Leibniz testen brukes på alternerende rekker:
\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n a_nHvis:
- Størrelsen til $|a_n|$ (absoluttverdien til $a_n$) er avtagende, dvs. $|a_n| > |a_{n+1}|$ for alle $n$, og
- Leddene, $a_n$, går mot null når $n$ blir stor, dvs.
\lim_{n \to \infty} a_n = 0konvergerer rekken betinget. Vi sier også at rekken konvergerer absolutt dersom absoluttverdien av den også konvergerer (altså hvis samme rekke, men uten alternerende fortegn konvergerer).
+ Hva er en alternerende rekke?
En rekke er alternerende dersom to ledd etter hverandre har motsatt fortegn:
\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n a_nder alle $a_n < 0$ eller alle $a_n < 0$.
Eksempler:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} = \textcolor{red}{-} 1 \textcolor{blue}{+} \frac{1}{2} \textcolor{red}{-} \frac{1}{3} \textcolor{blue}{+} \frac{1}{4} \textcolor{red}{-} \cdots \\
\sum_{n=0}^{\infty} (-2)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n 2^n= 1 \textcolor{red}{-} 2 \textcolor{blue}{+} 2^2 \textcolor{red}{-} 2^3 \textcolor{blue}{+} 2^4 \textcolor{red}{-} \cdots \\+ Hva er feilen til en alternerende rekke?
Hvis rekken konvergerer, er feilen $E_N$ ved å avbryte summeringen etter $N$ ledd:
|E_N| < |a_{n+1}|Eksempel: Gitt en alternerende rekke:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} = 1 \textcolor{red}{-} \frac{1}{2} \textcolor{blue}{+} \frac{1}{3} \textcolor{red}{-} \frac{1}{4} \textcolor{blue}{+} \frac{1}{5} \textcolor{red}{-} \cdotsHvis vi avbryter summeringen etter $N = 2$ ledd:
|E_2| < |a_3| = \left| \frac{1}{3} \right| = \frac{1}{3} \\
\Rightarrow \quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} = \sum_{n=1}^{2} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \pm E_2 = 1 - \frac{1}{2} \pm \frac13Hvis vi avbryter summeringen etter $N = 10$ ledd:
|E_{10}| < |a_{11}| = \left| \frac{1}{11} \right| = \frac{1}{11}\\
\Rightarrow \quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} = \sum_{n=1}^{10} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \pm E_{10}+ Eksempel 1
Konvergerer rekken?
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} Først må vi finne $a_n$:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \underbrace{\frac{1}{n}}_{a_n}
= \underbrace{1}_{a_1} \textcolor{red}{-} \underbrace{\frac{1}{2}}_{a_2} \textcolor{blue}{+} \underbrace{\frac{1}{3}}_{a_3} \textcolor{red}{-} \underbrace{\frac{1}{4}}_{a_4} \textcolor{blue}{+} \cdotsBruker Leibniz testen:
- Størrelsen til $|a_n|$ er avtagende, dvs. $|a_n| > |a_{n+1}|$ for alle $n$, fordi
|a_n| = \frac1n, \quad |a_{n+1}| = \frac{1}{n+1} \quad \textnormal{ og } \quad \frac1n > \frac{1}{n+1} - Leddene, $a_n$, går mot null når $n$ blir stor, fordi
\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac1n = 0Rekken konvergerer betinget. Rekken konvergerer ikke absolutt siden $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ divergerer (se p-testen)
+ Eksempel 2
Konvergerer rekken?
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{2^n} Først må vi finne $a_n$:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{2^n} = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \underbrace{\frac{1}{2^n}}_{a_n}
= \underbrace{\frac12}_{a_1} \textcolor{red}{-} \underbrace{\frac{1}{2^2}}_{a_2} \textcolor{blue}{+} \underbrace{\frac{1}{2^3}}_{a_3} \textcolor{red}{-} \underbrace{\frac{1}{2^4}}_{a_4} \textcolor{blue}{+} \cdotsBruker Leibniz testen:
- Størrelsen til $|a_n|$ er avtagende, dvs. $|a_n| > |a_{n+1}|$ for alle $n$, fordi
|a_n| = \frac{1}{2^n}, \quad |a_{n+1}| = \frac{1}{2^{n+1}} \quad \textnormal{ og } \quad \frac{1}{2^n} > \frac{1}{2^{n+1}} - Leddene, $a_n$, går mot null når $n$ blir stor, fordi
\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n} = 0Dette viser at rekken konvergerer betinget. Tar vi bort fortegnene, så sitter vi igjen med $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}$, som er en geometrisk rekke som konvergerer. Dermed konvergerer den opprinnelige rekken også absolutt.