Utvidet P-test gjelder når hvert ledd i en rekke er et polynom delt på et annet polynom:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_0 + b_1 n + b_2 n^2 + \cdots + b_q n^{\textcolor{red}{q}}}{c_0 + c_1 n + c_2 n^2 + \cdots + c_p n^{\textcolor{blue}{p}}}der $\textcolor{red}{q}$ er høyeste eksponent i teller og $\textcolor{blue}{p}$ er høyeste eksponent i nevner.
Utvidet p-test:
- Dersom $\textcolor{blue}{p} \;-\; \textcolor{red}{q} > 1$ konvergerer rekken.
- Dersom $\textcolor{blue}{p} \;-\; \textcolor{red}{q} \leq 1$ divergerer rekken.
+ Hvorfor fungerer utvidet p-test?
For å vise hvorfor utvidet p-test fungerer, sammenligner vi med en annen rekke når $n$ er stor:
Først velger vi en rekke der leddene er større enn $a_n$ når $n$ er stor:
a_n = \frac{b_0 + b_1 n + b_2 n^2 + \cdots + b_q n^{\textcolor{red}{q}}}{c_0 + c_1 n + c_2 n^2 + \cdots + c_p n^{\textcolor{blue}{p}}}
\leq \frac{k_n n^{\textcolor{red}{q}}}{n^{\textcolor{blue}{p}}}
= \frac{k_n}{n^{\textcolor{blue}{p} - \textcolor{red}{q}}} der $k_n$ er valgt sånn at den er større enn $b_q/c_p$.
p-testen gir nå at dersom $\textcolor{blue}{p} \;-\; \textcolor{red}{q} > 1$, konvergerer rekken vi sammenligner med. Og siden leddene i vår rekke er mindre enn leddene i den rekker vi sammenligner med når $n$ er stor, ja, da må vår rekke også konvergere når $\textcolor{blue}{p} \;-\; \textcolor{red}{q} > 1$.
Deretter velger vi en rekke der leddene er mindre enn $a_n$ når $n$ er stor:
a_n = \frac{b_0 + b_1 n + b_2 n^2 + \cdots + b_q n^{\textcolor{red}{q}}}{c_0 + c_1 n + c_2 n^2 + \cdots + c_p n^{\textcolor{blue}{p}}}
\ge \frac{k_n n^{\textcolor{red}{q}}}{n^{\textcolor{blue}{p}}}
= \frac{k_n}{n^{\textcolor{blue}{p} - \textcolor{red}{q}}} der $k_n$ er valgt sånn at den er mindre enn $b_q/c_p$.
p-testen gir nå at dersom $\textcolor{blue}{p} \;-\; \textcolor{red}{q} \leq 1$, divergerer rekken vi sammenligner med. Og siden leddene i vår rekke er større enn leddene i den rekker vi sammenligner med når $n$ er stor, ja, da må vår rekke også divergere når $\textcolor{blue}{p} \;-\; \textcolor{red}{q} \leq 1$.
+ Eksempel 1
Konvergerer rekken?
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1 + 3n + 5n^2}{7 + n}Hvert ledd er et polynom delt på et annet polynom. Derfor kan vi bruke utvidet p-test. Høyeste eksponent i teller er $\textcolor{red}{q = 2}$ og høyeste eksponent i nevner er $\textcolor{blue}{p = 1}$:
\textcolor{blue}{p} \;-\; \textcolor{red}{q} = \textcolor{blue}{1} - \textcolor{red}{2} = -1 < 1 Siden $\textcolor{blue}{p} \;-\; \textcolor{red}{q} \leq 1$, divergerer rekken.
+ Eksempel 2
Konvergerer rekken?
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{7 + n}{1 + 3n + 5n^2}Hvert ledd er et polynom delt på et annet polynom. Derfor kan vi bruke utvidet p-test. Høyeste eksponent i teller er $\textcolor{red}{q = 1}$ og høyeste eksponent i nevner er $\textcolor{blue}{p = 2}$:
\textcolor{blue}{p} \;-\; \textcolor{red}{q} = \textcolor{blue}{2} - \textcolor{red}{1} = 1 Siden $\textcolor{blue}{p} \;-\; \textcolor{red}{q} \leq 1$, divergerer rekken.
+ Eksempel 3
Konvergerer rekken?
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{7}{2n^2 + 3n - 5}Hvert ledd er et polynom delt på et annet polynom. Derfor kan vi bruke utvidet p-test. Høyeste eksponent i teller er $\textcolor{red}{q = 0}$ og høyeste eksponent i nevner er $\textcolor{blue}{p = 2}$:
\textcolor{blue}{p} \;-\; \textcolor{red}{q} = \textcolor{blue}{2} - \textcolor{red}{0} = 2 Siden $\textcolor{blue}{p} \;-\; \textcolor{red}{q} > 1$, konvergerer rekken.
+ Eksempel 4
Konvergerer rekken?
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{7\sqrt{n}}{2n^2 + 3n - 5}Hvert ledd er et polynom delt på et annet polynom. Derfor kan vi bruke utvidet p-test. Høyeste eksponent i teller er $\textcolor{red}{q = \frac{1}{2}}$ og høyeste eksponent i nevner er $\textcolor{blue}{p = 2}$:
\textcolor{blue}{p} \;-\; \textcolor{red}{q} = \textcolor{blue}{2} - \textcolor{red}{\frac{1}{2}} = 1.5 Siden $\textcolor{blue}{p} \;-\; \textcolor{red}{q} > 1$, konvergerer rekken.