Vektorer: Vektorprodukt

Vektorproduktet til to vektorer:

\vec{w} = \vec{u} \times \vec{v}
  • Vektorproduktet kalles også kryssproduktet
  • $\vec{w}$ står vinkelrett på både $\vec{u}$ og $\vec{v}$
  • $\vec{u}$, $\vec{v}$ og $\vec{w}$ danner et høyrehåndssystem
  • Lengden til $\vec{w}$ er lik arealet som spennes ut av $\vec{u}$ og $\vec{v}$:
A = |\vec{w}| = |\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}| |\vec{v}| \sin \theta
  • $\theta$ er vinkelen mellom $\vec{u}$ og $\vec{v}$.

+ Hvordan regner vi ut $\vec{u} \times \vec{v}$?

$\vec{u} \times \vec{v}$ regnes ut på samme måte som determinanter:

\begin{aligned}
& \vec{u} \times \vec{v} = \left|
\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
u_1 & u_2 & u_3 \\
v_1 & v_2 & v_3 \\
\end{array}
\right| \\
\Rightarrow \qquad & \vec{u} \times \vec{v} = 
\left| \begin{array}{cc}
u_2 & u_3 \\
v_2 & v_3 \\
\end{array} \right| \vec{i}
+ \left| \begin{array}{cc}
u_1 & u_3 \\
v_1 & v_3 \\
\end{array} \right| \vec{j} 
+ \left| \begin{array}{cc}
u_1 & u_2 \\
v_1 & v_2 \\
\end{array} \right| \vec{k} \\
\Rightarrow \qquad & \vec{u} \times \vec{v} = 
(u_2 v_3 - u_3 v_2) \vec{i}
+ (u_1 v_3 - u_3 v_1) \vec{j}
+ (u_1 v_2 - u_2 v_1) \vec{k}
\end{aligned}
  • $\vec{i}$, $\vec{j}$ og $\vec{k}$ er enhetsvektorer
  • Hvis $\vec{u}$ og $\vec{v}$ bare er i $xy$-planet, setter vi $u_3$ og $v_3$ lik null. Da får vi:
\begin{aligned}
& \vec{u} \times \vec{v} = \left|
\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
u_1 & u_2 & 0 \\
v_1 & v_2 & 0 \\
\end{array}
\right| 
= \left| \begin{array}{cc}
u_1 & u_2 \\
v_1 & v_2 \\
\end{array} \right| \vec{k} 
= (u_1 v_2 - u_2 v_1) \vec{k}
\end{aligned}

+ Eksempel 1: Regn ut vektorproduktet

Regn ut vektorproduktet til $\vec{u} = [3,1]$ og $\vec{v} = [1,2]$:

\begin{aligned}
& \vec{w} = \vec{u} \times \vec{v} 
= (u_1 v_2 - u_2 v_1) \vec{k}
= (3 \cdot 2 - 1 \cdot 1) \vec{k} 
= 5 \vec{k}
\end{aligned}

Og, vips, er vi ferdige.

+ Eksempel 2: Finn en vektor som står vinkelrett på to vektorer

Finn en vektor som står vinkelrett på $\vec{u} = [3,1]$ og $\vec{v} = [1,2]$:

\vec{w} = \vec{u} \times \vec{v} 
= (u_1 v_2 - u_2 v_1) \vec{k}
= (3 \cdot 2 - 1 \cdot 1) \vec{k} 
= 5 \vec{k}

Siden både $\vec{u}$ og $\vec{v}$ ligger i $xy$-planet, er det kanskje ikke så rart at $\vec{w}$ peker i $z$-retning.

Og, vips, er vi ferdige.

+ Eksempel 3: Finn arealet som to vektorer utspenner

Regn ut arealet som $\vec{u} = [3,1]$ og $\vec{v} = [1,2]$ og spenner ut.

Først regner vi ut vektorproduktet:

\vec{w} 
= \vec{u} \times \vec{v} 
= (u_1 v_2 - u_2 v_1) \vec{k}
= (3 \cdot 2 - 1 \cdot 1) \vec{k} 
= 5 \vec{k}

Lengden til $\vec{w}$ er arealet $\vec{u}$ og $\vec{v}$ spenner ut:

A = |\vec{w}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 5^2}

Og, vips, vet vi at arealet er 5.

+ Eksempel 4: Finn arealet som to vektorer utspenner

Regn ut arealet som to vektorer spenner ut når du vet at lengden til den ene er $\sqrt{10}$ og lengden til den andre er $\sqrt{5}$, og vinkelen mellom dem er 45$^{\circ}$.

Først regner vi ut vektorproduktet:

\vec{w} 
= \vec{u} \times \vec{v} 
= (u_1 v_2 - u_2 v_1) \vec{k}
= (3 \cdot 2 - 1 \cdot 1) \vec{k} 
= 5 \vec{k}

Lengden til $\vec{w} = \vec{u} \times \vec{v}$ er arealet $\vec{u}$ og $\vec{v}$ spenner ut:

A = |\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}| |\vec{v}| \sin \theta = \sqrt{10} \cdot \sqrt{5} \sin(45^{\circ}) = 5

Og, vips, vet vi at arealet er 5.

← Matematikk

↓ Oppgaver

→ Vektorprojeksjon