Rekker: Forholdstesten

\sum_{n=1}^{\infty} a_n \qquad \textnormal{ og } \qquad L = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|

Dersom:

  • L < 1: Rekken konvergerer
  • L = 1: Ingen konklusjon
  • L > 1: Rekken divergerer

+ Eksempel 1

Konvergerer rekken?

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}

For forholdstesten har vi at: 

L = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|

For denne oppgaven er an gitt ved:

a_n = \frac{1}{2^n}

Setter inn i forholdstesten. Merk at for an+1 så må vi erstatte n med n+1:

L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{1}{2^{n+1}}}{\frac{1}{2^n}} \right|

Husk at 2n+1 kan her deles opp:

2^{n+1} = 2^n \cdot 2

Ved å sette dette inn i telleren så ser vi at vi kan stryke faktorer (i rødt) mot hverandre i brøken:

\begin{aligned} 
L &= \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\textcolor{red}{\frac{1}{2^n}} \cdot \frac{1}{2}}{\textcolor{red}{\frac{1}{2^n}}} \right| \newline
L &= \lim_{n \to \infty} \left| \frac{1}{2} \right| \newline
L &= \frac{1}{2} < 1
\end{aligned}

Siden L < 1 så konvergerer rekken.

+ Eksempel 2

Konvergerer rekken?

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5^n}{n^5}

Setter uttrykket inn i formelen for forholdstesten. I den videre utledningen forenkles brøken flere ganger ved å utvide den (gange med det samme oppe og nede). Dette er angitt i grønt. 

\begin{aligned}
L &= \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|  \newline
L &= \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{5^{n+1}}{(n+1)5}}{\frac{5^n}{n^5}} \right| \newline
L &= \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{5^{n+1}}{(n+1)^5} \cdot \textcolor{green}{n^5(n+1)^5}}{\frac{5^n}{n^5} \cdot \textcolor{green}{n^5(n+1)^5}} \right| \newline
L &= \lim_{n \to \infty} \left| \frac{5^{n+1} n^5}{5^n (n+1)^5} \right|  \newline
L &= \lim_{n \to \infty} \left| \frac{5 n^5 \cdot \textcolor{green}{\frac{1}{n^5}}}{(n+1)^5 \cdot \textcolor{green}{\frac{1}{n^5}}} \right| \newline
\end{aligned}

Når to faktorer har samme eksponent, så kan de slås sammen i en parantes:

(n+1)^5 \cdot \frac{1}{n^5} =  \left(\frac{n+1}{n}\right)^5 = \left(1+\frac{1}{n}\right)^5

Gjør vi dette for uttrykket over så får vi:

\begin{aligned} 
L &= \lim_{n \to \infty} \left| \frac{5}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^5} \right| = \left|\frac{5}{1}\right| \newline
L &= 5 > 1
\end{aligned}

Siden L > 1 så divergerer rekken.

+ Eksempel 3

Konvergerer rekken?

\sum_{n=1}^{\infty} 2n

Bruker forholdstesten:

L = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{2(n+1)}{2n}\right| 
= \lim_{n \to \infty} \left|\frac{2n+2}{2n}\right|
= \lim_{n \to \infty} \left| 1+ \frac{1}{2n}\right| = 1

Siden L = 1 gir forholdstesten ingen konklusjon.

← Matematikk

↓ Oppgaver

→ Integraltesten