Rekker: Geometriske rekker

Hvis $\textcolor{red}{r} \neq 1$, er delsummene (dvs. summen av de første $\textcolor{green}{N}$ leddene) gitt ved:

S_N = \sum_{n=1}^{\textcolor{green}{N}} \textcolor{blue}{a} \textcolor{red}{r} ^{n-1}  = \frac{\textcolor{blue}{a}(1-\textcolor{red}{r}^{\textcolor{green}{N}})}{1-\textcolor{red}{r}}

En gammel historie forteller at oppfinneren av sjakk ville ha betalt ett riskorn for første sjakkrutete, dobbelt så mange for andre sjakkrutete, dobbelt så mange for neste sjakkrutete og videre helt til han kom til 64 ruter. Kongen syntes det hørtes greit ut, inngikk avtalen og landet gikk konkurs.

Siden antall riskorn i en rute er et multiplum av antall riskorn i forrige rute, er rekken av riskornene i hver rute geometrisk.

Vi kan finne ut hvor mange riskorn oppfinneren ville ha betalt for de $N$ første rutene:

S_N = \sum_{n=1}^{\textcolor{green}{N}} \textcolor{blue}{a} \textcolor{red}{r} ^{n-1}  = \frac{\textcolor{blue}{a}(1-\textcolor{red}{r}^{\textcolor{green}{N}})}{1-\textcolor{red}{r}}

der $\textcolor{blue}{a = 1}$ og $\textcolor{red}{r = 2}$.

Summen av de $\textcolor{green}{N = 5}$ første leddene er antall riskorn oppfinneren ville ha betalt for de første fem rutene:

S_5 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = \sum_{n=1}^{\textcolor{green}{5}} \textcolor{red}{2} ^{n-1}  = \frac{\textcolor{blue}{1} \cdot (1-\textcolor{red}{2}^{\textcolor{green}{5}})}{1-\textcolor{red}{2}} = 31

Summen av de $\textcolor{green}{N = 10}$ første leddene er antall riskorn oppfinneren ville ha betalt for de første ti rutene:

S_{10} = 1 + 2 + 4 + 8 + \cdots + 2^9 = \sum_{n=1}^{\textcolor{green}{10}} \textcolor{red}{2}^{n-1}  = \frac{\textcolor{blue}{1} \cdot (1-\textcolor{red}{2}^{\textcolor{green}{10}})}{1-\textcolor{red}{2}} = 1023

Summen av de $\textcolor{green}{N = 64}$ første leddene er antall riskorn oppfinneren ville ha betalt for hele sjakkbrettet:

S_{64}  = 1 + 2 + 4 + 8 + \cdots + 2^{63} = \sum_{n=1}^{\textcolor{green}{64}} \textcolor{red}{2}^{n-1} = \frac{\textcolor{blue}{1} \cdot (1-\textcolor{red}{2}^{\textcolor{green}{64}})}{1-\textcolor{red}{2}} \approx 1.84 \cdot 10^{19}

Siden $\textcolor{red}{r = 2} \ge 1$, divergerer den uendelige rekken:

1 + 2 + 4 + 8 + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} \textcolor{red}{2}^{n-1}

Rekken av alle partall:

\sum_{n=1}^{\infty} 2n = 2 + 4 + 6 + 8 + \cdots + 2n + \cdots

er ikke geometrisk fordi hvert ledd ikke er et multiplum av forrige ledd. I stedet er hvert ledd to mer enn forrige ledd.

I en gammel kjærlighetsfilm (IQ) vil en matematiker lære en bilmekaniker om rekker. Hun stiller seg et stykke fra ham og tar noen skritt mot ham slik at hun halverer avstanden mellom dem, sier at hvis hun går halvparten av avstanden mot ham, vil det fortsatt være en halvpart igjen. Hvis hun halverer halvparten igjen, vil det fortsatt være noe igjen. Og slik kan hun fortsette. Hun vil aldri klare å komme bort til ham hvis hun bare halverer avstanden:

Summen av den endelige rekken av halvparter vil alltid være mindre enn én:

\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots + \frac{1}{2^{\textcolor{green}{N}}} =\sum_{n=1}^{\textcolor{green}{N}} \frac{1}{2^n} 

Bilmekanikeren konkluderte at når hun har halvert mange nok ganger har hun kommet nærme nok ham til at avstanden ikke har noe å si og så kysser han henne.

Siden hvert ledd er forrige ledd multiplisert med et tall, er rekken geometrisk:

\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots + \frac{1}{2^n} + \cdots 
= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} 
= \sum_{n=1}^{\infty} \textcolor{blue}{\frac{1}{2}}\cdot \left(\textcolor{red}{\frac{1}{2}}\right)^{n-1} 
= \sum_{n=1}^{\infty} \textcolor{blue}{a} \textcolor{red}{r} ^{n-1}

Siden $\textcolor{red}{r = \frac{1}{2}} < 1$, konvergerer den uendelige rekken og summen er:

S = \sum_{n = 1}^{\infty} \textcolor{blue}{a} \textcolor{red}{r}^{n-1}= \frac{\textcolor{blue}{a}}{1-\textcolor{red}{r}} = \frac{\textcolor{blue}{\frac{1}{2}}}{1 - \textcolor{red}{\frac{1}{2}}} = 1

Og derfor kan bilmekanikeren har rett siden summen av alle «halvpartene» konvergerer mot én.

Konvergerer rekken?

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{3^{n-1}}  = 2 + \frac{2}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{2}{3^3} + \cdots

Rekken er geometrisk siden hvert ledd ikke er et multiplum av forrige ledd. Skriver rekken på formen $\sum \textcolor{blue}{a}\textcolor{red}{r}^{n-1}$:

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{3^{n-1}} = \sum_{n=1}^{\infty} \textcolor{blue}{2} \cdot \left(\textcolor{red}{\frac{1}{3}}\right)^{n-1}

som gir $\textcolor{blue}{a = 2}$ og $\textcolor{red}{r = \frac{1}{3}}$.

Siden &\textcolor{red}{r = \frac{1}{3}} < 1 & konvergerer den uendelige rekken og summen er:

S = \sum_{n = 1}^{\infty} \textcolor{blue}{a} \textcolor{red}{r}^{n-1}= \frac{\textcolor{blue}{a}}{1-\textcolor{red}{r}} = \frac{\textcolor{blue}{2}}{1 - \textcolor{red}{\frac{1}{3}}} = 3

Konvergerer rekken?

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{3^n} = \frac{2}{3} + \frac{2}{3^2}  + \frac{2}{3^3} + \cdots

Rekken er geometrisk siden hvert ledd ikke er et multiplum av forrige ledd. Skriver rekken på formen $\sum \textcolor{blue}{a}\textcolor{red}{r}^{n-1}$:

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{3^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{3 \cdot 3^{n-1}} = \sum_{n=1}^{\infty} \textcolor{blue}{\frac{2}{3}} \cdot \left(\textcolor{red}{\frac{1}{3}}\right)^{n-1}

som gir $\textcolor{blue}{a = \frac{2}{3}}$ og $\textcolor{red}{r = \frac{1}{3}}$.

Siden $\textcolor{red}{r = \frac{1}{3}} < 1$ konvergerer den uendelige rekken og summen er:

S = \sum_{n = 1}^{\infty} \textcolor{blue}{a}\textcolor{red}{r}^{n-1}= \frac{\textcolor{blue}{a}}{1-\textcolor{red}{r}} = \frac{ \textcolor{blue}{\frac{2}{3}}}{1 - \textcolor{red}{\frac{1}{3}}} = 1

Konvergerer rekken?

\sum_{n=1}^{\infty} 3^n = 3 + 3^2 + 3^3 + \cdots

Rekken er geometrisk siden hvert ledd ikke er et multiplum av forrige ledd. Skriver rekken på formen $\sum \textcolor{blue}{a}\textcolor{red}{r}^{n-1}$:

\sum_{n=1}^{\infty} 3^n = \sum_{n=1}^{\infty} \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{3}^{n-1}

som gir $\textcolor{blue}{a = 3}$ og $\textcolor{red}{r = 3}$.

Siden $\textcolor{red}{r = 3} > 1$ divergerer rekken.