Rekker: Taylor-rekker

Taylor-rekken til en funksjon $f(x)$ er en potens-rekke på formen:

f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{n}(a)}{n!}(x-a)^n = f(a) + f'(a) (x-a) + \frac{1}{2} f''(a) (x-a)^2 + \cdots

For å finne Taylor-rekken, må vi rekkeutvikle $f(x)$ om $x=a$, dvs. finne alle de deriverte av $f(x)$ og sette inn i formelen.

\begin{aligned} e^x & = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} x^n \\ \ln(1+x) & = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n \\ \cos(x) & = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} \\ \sin(x) & = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} \\ \end{aligned}

Vi vil nå finne Taylor-rekken til $f(x) = e^x$ når $a = 0$:

\begin{aligned} f(x) = e^x & \quad \Rightarrow \quad f(0) = 1 \\ f’(x) = e^x & \quad \Rightarrow \quad f’(0) = 1 \\ f’’(x) = e^x & \quad \Rightarrow \quad f’’(0) = 1 \\ f’’’(x) = e^x & \quad \Rightarrow \quad f’’’(0) = 1 \\ & \quad \vdots \\ f^{(n)}(x) = e^x & \quad \Rightarrow \quad f^{(n)}(0) = 1 \\ \end{aligned}

Setter inn i uttrykket for Taylor-rekker når $a=0$:

\begin{aligned} f(x) & = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{n}(0)}{n!}x^n \\ \Rightarrow \quad f(x) & = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} x^n \\ \bigg( \Rightarrow \quad f(x) & = 1 + x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{6}x^3 + \cdots \bigg) \end{aligned}

Og, vipps, har vi Taylorrekken til $e^x$.

Hvis vi plotter den trunkerte Taylorrekken til $f(x) = e^x$:

f(x) \approx \sum_{n=0}^N \frac{1}{n!} x^n

ser vi at jo flere ledd vi tar med, jo mer nøyaktig blir funksjonen:

Når $N \to \infty$, blir Taylorrekken lik funksjonen.

Vi vil nå finne Taylor-rekken til $f(x) = \ln(x+1)$ når $a = 0$:

\begin{aligned} f(x) &= \ln(x+1)& \quad \Rightarrow \quad & f(0) = \textcolor{red}{0} \\ f’(x) & = \frac{1}{x+1} & \quad \Rightarrow \quad & f’(0) = \textcolor{blue}{+} \textcolor{green}{1} \\ f’’(x) & = - \frac{1}{(x+1)^2} & \quad \Rightarrow \quad & f’’(0) = \textcolor{blue}{-} \textcolor{green}{1} \\ f’’’(x) & = \frac{2}{(x+1)^3} & \quad \Rightarrow \quad & f’’’(0) = \textcolor{blue}{+} \textcolor{green}{2} \\ f^{(4)}(x) & = - \frac{2\cdot 3}{(x+1)^4} & \quad \Rightarrow \quad & f^{(4)}(0) = \textcolor{blue}{-} \textcolor{green}{2 \cdot 3} \\ f^{(5)}(x) & = \frac{2\cdot 3 \cdot 4}{(x+1)^5} & \quad \Rightarrow \quad & f^{(5)}(0) = \textcolor{blue}{+} \textcolor{green}{2 \cdot 3 \cdot 4} \\ & & \vdots \\ && \quad \Rightarrow \quad & f^{(n)}(0) = \textcolor{blue}{(-1)^{n+1}}\textcolor{green}{(n-1)!} \end{aligned}

Her har vi tatt gange mange ledd for å finne et system:

Det første leddet er null. Det trenger vi ikke ta med og derfor kan vi telle fra $\textcolor{red}{n = 1}$ og oppover
Fortegnet skifter og er positivt for oddetall, derfor bruker vi faktoren $\textcolor{blue}{(-1)^{n+1}}$
Tallverdien når $n \le 1$ er $\textcolor{green}{1,1,2,6,24,\cdots}$ som tilsvarer $\textcolor{green}{0!, 1!, 2!, 3!, 4!, \cdots}$. Derfor bruker vi faktoren $\textcolor{green}{(n-1)!}$

Setter inn i uttrykket for Taylor-rekker når $a=0$:

\begin{aligned} f(x) & = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{n}(0)}{n!}x^n \\ \Rightarrow \quad f(x) & = \sum_{\textcolor{red}{n=1}}^{\infty} \frac{\textcolor{blue}{(-1)^{n+1}}\textcolor{green}{(n-1)!}}{n!} x^n \\ \end{aligned}

Merk at:

\frac{(n-1)!}{n!} = \frac{\cancel{1} \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{3} \cdots \cancel{(n-2)} \cdot \cancel{(n-1)}}{\cancel{1} \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{3} \cdots \cancel{(n-2)} \cdot \cancel{(n-1)} \cdot n} = \frac{1}{n}

Dermed får vi:

\begin{aligned} f(x) & = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n \\ \bigg( \Rightarrow \quad f(x) &= x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{4} x^4 \cdots \bigg) \end{aligned}

Og, vipps, har vi Taylorrekken til $\ln(x+1)$.

Hvis vi plotter den trunkerte Taylorrekken til $f(x) = \ln(x+1)$:

f(x) \approx \sum_{n=0}^N \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n

ser vi at jo flere ledd vi tar med, jo mer nøyaktig blir funksjonen:

Vi vil nå finne Taylor-rekken til $f(x) = \cos(x)$ når $a = 0$:

\begin{aligned} f(x) = \cos(x) & \quad \Rightarrow \quad f(0) = 1 \\ f’(x) = \sin(x) & \quad \Rightarrow \quad f’(0) = 0 \\ f’’(x) = -\cos(x) & \quad \Rightarrow \quad f’’(0) = -1 \\ f’’’(x) = -\sin(x) & \quad \Rightarrow \quad f’’’(0) = 0 \\ f^{(4)}(x) = \cos(x) & \quad \Rightarrow \quad f^{(4)}(0) = 1 \\ f^{(5)}(x) = \sin(x) & \quad \Rightarrow \quad f^{(5)}(0) = 0 \\ & \quad \vdots \\ & \quad \Rightarrow \quad f^{(n)}(0) = \left\{ \begin{aligned} & 0 && \textnormal{ når $n$ er oddetall} \\ & (-1)^{n/2} && \textnormal{ når $n$ er partall} \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}

Her har vi tatt gange mange ledd for å finne et system:

Når $n$ er oddetall er $f^{(n)} = 0$. Derfor kan vi innføre en ny teller $m = n/2$ som kun har partall.
Fortegnet skifter for annet hvert partall.

Setter inn i uttrykket for Taylor-rekker når $a=0$:

\begin{aligned} f(x) & = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{n}(0)}{n!}x^n \\ \Rightarrow \quad f(x) & = \sum_{n=0,2,4,\cdots}^{\infty} \frac{(-1)^{n/2}}{n!} x^n \end{aligned}

Vi kan lage en ny teller $m = \frac{n}{2}$ (dvs. $n = 2m$) som kun gir partallene til $n$:

\begin{array}{l|ccccc} n = 2m & 0 & 2 & 4 & 8 & 10 & \cdots \\ \hline m = \frac{n}{2} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & \cdots \end{array}

Nå kan vi bruke vår nye teller i Taylorrekken:

\begin{aligned} f(x) & = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m}{(2m)!} x^{2m} \\ \Rightarrow \quad \bigg( f(x) & = 1 - \frac{1}{2!} x^2 + \frac{1}{4!} x^4 - \frac{1}{6!} x^6 + \cdots \bigg) \end{aligned}

Og, vipps, har vi Taylorrekken til $\cos(x)$.

Hvis vi plotter den trunkerte Taylorrekken til $f(x) = \cos(x)$:

f(x) \approx \sum_{n=0}^N \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}

ser vi at jo flere ledd vi tar med, jo mer nøyaktig blir funksjonen:

Vi vil nå finne Taylor-rekken til $f(x) = \sin(x)$ når $a = 0$:

\begin{aligned} f(x) = \sin(x) & \quad \Rightarrow \quad f(0) = 0 \\ f’(x) = \cos(x) & \quad \Rightarrow \quad f’(0) = 1 \\ f’’(x) = -\sin(x) & \quad \Rightarrow \quad f’’(0) = 0 \\ f’’’(x) = -\cos(x) & \quad \Rightarrow \quad f’’’(0) = -1 \\ f^{(4)}(x) = \sin(x) & \quad \Rightarrow \quad f^{(4)}(0) = 0 \\ f^{(5)}(x) = \cos(x) & \quad \Rightarrow \quad f^{(5)}(0) = 1 \\ & \quad \vdots \\ & \quad \Rightarrow \quad f^{(n)}(0) = \left\{ \begin{aligned} & 0 && \textnormal{ når $n$ er partall} \\ & (-1)^{(n-1)/2} && \textnormal{ når $n$ er oddetall} \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}

Her har vi tatt gange mange ledd for å finne et system:

Når $n$ er partall er $f^{(n)} = 0$. Derfor kan vi innføre en ny teller $m = (n-1)/2$ som kun har oddetall.
Fortegnet skifter for annet hvert oddetall.

Setter inn i uttrykket for Taylor-rekker når $a=0$:

\begin{aligned} f(x) & = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{n}(0)}{n!}x^n \\ \Rightarrow \quad f(x) & = \sum_{n=1,3,5,\cdots}^{\infty} \frac{(-1)^{(n-1)/2}}{n!} x^n \end{aligned}

Vi kan lage en ny teller $m = \frac{n-1}{2}$ (dvs. $n = 2m+1$) som kun gir oddetallene til $n$:

\begin{array}{l|ccccc} n = 2m+1& 1 & 3 & 5 & 7 & 9 & \cdots \\ \hline m = \frac{n-1}{2} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & \cdots \end{array}

Nå kan vi bruke vår nye teller i Taylorrekken:

\begin{aligned} f(x) & = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m}{(2m+1)!} x^{2m+1} \\ \Rightarrow \quad \bigg( f(x) & = x - \frac{1}{3!} x^3 + \frac{1}{5!} x^5 - \frac{1}{7!} x^7 + \cdots \bigg) \end{aligned}

Og, vipps, har vi Taylorrekken til $\sin(x)$.

Hvis vi plotter den trunkerte Taylorrekken til $f(x) = \sin(x)$:

f(x) \approx \sum_{n=0}^N \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}

ser vi at jo flere ledd vi tar med, jo mer nøyaktig blir funksjonen: