0.4 & 0 \\ 0.5 & 0.6-\lambda_2 & 0 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{cc|c} 0.4 & 0.4 & 0 \\ 0.5 & 0.5 & 0 \end{array} \right) \\
\overset{R_1/0.4 \to R_1}{\sim}
\left( \begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 0 \\ 0.5 & 0.5 & 0 \end{array} \right)
\overset{R_2 - 0.5R_1 \to R_2}{\sim}
\left( \begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)
( 0.5 − λ 2 0.5 0.4 0.6 − λ 2 0 0 ) = ( 0.4 0.5 0.4 0.5 0 0 ) ∼ R 1 /0.4 → R 1 ( 1 0.5 1 0.5 0 0 ) ∼ R 2 − 0.5 R 1 → R 2 ( 1 0 1 0 0 0 ) Siden andre kolonne mangler ledende ener, lar vi være en fri variabel. Første rad gir :
v ⃗ 1 = ( v 1 v 2 ) = ( − 1 1 ) t = velger t = 1 ( − 1 1 ) \vec{v}_1 = \left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \end{array} \right) =
\left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \right) t
\overset{\textnormal{velger } t = 1}{=}
\left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \right) v 1 = ( v 1 v 2 ) = ( − 1 1 ) t = velger t = 1 ( − 1 1 ) Sjekker om ved hjelp av matrisemultiplikasjon :
A v ⃗ 1 = ( 0.5 0.4 0.5 0.6 ) ( − 1 1 ) = ( 0.5 ⋅ ( − 1 ) + 0.4 ⋅ 1 0.5 ⋅ ( − 1 ) + 0.6 ⋅ 1 ) = ( − 0.1 0.1 ) λ 1 v ⃗ 1 = 0.1 ⋅ ( − 1 1 ) = ( − 0.1 0.1 ) \begin{aligned}
& A\vec{v}_1 = \left( \begin{array}{cc} 0.5 & 0.4 \\ 0.5 & 0.6 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} 0.5 \cdot (-1) + 0.4 \cdot 1 \\ 0.5 \cdot (-1) + 0.6 \cdot 1 \end{array} \right)
= \left( \!\!\! \begin{array}{c} -0.1 \\ 0.1 \end{array} \!\!\!\right) \\
& \lambda_1 \vec{v}_1
= 0.1 \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 1\end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} -0.1 \\ 0.1 \end{array} \right)
\end{aligned} A v 1 = ( 0.5 0.5 0.4 0.6 ) ( − 1 1 ) = ( 0.5 ⋅ ( − 1 ) + 0.4 ⋅ 1 0.5 ⋅ ( − 1 ) + 0.6 ⋅ 1 ) = ( − 0.1 0.1 ) λ 1 v 1 = 0.1 ⋅ ( − 1 1 ) = ( − 0.1 0.1 ) ok.
+ Steg 4: Finn generell løsning
Den generelle løsningen når er en matrise:
x ⃗ k = c 1 λ 1 k v ⃗ 1 + c 2 λ 2 k v ⃗ 2 \vec{x}_k = c_1 \lambda_1^k \vec{v}_1 + c_2 \lambda_2^k \vec{v}_2 x k = c 1 λ 1 k v 1 + c 2 λ 2 k v 2 Setter inn egenverdier og egenvektorene:
x ⃗ k = c 1 ⋅ 1 k ( 4 5 ) + c 2 ⋅ 0. 1 k ( − 1 1 ) ⇒ x ⃗ k = c 1 ( 4 5 ) + c 2 ⋅ 0. 1 k ( − 1 1 ) \vec{x}_k = c_1 \cdot 1^k \left(\begin{array}{c} 4 \\ 5 \end{array}\right)
+ c_2 \cdot 0.1^k \left( \!\!\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \!\!\right) \\
\Rightarrow \qquad \vec{x}_k = c_1 \left(\begin{array}{c} 4 \\ 5 \end{array}\right)
+ c_2 \cdot 0.1^k \left( \!\!\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \!\!\right) x k = c 1 ⋅ 1 k ( 4 5 ) + c 2 ⋅ 0. 1 k ( − 1 1 ) ⇒ x k = c 1 ( 4 5 ) + c 2 ⋅ 0. 1 k ( − 1 1 )
Flere oppgaver kommer…
