Rekker: Hvilken konvergenstest bør jeg bruke?

Konvergenstester brukes for å undersøke om en uendelig rekke konvergerer. 

\sum_{n = 0}^{\infty} a_n

Fordi det kan være vanskelig å finne ut hvilken test som skal brukes når, har vi laget et beslutningstre:

Beslutningstre

Divergenstesten
$L = \lim_{n \to \infty} a_n$		 $\underrightarrow{\quad L \neq 0 \quad}$ Divergerer
$L = 0 \downarrow $
Alternerer rekken?
$a_n = (-1)^nb_n$		 $\underrightarrow{\quad \textnormal{Ja}\quad}$ Leibniz testen
$|a_{n+1}| \leq |a_n|$: Konvergerer
Ellers: Sett $a_n = |a_n|$ og gå videre
Nei $\downarrow $ $\underleftarrow{\quad a_n = |a_n| \quad}$ ↵
Geometrisk rekke?
$a_n = kr^n$		 $\underrightarrow{\quad \textnormal{Ja} \quad}$ Geometrisk rekketest
$|r| \ge 1$: Divergerer
$|r| < 1$: Konvergerer
Nei $\downarrow $
P-rekke?
$a_n = \frac{1}{n^p}$		 $\underrightarrow{\quad \textnormal{Ja} \quad}$ P-testen
$p \le 1$: Divergerer
$p > 1$: Konvergerer
Nei $\downarrow $
Polynom delt på polynom?
$a_n = \frac{b_0 + b_1n + b_2n^2 + \cdots b_qn^q}{c_0 + c_1n + c_2n^2 + \cdots + c_pn^p}$		 $\underrightarrow{\quad \textnormal{Ja} \quad}$ Utvidet P-test
$p \;-\; q \le 1$: Divergerer
$p \;-\; q > 1$: Konvergerer
Nei $\downarrow $
Forholdstesten
$L = \lim_{n \to \infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n}|$		 $\underrightarrow{\quad \;\; L > 1 \;\;\; \quad}$
$\overrightarrow{\quad \;\; L < 1 \;\;\; \quad}$		 Divergerer
Konvergerer
$ L = 1 \downarrow $
Integraltesten
$I = \int_1^{\infty} a_x dx$		 $\underrightarrow{\quad \;\; I \to \pm \infty \;\;\; \quad}$
$\overrightarrow{\quad \;\; \textnormal{ellers} \;\;\; \quad}$		 Divergerer
Konvergerer 
\begin{array}{ccl} 
\colorbox{#2C3981}{\colorbox{white}{$\begin{array}{c} \textnormal{Divergenstesten} \\ L = \lim_{n \to \infty} a_n \end{array}$}}
& \underrightarrow{\quad \footnotesize{L \neq 0} \quad}  &
\textnormal{\colorbox{#EDDDDE}{Divergerer}} 
\\ \\

\footnotesize{L = 0} \downarrow \\

\boxed{ \begin{array}{c} \textnormal{Geometrisk rekke?} \\ a_n =  kr^n \end{array} } 
& \underrightarrow{\quad \footnotesize{\textnormal{Ja}} \quad}  
& \colorbox{#2C3981}{\colorbox{white}{$\begin{array}{l}\textnormal{Geometrisk rekketest} \\ 
|r| \ge 1: \textnormal{\colorbox{#EDDDDE}{Divergerer \;\:}} \\
|r| < 1: \textnormal{\colorbox{#ECEEFA}{Konvergerer}} 
\end{array}$}}
\\

\footnotesize{\textnormal{Nei}} \downarrow \\

\boxed{ \qquad \begin{array}{c} \textnormal{P-rekke?} \\ a_n =  \frac{1}{n^p} \end{array} \qquad} 
& \underrightarrow{\quad \footnotesize{\textnormal{Ja}} \quad}  
& 
\colorbox{#2C3981}{\colorbox{white}{$\begin{array}{l}\textnormal{P-testen} \\ 
p \le 1: \textnormal{\colorbox{#EDDDDE}{Divergerer \;\:}} \\ 
p > 1: \textnormal{\colorbox{#ECEEFA}{Konvergerer}} \end{array}$}}
\\

\footnotesize{\textnormal{Nei}} \downarrow \\ \\

\colorbox{#2C3981}{\colorbox{white}{$\begin{array}{c} \textnormal{Forholdstesten} \\ L = \lim_{n \to \infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n} | \end{array}$}}
&\begin{array}{c}
\underrightarrow{\quad \;\; \footnotesize{L > 1} \;\;\; \quad}  \\
\overrightarrow{\quad \;\; \footnotesize{L < 1} \;\;\; \quad}
\end{array}
&
\begin{array}{l}
\textnormal{\colorbox{#EDDDDE}{Divergerer \;\:}} \\ 
\textnormal{\colorbox{#ECEEFA}{Konvergerer}} 
\end{array}
\\ \\

\footnotesize{L = 1} \downarrow \\ \\

\colorbox{#2C3981}{\colorbox{white}{$\begin{array}{c} \textnormal{Integraltesten} \\ I = \int_1^{\infty} a_x dx \end{array}$}}
& 
\begin{array}{c}
\underrightarrow{\quad \footnotesize{I \to \pm \infty} \quad}  \\
\overrightarrow{\quad \;\; \footnotesize{\textnormal{ellers}} \;\;\; \quad}  
\end{array}
&
\begin{array}{l}
\textnormal{\colorbox{#EDDDDE}{Divergerer \;\:}} \\ 
\textnormal{\colorbox{#ECEEFA}{Konvergerer}} 
\end{array}

\end{array}
\begin{array}{rcl} 
& \boxed{ \begin{array}{c} \textnormal{Alternerer rekken?} \\ \sum (-1)^n a_n  \end{array} } & \\
\textnormal{Divergerer} \quad \underleftarrow{\footnotesize{L \neq 0}} 

& \begin{array}{cc} 
\footnotesize{\textnormal{Nei}} \downarrow & 
\downarrow \footnotesize{\textnormal{Ja}}  \\
\boxed{\boxed{\begin{array}{c}\textnormal{Divergenstesten} \\ L = \lim_{n \to \infty} a_n\end{array}}} & \boxed{\boxed{\begin{array}{c}\textnormal{Leibniz testen} \\ L = \lim_{n \to \infty} a_n \\ |a_n| > |a_{n+1}| \end{array}}} \\ \\
\footnotesize{L = 0} \downarrow & 
\footnotesize{L \neq 0} \downarrow \footnotesize{a_n \textnormal{ øker}} 
\end{array} 

& \xrightarrow[\footnotesize{a_n \textnormal{ avtar}}]{\footnotesize{L = 0}} \quad \textnormal{Konvergerer} \\

& \qquad \qquad \quad \boxed{ \begin{array}{c} \textnormal{Geometrisk rekke?} \\ a_n =  kr^n \end{array} } 
\quad \underrightarrow{\quad \footnotesize{\textnormal{Ja}} \quad}  &
\boxed{\boxed{\begin{array}{l}\textnormal{Geometrisk rekketest} \\ |r| < 1: \textnormal{Konvergerer} \\ |r| \ge 1: \textnormal{Divergerer} \end{array}}}
\\

& \footnotesize{\textnormal{Nei}} \downarrow \\

& \qquad \qquad \quad \boxed{ \begin{array}{c} \textnormal{P-rekke?} \\ a_n =  \frac{1}{n^p} \end{array} } 
\quad \underrightarrow{\quad \footnotesize{\textnormal{Ja}} \quad}  &
\boxed{\boxed{\begin{array}{l}\textnormal{P-testen} \\ p \le 1: \textnormal{Divergerer} \\ p > 1: \textnormal{Divergerer} \end{array}}}
\\

& \footnotesize{\textnormal{Nei}} \downarrow \\

& \qquad \qquad \quad \boxed{\boxed{ \begin{array}{c} \textnormal{Forholdstesten} \\ L = \lim_{n \to \infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n} | \end{array} }} 
\quad \underrightarrow{\quad \footnotesize{L > 1} \quad}  &
\textnormal{Divergerer} 
\\

& \footnotesize{L = 1} \downarrow \\

& \qquad \qquad \quad \boxed{\boxed{ \begin{array}{c} \textnormal{Integraltesten} \\ I = \int_1^{\infty} a_x dx \end{array} }} 
\quad \underrightarrow{\quad \footnotesize{I \textnormal{ divergerer}} \quad}  &
\textnormal{Divergerer} 
\\

& \footnotesize{I \textnormal{ eksisterer}} \downarrow \\

& \textnormal{Konvergerer}

\end{array}

+ Hva hvis rekken alternerer?

Hvis rekken alternerer, kan den skrives på formen:

\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n a_n

der alle $a_n > 0$ eller $a_n < 0$.

Da bruker du først Leibniz’ testen:

  • Størrelsen til $|a_n|$ er avtagende, dvs. $|a_n| > |a_{n+1}|$ for alle $n$, og
  • Leddene, $a_n$, går mot null når $n$ blir stor, dvs.
\lim_{n \to \infty} a_n = 0

konvergerer rekken.

Hvis Leibniz’ testen ikke fører frem, bruker du beslutningstreet der du kun ser på $|a_n|$.

← Matematikk

↓ Oppgaver

→ Divergenstesten